2024-2025学年黑龙江省大庆市大庆中学高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年黑龙江省大庆中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过 ( 3, 6)， ( 3,5)两点的直线的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
2.若直线 1：( + 1) + 2 + 1 = 0与直线 2： 2 + 1 = 0平行，则 的值为( )
A. ±2 B. 2 C. 2 D. 5
3.若圆 的圆心为(1,2)，且被 轴截得弦长为4，则圆 的方程为( )
A. 2 + 2 2 4 3 = 0 B. 2 + 2 2 4 + 1 = 0
C. 2 + 2 2 + 4 3 = 0 D. 2 + 2 2 + 4 + 1 = 0
4.已知点 (2,1)，点 在直线 + 3 = 0上，则| |的最小值为( )
A. √ 5 B. √ 26 C. 2√ 2 D. 4
5.若圆 ：( 1)2 + ( 3)2 = 8上存在两个点到直线 ： + + = 0的距离为√ 2，则实数 的取值范围
是( )
A. 6 < < 2 B. 10 < < 2
C. 2 < < 2或 10 < < 6 D. < 6或 > 2
2 2
6.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 为双曲线上一点，若 与 1恰好关
于 的一条渐近线 = 2 对称，且| 2| = 2，则△ 1 2的面积为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
7.一动圆与圆 2 + 2 + 4 = 0外切，同时与圆 2 + 2 4 60 = 0内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
9 5 9 5 25 21 25 21
2 2
8.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1、 2，过 1的直线与双曲线 的左右两支分布交
于两点 ， ，若
1
= 1 ，| | = | |，则双曲线的离心率为( ) 4 1 2
√ 33 √ 33
A. 2 B. C. 3 D.
2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ： 2 + 2 4 + 2 + 1 = 0与直线 ：4 3 + = 0，点 在圆 上，点 在直线 上，则下列
说法正确的是( )
A. 若 = 9，则直线 与圆 相切
B. 若圆 上存在两点关于直线 对称，则 = 11
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C. 若 = 14，则| | = 3
D. 若 = 14，从 点向圆 引切线，则切线长的最小值是√ 23
10.如图，四棱锥 中， ⊥底面 ，底面 为正方形，且 =
= 2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则( )
A. ⊥
√ 6
B. 与 所成角的余弦值是
6
√ 3
C. 点 到平面 的距离为
3
√ 13
D. 过点 ， ， 的平面截四棱锥 的截面面积为
3
11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ 黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料 强互作用
力( )材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示
(水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是
测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴
长小于圆的半径)的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 1， 2，则下列结论中正确的有( )
2 2 0
附：椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上一点( 0, 0)处的切线方程为 +
0
2 2 = 1
．

