2024-2025学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025 学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = √ 2 + √ + 5的定义域是( )
A. [2,+∞) B. [ 5,+∞)
C. [ 5,2] D. ( ∞, 5] ∪ [2,+∞)
2.若 > 0， ≠ 1， > 0， > 0，下列运算正确的是( )
A. (log ) ÷ (log ) = log ( ) B. ( )

=
1
C. √ = D. (log ) + (log ) = log ( + )
3.“ > 0”是“函数 ( ) = 2 2( + 2) + 3在( ∞, 3]上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
+1
4.函数 ( ) = 在区间[2,6]上的最大值为( )
1
7 5
A. 3 B. C. 2 D.
5 3
5.如果 < ，那么下列不等式中，一定成立的是( )

A. + < + B. < C. 2 < 2 D. + < 0

6.我们知道，任何一个正实数 可以表示成 = × 10 (1 ≤ < 10, ∈ )，此时 = + (1 ≤ < 10)，
211×340
当 > 0时， 是 + 1位数，则 8 是( )位数. (参考数据： 2 ≈ 0.301， 3 ≈ 0.477) 10
A. 14 B. 15 C. 55 D. 56
7.若关于 的不等式 2 1 ≤ 0有5个负整数解，则 的取值范围是( )
A. ( 7, 6] B. [ 7, 6) C. ( 6, 5] D. [ 6, 5)
( 1)
8.已知 ( )是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又 (2) = 0，则 < 0的解集为( )

A. ( 1,0) ∪ (1,3) B. ( ∞, 1) ∪ (1,3)
C. ( 1,0) ∪ (3,+∞) D. ( ∞, 1) ∪ (3,+∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
1
A. = 2 2 2 B. = 2 5 C. = | + | D. = 3| | + 1

10.下列说法正确的是( )
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A. 满足{2,3} {2,3,4,5,6}的集合 的个数是8个
B. 已知 ( + 1) = 2 3，且 ( ) = 3，则 = 4
8 2
C. 若 > 0， > 0，且 + = 1，则 + 的最小值为18

D. 命题“ ∈ [ 1,2]，2 2 + = 0”是真命题，则实数 的取值范围为[ 8,0]
11.已知函数 ( )的定义域为 ，且对任意 ∈ ，满足 ( + 1) ( 1) ≥ ， ( + 3) ( 3) ≤ 3 ，
且 (1) = 1，则下列说法正确的有( )
A. ( + 3) ( + 1) ≥ + 2
B. 若 ( )为一次函数，则 ( )存在且不唯一
C. 若 ( )为二次函数，则 ( )存在且唯一
D. (11) = 30
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. ( )是奇函数，当 > 0时， ( ) = 3 + + 1，则 ( 1) = ______．
13.已知 + 2 = 1，则3 + 9 的最小值为______．
| + 2|, ≤ 2
14.已知函数 ( ) = { 2 ，若 ( ) = 有三个不同的解 1， 2， 3，则 的取值范围为______， 4 + 1, > 2
1 + 2 + 3的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设二次函数 ( ) = 2 + ( 2) + 3，不等式 ( ) > 0的解集为 = { | 1 < < 3}．
(1)求2 + 的值；
+2
(2)若集合 为 ( )在 上的值域， = { | ≥ 1}，求 ∩ ．
2 1
16.(本小题15分)
3 3 1
(1)求值：log2√2 + (1 + 2) 5 + ( 2)
2 25 52 √ ；
27
3 √
(2)化简： + √ 1 2 + 2( > 1)；
√
3 3
(3)已知 2
+
= 3( > 0)，求
+
的值．
17.(本小题15分)
设函数 ( ) = 2 2 + 2．
(1)求函数 ( )在区间[0,4]上的值域；
(2)若函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为2 1，求实数 的值．
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18.(本小题17分)
若函数 = ( )在区间[ , ]( < )上同时满足：① ( )在区间[ , ]上是单调函数，②当 ∈ [ , ]，函数 ( )
的值域为[ , ]，则称区间[ , ]为函数 ( )的“保值”区间．
1
(1)下列函数① = + 3；② = + 3；③ = 2；④ = 3 中，哪些存在“保值”区间，在答题纸

