2024-2025学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.某工厂有 ， ， ， ， 共五个车间，各车间人数所占比例依次为： 车间15%， 车间40%， 车间30%，
车间14%， 车间1%.现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到 车
间或 车间的人数共为( )
A. 195 B. 165 C. 120 D. 45
2.已知向量 = ( 1,2,4)， = ( , 1, 2)，并且 ⊥ ，则实数 的值为( )
1 1
A. 10 B. 10 C. D.
2 2
3.圆心在 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A. 2 + ( 2)2 = 1 B. 2 + ( + 2)2 = 1
C. ( 1)2 + ( 3)2 = 1 D. 2 + ( 3)2 = 1
4.某校举办知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列结
论正确的是( )
A. 中位数估计为75 B. 众数估计为70
C. 平均数估计为68.5 D. 第85百分位数估计为85
2 2 √ 35.圆( 1) + = 1的圆心到直线 = 的距离是( )
3
1 √ 3
A. B. C. 1 D. √ 3
2 2
6.设直线 1：2 1 = 0， 2：( 1) + 1 = 0.则“ = 2”是“ 1// 2”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板 折起，使
得二面角 为直二面角，得图2所示四面体 .小明对四面体 中的直线、平面的位置关系
作出了如下的判断：① ⊥平面 ；② ⊥平面 ；③平面 ⊥平面 ；④平面 ⊥平面 .
其中判断正确的个数是( )
图1 图2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 1 2
8.从甲袋中摸出1个红球的概率是 ，从乙袋中摸出1个红球的概率是 ，从甲、乙两袋中各摸出1个球，则 可
3 2 3
能是( )
A. 2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率
C. 至少有1个红球的概率 D. 2个球中恰有1个红球的概率
9.已知向量 = ( , 1), = ( 1, )，则下列等式中，有且仅有一组实数 ， 使其成立的是( )
A. = 0 B. | | + | | = 2 C. | | = | | D. | + | = 2
5
10.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数 ( ) = sin( + )的部分图象， ， 分别是 ( )图象的
6
一个最高点和最低点， 是 ( )图象与 轴的交点， ⊥ ，现将该卡片沿 轴折成如图2所示的直二面角
，在图2中，则下列结果不正确的是( )
A. = √ 3
√ 14
B. 点 到平面 的距离为
14
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√ 3
C. 点 到直线 的距离为
3
√ 14
D. 平面 与平面 夹角的余弦值为
7
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.直线 √ 3 + = 0( 为实常数)的倾斜角的大小是______
12.经过圆 2 + 2 + 2 2 = 0的圆心且与直线 2 = 0垂直的直线方程是______．
13.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时
的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小
1 5
时以上且不超过2小时的概率为 ，停车付费多于14元的概率为 ，则甲停车付费恰好6元的概率为______．
4 12
14.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12
米，当水面下降2米后，水面宽为______米．
15.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 ， 1
上的动点，给出下列四个结论：
①存在点 ， ，使得 ⊥平面 1 ；
②当 为线段 1的中点时，三棱锥 1 1的体积为定值；
③当 为线段 的中点时， ， 两点之间距离的最小值为√ 2；
④当 为靠近点 的三等分点时，平面 1 截该正方体所得截面的周长为
2√ 5 + 2√ 2 + 2．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
求下列直线方程：
(1)已知 ( 3,4)， (3,1)， ( 1, 1)，在△ 中；
(ⅰ)求 边所在的直线方程；
(ⅱ)求 边上的垂直平分线所在直线的方程；
(2)已知点 (3, 1)，求过点 且与原点距离为3的直线 的方程．
17.(本小题14分)
已知△ 的顶点 (2, 8)，直线 的方程为 = 2 + 11， 边上的高 所在直线的方程为 + 3 +
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2 = 0．
(1)求顶点 和 的坐标；
(2)求△ 外接圆的一般方程．
18.(本小题14分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 + = √ 2 ，△ 的面积为4．
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 = 2，求边长 ．
19.(本小题14分)

已知在测试中，客观题难度的计算公式为 = ，其中 为第 题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测
