2024-2025学年浙江省衢州市部分学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025 学年浙江省衢州市部分学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 < < 2}， = { |2 + 1 < 3}，则 ∩ =( )
A. { |0 < < 1} B. { |1 < < 2} C. { | > 0} D. { | < 2}
2.命题“ < 0，使得 + 2 > 2 ”的否定为( )
A. < 0， + 2 > 2 B. ≥ 0，使得 + 2 > 2
C. < 0， + 2 ≤ 2 D. ≥ 0，使得 + 2 ≤ 2
1
3.设命题 ： ∈ ， 2 + 4 + 2 ≥ 0(其中 为常数)，则“命题 为真命题”是“ > ”的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 < ，则下列不等关系中一定成立的是( )
1 1
A. < 2 B. < 0 C. > D. 2 < 2

5.已知 = 0.10.2， = 0.20.1， = 20.02，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.方程2 + 5 = 0的解所在区间为( )
A. (4,5) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)
( )
7.已知函数 ( ) = ，则 ( )的图象大致是( )
| | 1
A. B.
C. D.
+ , ≤ 1
8.已知 ( ) = { 2 ，存在实数 ( > 0，且 ≠ 1)，对于 上任意不相同的 1， 2，都 ( 2) + , > 1
( 2) ( 1)有 > 1，则实数 的取值范围是( )
2 1
A. (0, +∞) B. [4, +∞) C. (0,4] D. [0,4]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 > > 0，则 > 2
B. 若 > > ，则 >
C. “ > 1， > 1”是“ + > 1”成立的充分不必要条件
D. “ > ”是“ 2 > 2”的必要不充分条件
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2 B. 若 < < 0，则 2 > > 2
1 1
C. 若 > > 0且 < 0，则 2 > 2 D. 若 > 且，则 <
11.已知非空集合 ，若对 ， ∈ ，都有 + ∈ ， ∈ 成立，则称集合 是封闭集.下列说法中正
确的是( )
A. 集合{ | = 2 , ∈ }是封闭集
B. 若集合 是封闭集，则 也是封闭集
C. 若集合 ， 为封闭集，且 ∪ ≠ ，则 ∪ 也是封闭集
D. 若集合 ， 为封闭集，且 ∩ ≠ ，则 ∩ 也是封闭集
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 + √ 3 + 6 = 0的倾斜角大小为______．
13.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且 ≤ 0时， ( ) = 2 2 3 + ，则 (1) = ______．
2 6 5, < 0,
14.已知函数 ( ) = { 若关于 的方程[ ( )]2 + (2 3) ( ) + 21 3 = 0有5个不同
|( ) 1|, ≥ 0,
2
的实数根，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是矩形，侧面 1 1是菱形， ， 分别是 1， 1的中点，
且 ⊥ 1．
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(1)求证： //平面 1 1 1；
(2)若 = 2，且△ 1是边长为4的正三角形，求三棱锥 1 的体积．
17.(本小题15分)
某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万
元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，
200
每接待 万名游客需要投入的流动成本为 ( )(单位：万元)，当游客人数不超过14万人时， ( ) = 2
3
4000
1040 + 3850，当游客人数超过14万人时， ( ) = 170 + 1900．

(1)写出该市旅游净收入 ( )(万元)关于游客人数 (万人)的函数解析式；(注：旅游净收入=旅游收入 固定
成本 流动成本)；
(2)当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？
18.(本小题17分)
( )
函数 ( )满足：对任意实数 ， ，有 ( ) = ( ) + ( )成立；函数 ( ) = , ( ≠ 0)， (2) = 1，且