上直接写出序号；
(2)若一次函数 = + 存在“保值”区间，求实数 的取值范围；
1
(3)若函数 ( ) = 2 + 存在“保值”区间，求实数 的取值范围．
2
19.(本小题17分)
+
已知函数 ( ) = + ．
| |+1
(1)若函数 ( )是奇函数．
①用定义证明：函数 ( )在(0,+∞)上是增函数；
+2 5
②若函数 ( ) = (| |) √ 2 + 1 + | |，求不等式 ( ) + √ 2 > 解集．
2 1 2
1
(2)若 ( ) ≤ 在[ 2,3]上恒成立，求 的取值范围．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】2√ 3
14.【答案】(0,4] ( 2 + √ 3, 2 + √ 7]
15.【答案】解：(1)因为不等式 2 + ( 2) + 3 > 0的解集为 = { | 1 < < 3}，
所以 1和3是方程 2 + ( 2) + 3 = 0的两个根，且 < 0，
2
= 1+ 3 = 2 = 1
则{ ，解得{ ，
3
= 1 × 3 = 3 = 4

所以2 + = 2；
(2)由(1)可知： ( ) = 2 + 2 + 3 = ( 1)2 + 4 ≤ 4，
当且仅当 = 1时，等号成立，
所以集合 = ( ∞, 4]，
+2 3
由 ≥ 1，等价于 ≤ 0，
2 1 2 1
( 3)(2 1) ≤ 0
等价于{ ，
2 1 ≠ 0
1
解得 < ≤ 3，
2
1
所以 = ( , 3],
2
1
所以 ∩ = ( , 3]．
2
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1 22 116.【答案】解：(1)原式= + 5 + 2( 5 + 2) 5 5
3 3
1 1 1 1
= + 5 + 2 4 = + 1 4 = 3；
3 3 3 3
3
√ 1 1
3 √ 2 2
(2) + √ 1 2 + 2 = +√ (1 )2 =
√ 1 1
+ |1 | = 1 + 1 = ；
2 2
1
(3)由 2 = 3( > 0)可得 2 = ，
3
3 + 3 ( + )( 2 1+ 2 )
故 = = 2
1 7
1 +
2 = 3 1 + = ．
+ + 3 3
17.【答案】解：(1)由 ( ) = 2 2 + 2可得 ( ) = ( 1)2 + 1，开口向上，对称轴为 = 1，
故 ( )在[1,4]单调递增，在[0,1]单调递减，
故 ( ) = (1) = 1，因为|4 1| > |0 1|，又 (4) = 10，
故 ( )在区间[0,4]上的值域为[1,10]；

(2)法( )因为[0, ]的中点 ，当1 ≤ ，即 ≥ 2时，则 = 离对称轴较远，
2 2
在[0, ]上， ( ) = ( ) =
2 2 2 + 2 = 2 1，即 2 2 3 = 0，解得 = 3，或 = 1(舍)，

当 < 1，则 = 0离对称轴较远，
2
3
在[0, ]上， ( ) = (0) = 2 = 2 1，解得 = ， 2
3
综上所述：满足条件的 的值为3或 ；
2
法( )0 < ≤ 1时， ( )在[0, ]单调递减，
3
故 ( ) = (0) = 2 = 2 1，解得 = ，不符合 ≤ 1，故舍去， 2
当1 < < 2时，此时 1 < 1 0，所以函数在[0,1]单调递减，在[1, ]单调递增，
3 3
且 ( ) = (0) = 2 = 2 1，解得 = ，符合1 < < 2，故 = ， 2 2
当 ≥ 2时，此时 1 ≥ 1 0，所以在[0,1]单调递减，在[1, ]单调递增，
且 ( ) = ( ) =
2 2 + 2 = 2 1，解得 = 3或 = 1(舍去)，故 = 3，
3
综上可得 = 3或 = ．
2
18.【答案】解：(1)对于①：因为 = + 3在区间[ , ]上单调递增，
若函数 ( )的值域为[ , ]，
+ 3 =
则{ ，无解，
+ 3 =
所以 = + 3不存在“保值”区间；
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对于②：因为 = + 3在区间[ , ]上单调递减，
若函数 ( )的值域为[ , ]，
+ 3 =
则{ ，可得 + = 3，
+ 3 =
所以 = + 3存在“保值”区间；
对于③：因为 = 2的值域为[0,+∞)，
则0 ≤ < ，
可知 = 2在[ , ]上单调递增，
若函数 ( )的值域为[ , ]，
2可得{ =
= 0
，解得{ ，
2 = = 1
所以 = 2存在“保值”区间；
1
对于④：因为 = 3 在( ∞,0)，(0,+∞)内单调递增，

若 < < 0，函数 ( )的值域为[ , ]，
1
3 =
则{ ，无解；
1
3 =

若0 < < ，函数 ( )的值域为[ , ]，
1 3 √ 5
3 = =
则{ ，解得{ 2 ，
1
3 = 3+√ 5
= 2
1
所以 = 3 存在“保值”区间，