试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估
了每道题的难度，如下表所示：
题号 1 2 3 4 5
考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”
表示答错)：
题号
1 2 3 4 5
学生编号
1 × √ √ √ √
2 √ √ √ √ ×
3 √ √ √ √ ×
4 √ √ √ × ×
5 √ √ √ √ √
6 √ × × √ ×
7 × √ √ √ ×
8 √ × × × ×
9 √ √ √ × ×
10 √ √ √ √ ×
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(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名
学生中第5题的实测答对人数．
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数
实测难度
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
1
(3)定义统计量 = [( ′ )2 + ( ′ )21 1 2 2 + + ( ′
2
) ]，其中 ′ 为第 题的实测难度， 为第 题
的预估难度( = 1,2, … , ).规定：若 ≤ 0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测
试的难度预估是否合理．
20.(本小题14分)
1
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 1， 为棱
2
的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = √ 5， = 1，
( )求二面角 的余弦值；
2√ 6
( )在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明
9
理由．
21.(本小题15分)
设 为正整数，集合 = { | = ( 1, 2, … , )， ∈ {0,1}， = 1，2，…， }，对于集合 中的任意元素 =
1
( 1, 2, … , )和 = ( 1, 2, … , )，记 ( , ) = [( 2 1 + 1 | 1 1|) + ( 2 + 2 | 2 2|) + + ( +
| |)]．
(Ⅰ)当 = 3时，若 = (1,1,0)， = (0,1,1)，求 ( , )和 ( , )的值；
(Ⅱ)当 = 4时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 ， ，当 ， 相同时， ( , )是奇数；当 ，
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不同时， ( , )是偶数．求集合 中元素个数的最大值；
(Ⅲ)给定不小于2的 ，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素 ， ， ( , ) = 0，写出
一个集合 ，使其元素个数最多，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】30°
12.【答案】2 + + 1 = 0
1
13.【答案】
3
14.【答案】16
15.【答案】①②
1 1 1
16.【答案】(1)( )根据题意，可得 = = ， 1 3 2
1
则 边所在的直线方程为 1 = ( 3)，即 2 1 = 0；
2
3 1 1 1
( )线段 的中点坐标为( , )，即(1,0)，
2 2
1 1 1
由( )知 = = ，垂直平分线的斜率为 2， 1 3 2
所以 边的垂直平分线所在直线的方程为 = 2( 1)，即2 + 2 = 0．
(2)①当直线 的斜率不存在时，此时 ： = 3，符合题意；
②若直线 的斜率存在，设 ： + 1 = ( 3)，即 3 1 = 0，
| 3 1| 4 4
由 = 3，解得 = ，此时 方程为 + 1 = ( 3)，即4 3 15 = 0．
√ 2
3 3
+1
综上所述，直线 的方程为 = 3或4 3 15 = 0．
= 2 + 11 = 7
17.【答案】解：(1)由{ ，解得{ ，可得顶点 (7, 3)，
+ 3 + 2 = 0 = 3
1
又因为 ⊥ ， = ， 3
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所以设 的方程为 = 3 + ，
将 (2, 8)代入得 = 14，
= 2 + 11 = 5
由{ ，解得{ ，可得顶点 (5,1)，
= 3 14 = 1
∴顶点 和 的坐标分别为(5,1)和(7, 3)．
(2)设△ 的外接圆方程为 2 + 2 + + + = 0( 2 + 2 4 > 0)，
将 (5,1)、 (7, 3)和 (2, 8)三点的坐标分别代入得：
5 + + + 26 = 0 = 4
{7 3 + + 58 = 0，解得{ = 6 ,
2 8 + + 68 = 0 = 12
所以△ 的外接圆的一般方程为 2 + 2 4 + 6 12 = 0．
18.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及 + = √ 2 ，得 + = √ 2 ，
所以sin( + ) = = √ 2 ，
√ 2
因为0 < < ，所以 ≠ 0，所以 = ，即 = ．
2 4
(Ⅱ)因为△ 的面积为4，且 = 2，
1 √ 2
所以 = = = 4，解得 = 4√ 2，
2 2
√ 2
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 4 + 32 2 × 2 × 4√ 2 × = 20，
2
所以 = 2√ 5．
19.【答案】解：(1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 8 8 7 7 2