当 > 1时， ( ) > 0．
(Ⅰ)求 ( 1)并证明函数 ( )为奇函数；
(Ⅱ)证明：函数 ( )在(0, +∞)上单调递增；
(Ⅲ)若关于 的不等式 ( 2 + 2 + 3) ( ) > 2恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：对函数 = ( )， ∈ 1和 = ( )， ∈ 2， 1 ∩ 2 = ，若对任意 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，均有
| ( 1) ( 2)| < | ( 1) ( 2)|，则称“函数 = ( )与 = ( )具有 类性质”．
1 1
(1)判断 ( ) = 与 ( ) = , ∈ [1, +∞)是否具有2类性质，并说明理由；
2
1
(2)已知 ( ) = 4 ， ∈ [1,2]．

①若 ( ) = 2 + + 与 ( )具有1类性质，求 的取值范围；
9
②若 ( )与 ( )具有2类性质，且 (1) = (2)，证明：对任意 1， 2 ∈ [1,2]，| ( 1) ( 2)| < ． 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
6
13.【答案】 5
14.【答案】( 1,0] ∪ (2，3]
15.【答案】解：(1)当 = 1时， = { | 2 < < 2}， ∪ = { | 2 < < 3}．
1 > 2
(2)由 知{2 ≤ 1 ，解得 ≤ 2，
1 ≥ 3
即实数 的取值范围为( ∞, 2]
16.【答案】解：(1)证明：如图，连接 1 ，设 1 ∩ = ，
∵ ， 分别是 1， 1的中点，
∴ // 1 1，又 平面 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1，
∴ //平面 1 1 1；
(2) ∵四边形 1 1是菱形，∴ 1 ⊥ 1，
又 ⊥ 1， ∩ 1 = ，
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∴ 1 ⊥平面 1 ，
1
∴ △ = × 4 × 2√ 3 = 4√ 3， 1 2
又 ⊥ 1， ⊥ 1， 1 ∩ 1 = 1，
∴ ⊥平面 1 1，
1 8√ 3
∴ 1 = = × 4√ 3 × 2 = ． 1 3 3
17.【答案】解：(1)已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益，
该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待 万名游客
需要投入的流动成本为 ( )(单位：万元)，
200
当游客人数不超过14万人时， ( ) = 2 1040 + 3850，当游客人数超过14万人时， ( ) = 170 +
3
4000
1900，

200 200
当0 ≤ ≤ 14时， ( ) = 160 300 2 + 1040 3850 = 2 + 1200 4150，
3 3
4000 4000
当14 < ≤ 35时， ( ) = 160 300 170 + 1900 = 1600 10 ，

200
2 + 1200 4150,0 ≤ ≤ 14
故 ( ) = { 3 ；
4000
1600 10 , 14 < ≤ 35

200 200
(2)当0 ≤ ≤ 14时， ( ) = 2 + 1200 4150 = ( 9)2 + 1250，
3 3
且当0 ≤ ≤ 9时， ( )在[0,9]单调递增，当9 < ≤ 14时， ( )在(9,14]单调递减，
此时 ( ) = (9) = 1250；
4000 4000
当14 < ≤ 35时， ( ) = 1600 10 ≤ 1600 2√ 10 = 1200，

当且仅当 = 20时，等号成立；
因为1250 > 1200，故当 = 9时， ( )取得最大值1250，
即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为 ( ) = ( ) + ( )，
令 = = 1，则 (1) = (1) + (1)，
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得 (1) = 0；
令 = = 1，
则 (1) = ( 1) ( 1)，
得 ( 1) = 0；
证明： ∈ ，令 = 1，
依题意得 ( ) = ( 1) + ( 1) ( )，
即 ( ) = ( )，所以 ( )是奇函数；
(Ⅱ)证明：由 ( ) = ( ) + ( )，
( ) ( ) ( )
得 = + ，

即 ( ) = ( ) + ( )，
1， 2 ∈ (0, +∞)， 1 < 2，
2 则 > 1， ( 2) > 0，
1 1

可得 ( 22) ( 1) = ( 1 ) ( 1) = ( ) + (
2
1 ) (
2
1
) = ( ) > 0，
1 1 1
即 ( 2) > ( 1)，
所以函数 ( )在(0, +∞)上单调递增；
( )
(Ⅲ)因为 ( ) = ( ≠ 0)，且函数 ( )为奇函数，