综上所述：①不存在“保值”区间，②③④存在“保值”区间；
(2)若一次函数 = + 存在“保值”区间，
当 > 0时，可知 = + 在[ , ]上单调递增，
若函数 ( )的值域为[ , ]，
+ =
则{ ，
+ =
可得 ( ) = ，
解得 = 1；
当 < 0时，可知 = + 在[ , ]上单调递减，
若函数 ( )的值域为[ , ]，
+ =
则{ ，
+ =
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可得 ( ) = ，
解得 = 1，
综上所述：实数 的取值范围{ 1,1}；
1 1 1
(3)函数 ( ) = 2 + 在( ∞, ]上单调递减，在[ , +∞)上单调递增，
2 4 4
1 1
若[ , ] [ ,+∞)，则 > ≥ ，
4 4
1
由 ( ) = ， ( ) = ，即函数 ( )在[ , +∞)有两个不等的实数根，
4
3
设 ( ) = ( ) = 2 + ，
2
9
> 0 4 > 0
3 1 4
所以{ >
3 1
4 4 ，即 > ，
1 4 4
( ) ≥ 0 1 3
4 { + ≥ 016 8
5 9
解得 ≤ < ，
16 16
1 1
若[ , ] ( ∞, ]，则 < ≤ ，
4 4
1 1
由 ( ) = 2 + = , ( ) = 2 + = ，
2 2
两式相减可得 2 2
1 1 3 1
+ = ，所以 = + = ，
2 2 2 2
从而 2
1 1 1 1
+ = ，即 2 + + + = 0，
2 2 2 2
1 1
同理可得 2 + + + = 0，
2 2
1 1
设 ( ) = 2 + + + ，
2 2
7
= 4 > 0
41 1
所以 < ，
4 4
1 1 1 1
{ ( ) = + + + ≥ 04 16 8 2
11 7
解得 ≤ < ，
16 16
5 9 11 7
综上可得，实数 的取值范围为[ , ) ∪ [ , )．
16 16 16 16
19.【答案】解：(1)由题意可知： ( )的定义域为 ，
若函数 ( )是奇函数，则 (0) = = 0，

即 ( ) = + ，
| |+1
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且 ( ) = + = ( + ) = ( )，
| |+1 | |+1
即 ( )是奇函数，

所以 = 0符合题意， ( ) = + ．
| |+1
+1 1 1
①若 > 0，则 ( ) = + = + = ( + 1) ，
+1 +1 +1
任取 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，
1 1 1
则 ( 1) ( 2) = ( 1 + 1) ( 2 + 1) + = ( )[1 + ]， 1+1 2+1 1 2 ( 1+1)( 2+1)
因为0 < 1 < 2，则 1 2 < 0， 1 + 1 > 0， 2 + 1 > 0，
可得 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在(0,+∞)上是增函数；
②因为 ( ) = (| |) √ 2
1
+ 1 + | | = (| |) ，
| |+√ 2+1
可知 ( )的定义域为 ，
1 1
且 ( ) = (| |) = (| |) = ( )，
2 √ 2
| |+√ ( ) +1 | |+ +1
所以 ( )为偶函数，
1
当 ≥ 0时，则 ( ) = ( ) ，
+√ 2+1
因为 = + √ 2 + 1在(0,+∞)上是增函数，
1
则 = 在(0,+∞)上是增函数，
+√ 2+1
且函数 ( )在(0,+∞)上是增函数，
可知函数 ( )在(0,+∞)上是增函数，
5
又因为 (1) = (1) + 1 √ 2 = √ 2，
2
+2 5 +2 5
若 ( ) + √ 2 > ，即 ( ) > √ 2 = (1)，
2 1 2 2 1 2
+2
可得| | > 1，即| + 2| > |2 1|，
2 1
平方得， 2 + 4 + 4 > 4 2 4 + 1，
整理可得3 2 8 3 < 0，(3 + 1)( 3) < 0，
1
解得 < < 3，
3
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1
所以不等式解集为( , 3)；
3
+ 1
(2)因为 ( ) = + ≤ ，
| |+1 2
+ 1
即 ≤ ，
| |+1 2
可得 | | + 3 ≤ 2 ，
原题意等价于 | | + 3 ≤ 2 在[ 2,3]上恒成立，
构建 ( ) = | | + 3 ，
当 ∈ [0,3]时， ( ) = 2 + 3 在[0,3]内单调递增；
当 ∈ [ 2,0)时， ( ) = 2 + 3 在[ 2,0)内单调递增；
且 ( )在[ 2,3]内连续不断，则 ( )在[ 2,3]内单调递增，
则 ( ) ≤ (3) = 18，可得18 ≤ 2 ，解得 ≤ 9，
所以 的取值范围为( ∞, 9]．
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