5 2
A. 圆法中圆的半径为 B.
2 1
=
3
C. 1 > 2 D. 1 < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
12.若双曲线的一个焦点坐标为(5,0)，实轴长为6，则它的标准方程是______．
√ 2
13.正四棱柱 1 1 1 1中， = = 1， 1 与平面 1 1所成角的正弦值为 ，则 1 = ______． 4
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2 2
14.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点为 ，若椭圆上离点 最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率
的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知平面内两点 (6, 6)， (2,2)．
(1)求过点 (1,3)且与直线 垂直的直线 的方程；
(2)若 (3,2)，求△ 的边 上的中线 所在直线方程；
(3)已知直线 过点 (1,3)，且与 平行，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知圆 过三点 (1,3)， (4,2)， (1, 7)．
(1)求圆 的方程；
(2)设直线 经过点 (6,1)，且与圆 相切，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)过点 ( 3√ 2, 4), (6,4√ 3)．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的右焦点的直线 与 交于 ， 两点，且以 为直径的圆过坐标原点 ，求直线 的方程．
18.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = √ 3， ⊥ ， 为 1 1的中点．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 ；
(2)若 = 6，求二面角 的余弦值．
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，长轴长为4√ 2，直线 2的倾斜
角为135°．
(1)求椭圆 的方程．
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1 1
(2)若椭圆 上的两动点 ， 均在 轴上方，且 1// 2，求证： + 的值为定值． | 1| | 2|
(3)在(2)的条件下求四边形的 2 1的面积 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 2
12.【答案】 = 1
9 16
13.【答案】√ 3
√ 2
14.【答案】(0, ]
2
15.【答案】解：(1) (6, 6)， (2,2)，
2+6
则 = = 2， 2 6
1
因 ⊥ ，故直线 的斜率为 ，
2
直线 过点 (1,3)，
1
则直线 的方程为 3 = ( 1)，即 2 + 5 = 0；
2
(2)由 (6, 6)， (2,2)可得边 的中点 (4, 2)，
(3,2)，
4
故直线 的斜率为 = = 4， 1
则 所在直线方程为 + 2 = 4( 4)，即4 + 14 = 0；
(3)由(1)已得 = 2，
直线 与 平行，故其斜率为 = 2，
则直线 的方程为 3 = 2( 1)，即2 + 5 = 0．
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16.【答案】解：(1)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
因为圆 过三点 (1,3)， (4,2)， (1, 7)，
1 + 9 + + 3 + = 0 = 2
所以{16 + 4 + 4 + 2 + = 0，解得{ = 4 ，
1 + 49 + 7 + = 0 = 20
圆 的方程为 2 + 2 2 + 4 20 = 0．
(2)由(1)知圆 是以(1, 2)为圆心，以 = 5为半径的圆，
( )若直线 的斜率不存在，
则此时 的方程为 = 6到圆心的距离为6 1 = 5，满足与圆 相切；
( )若直线 的斜率存在，
则设直线方程为 1 = ( 6)，即 + 1 6 = 0，
|3 5 |
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 = = 5，
√ 2 +1
8
解得 = ，所以切线方程为8 + 15 63 = 0．
15
综上，切线方程为 = 6或8 + 15 63 = 0．
18 16
2
2 = 1
17.【答案】解：(1)由题可得：{ ，
36 48
2 = 1 2
解得：{
2 = 9
2 ， = 16
2 2
所以双曲线 ： = 1；
9 16
(2)由题， 2 = 2 + 2 = 25，所以双曲线 的右焦点为(5,0)，
当直线 的斜率不存在时， ： = 5，
16 16
此时 (5, ), (5, )，
3 3
16 16
所以 = (5, ), = (5, )，
3 3
256又 = 25 ≠ 0，
9
所以以 为直径的圆不经过坐标原点，
即直线 的敘率存在，
设 ： = + 5， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 5
联立方程组{ 2 2 ，化简得(16 2 9) 2 + 160 + 256 = 0，
= 1
9 16
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16 2 9 ≠ 0 3
由题有：{
= (160 )2 4 × (16 2
，即 ≠ ± ，
9) × 256 > 0 4
160 256
所以 1 + 2 = , = ， 16 2 9 1 2 16 2 9
因为以 为直径的圆经过坐标原点，
所以 ⊥ ，即 = 0，
又 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，
所以 = 1 2 + 1 2 = ( 1 + 5)( 2 + 5) + 1 2
= ( 2 + 1) 1 2 + 5 ( 1 + 2) + 25
2 256 160 = ( + 1) × + 5 × + 25 = 0，
16 2 9 16 2 9
√ 31
解得： = ± ，
12
√ 31
所以 ： = ± + 5，
12
12√ 31
即 = ± ( 5)．
31
18.【答案】解：(1)证明：∵三棱柱 1 1 1为直三棱柱，∴ 1 ⊥面 ，
∴ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ 1 = ，∴ ⊥面 1 1 ，
又 1 1// ，故 A 1 1 ⊥面 1 1 ，
∵ 1 面 1 1 ，∴ 1 ⊥ 1 1，即 1 ⊥ 1 ，
又 = 1，∴四边形 1 1 为正方形，故 AB 1 ⊥ 1 ，
1 ∩ 1 = 1，∴ 1 ⊥面 1 ；
(2)由题意，可以以 ， ， 1所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 (√ 3, 0,0)， (0,6,0)， (0,3,√ 3)， = ( √ 3, 6,0)， = ( √ 3, 3, √ 3)，
设面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 √ 3 + 6 = 0则{ ，即{ ，
= 0 √ 3 + 3 + √ 3 = 0
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令 = 2√ 3，则 = 1， = √ 3，故 = (2√ 3, 1, √ 3)，
∵ 1 ⊥面 ，∴可取面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
| | √ 3
∴ |cos < ， > | = = ，
| || | 4
∴二面角 的余弦值为√ 3．
4
19.【答案】(1)解：由长轴长为4√ 2，
可得2 = 4√ 2， = 2√ 2．
因为点 上顶点，直线 2的倾斜角为135°，
所以 △ 2中，∠ 2 = 45°，
则| | = | 2| = = ，
又 2 + 2 = 2 = 8，
则 = = 2．
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1．
8 4
(2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 2,0)， 2(2,0)，
则 关于原点的对称点 ′( 3, 3)，
3 = 2
即{ ， 3 = 2
1 由 // ， = 2

= 21 2 1+2 2 2 2+2
，
所以 ， 1， ′三点共线，
又△ 2≌△ ′ 1，| 2| = | ′ 1|.
1 1 1 1 | ′|
+ = + = ，
| 1| | 2| | 1| | ′ 1| | 1|| ′ 1|
设 ′： = 2代入椭圆方程得( 2 + 2) 2 4 4 = 0，
2 4 4则 = 32( + 1)， 1 + 3 = 2 ， 1 3 = 2 ． +2 +2
4√ 2√ 2+1 4√ 2( 2+1)
| ′| = √ 1 + 2| 1 3| = √ 1 + 2 = ， 2+2 2+2
4
| 1|| ′ 1| = √ 2 + 1| 2
2
1|√ + 1| 3| = ( + 1) 2
，
+2
4√ 2( 2+1)
1 1 | ′| 2+ = = +2 = √ 2．
| 1| | 2| | 1|| ′ 1| 4(
2+1)
2+2
4
(3)解：四边形 2 1为梯形， = =2 ′ ， √ 2+1
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4√ 2( 2+1)
| 1| + | 2| = | 1| + | ′ 1| = | ′| = ， 2+2
1 8√ 2√ 2+1
= (| | + | |) = ，
2 1 2 2+2
令 = √ 2 + 1，
则 2 + 1 = 2 + 2，( ≥ 1)，
1
则0 < = 8√ 2 2 = 8√ 2 ≤ 4√ 2 +1 1 ，(当 = 1即 = 0时等号成立)， +

即 的取值范围(0,4√ 2]．
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