( ) ( ) ( )
则 ( ) = = = = ( )，

可知 ( )是偶函数，且 (4) = (2) + (2) = 2，
因为 ( 2 + 2 + 3) ( ) > 2，
可得 ( 2 + 2 + 3) > (4) + ( ) = (4 )，
因为 ( )是偶函数，且 2 + 2 + 3 = ( + 1)2 + 2 > 0，
可得 ( 2 + 2 + 3) > (|4 |)，
又因为函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，
可得 2 + 2 + 3 > |4 |，
因为 ≠ 0，
2+2 +3 3 2
则|4 | < = | | + + ，
| | | | | |
3 2
可知4 | < (| | + + ) ，
| | | |
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3 2 3 3
当 > 0时，| | + + = | | + + 2 ≥ 2√ | | + 2 = 2√ 3 + 2，
| | | | | | | |
3
当且仅当| | = ，即 = √ 3时，等号成立；
| |
3 2 3 3
当 < 0时，| | + + = | | + 2 ≥ 2√ | | 2 = 2√ 3 2，
| | | | | | | |
3
当且仅当| | = ，即 = √ 3时，等号成立；
| |
3 2
综上所述：(| | + + )
| | | |
= 2√ 3 2．
√ 3 1 √ 3 1
可得|4 | < 2√ 3 2，解得 < < ，且 ≠ 0，
2 2
√ 3 1 √ 3 1
所以 的取值范围为( , 0) ∪ (0, )．
2 2
1 1 1 1
19.【答案】解：(1)即验证不等式：| | < 2| |，
1 2 2
1 2 2

化简，得：| 2 1 | ≤ | 1 2|， 1 2
1
两侧同时除以| 1 2|得：| | < 1． 1 2
由于 1， 2 ∈ [1, +∞)， 1 2 > 1，故不等式成立．
函数 = ( )与 = ( )具有2类性质．
(2)① ( ) = 2 + + 与 ( )具有1类性质，
1 1
故( 21 + 1 + ) = (
2
2 + 2 + ] < (4 1 ) (4 )． 21 2
1
化简，得：|( 1 2)( 1 + 2 + )| < |( 1 2)(4 + )|． 1 2
1
两侧同时除以| 1 2|，得：| 1 + 2 + | < |4 + |． 1 2
1 1
解得： (4 + ) ( 1 + 2) < < (4 + ) ( 1 + 2)， 1 2 1 2
1 1
由于单调性判断：(4 + ) ( 1 + 2) > ( 1 = 2 = 2时取等号，故无法取等)． 1 2 4
1 1
1 + 2 + ≥ 3 √ 1 2 = 3， 1 2 1 2
1
等号成立条件无法取得，故 (4 + ) ( 1 + 2) < 7( 1 = 2 = 1时取等号，故无法取等)， 1 2
1
故 ∈ [ 7, ]．
4
②证明： ( )与 ( )具有2类性质，对 1， 2 ∈ [1,2]，| ( 1) ( 2)| < 2| ( 1) ( 2)|，
9 9
当| ( 1) ( 2)| ≤ 时，则| ( ) ( )| < ， 4 1 2 2
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9 9 1
当 < | ( 1) ( 2)| ≤ 时，由于 ( ) = 4 在 ∈ [1,2]单调递增， 4 2
9 9
不妨设1 ≤ 1 < 2 ≤ 2， > ( 1) ( 2) ≥ ， 4 2
因为 (1) = (2)，
故| ( 1) ( 2)| < | ( 1) (1) + (2) ( 2)| ≤ | ( 1) (1)| + | (2) ( 2)| < 2[ ( 1) (1)] +
9
2[ (2) ( 2)] = 2[ (2) (1)] + 2[ ( 1) ( 2)] < ． 2
9
综上所述，对任意的 1， 2 ∈ [1,2]，| ( 1) ( 2)| < ． 2
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