实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2
∴估计120人中有120 × 0.2 = 24人答对第5题．
(2)记编号为 的学生为 ，( = 1,2,3,4,5)，
从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数 = 25 = 10，
恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：
( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 4)，( 2, 3)，( 3, 5)，( 4, 5)，
6 3
∴恰好有1人答对第5题的概率 = = ．
10 5
1
(3)定义统计量 = [( ′ )21 1 + ( ′2
2
2) + + ( ′
2

) ]，其中 ′ 为第 题的实测难度，
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为第 题的预估难度( = 1,2, … , )．
1
∴ = [(0.8 0.9)2 + (0.8 0.8)2 + (0.7 0.7)2 + (0.7 0.6)2 + (0.2 0.4)2] = 0.012，
5
∵ = 0.012 ≤ 0.05，∴该次测试的难度预估合理．
20.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵ 为棱 的中点，
1
∴ // ， = ，
2
1
∵ // ， = ，
2
∴ // ， = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)解：∵ = √ 5， = 1， = 2，
∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ，
∴以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图：
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则 (0,0,1)， (0,0,0)， (1,0,0)， (0,2,0)，
∵ 为棱 的中点，
1
∴ (0,1, )， (1,1,0)，
2
( )
1
= (0,1, )， = (1,1,0)
2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

1
= + = 0
则{ 2 ，令 = 2，则 = 1， = 1，
= + = 0
∴ = (1, 1,2)，
平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
1 √ 6
∴ cos < ， >= = = ，
| || | 1×√ 6 6
∴二面角 的余弦值为√ 6；
6
( )假设在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是2√ 6，
9
设 = ，0 < < 1，则 ( , 0,1 )， = ( 1, 1,1 )，
由( )知平面 的一个法向量为 = (1, 1,2)，
= 1 + 1 + 2(1 ) = 2 ，
2 2√ 6
∵点 到平面 的距离是 = = ，
| | √ 6 9
2
， 2√ 2∴ = ∴ = ．
3 3
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，当 = 3时，若 = (1,1,0)， = (0,1,1)，
则 ( , ) = 1 + 1 + 0 = 2，
( , ) = 0 + 1 + 0 = 1．
(Ⅱ)考虑数对( , )只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)，
+ | |相应的 分别为0、0、0、1，
2
所以 中的每个元素应有奇数个1，
所以 中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：
(1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)，
(0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0)，
对于任意两个只有1个1的元素 ， 都满足 ( , )是偶数，
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所以四元集合 = {(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}满足题意，
假设 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
若除了这对互补元素之外还有1个含有3个1的元素 ，
则互补元素中含有1个1的元素 与之满足 ( , ) = 1不合题意，
故 B 中元素个数的最大值为4．
(Ⅲ) = {(0,0,0, … ,0)，(1,0,0, … ,0)，(0,1,0, … ,0)，(0,0,1, … ,0) …，(0,0,0, … ,1)}，
此时 中有 + 1个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素 ， ，满足 ( , ) = 0，
则 ， 中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在 有多于 + 1个元素，
由于 = (0,0,0, … ,0)与任意元素 都有 ( , ) = 0，
所以除(0,0,0, … ,0)外至少有 + 1个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对 ， 满足 = = 1，此时 ( , ) ≥ 1不满足题意，
故 B 中最多有 + 1个元素．
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