2024-2025学年上海市青浦高级中学高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025 学年上海市青浦高级中学高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1
1.“ > > 0”是“ > ”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2
2.函数 ( ) = ( 1) 图象的大致形状是( ) 1+
A. B. C. D.
3.如图所示，在正方体 1 1 1 1中，点 为边 1 1上的动点，则下列直
线中，始终与直线 异面的是( )
A. 1
B.
C. 1
D. 1
4.已知数列{ }的各项均为正数，其前 项和为 ，满足 = 9( = 1,2,… )，给出下列四个结论：①{ }
1
的第2项小于3；②{ }为等比数列；③{ }为递减数列；④{ }中存在小于 的项其中正确结论的个数是100
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
1
5.已知集合 = { | 1 < < 4}， = { | = 3 }，则 ∩ = ______．
2
6.已知复数 满足： = ( 为虚数单位)，则| | = ______．
1+
7.已知 = (1, 2,3)， = (2, , )，若 // ，则 + = ______．
8.设等差数列{ }的前 项和为 ，若 2 + 8 = 15 5，则 9等于______．
9.已知圆 的方程为 2 + 2 2 +4 = 0，则圆心 的坐标为______．
4
10.已知cos( ) = ，则 2 = ______．
2 5
1
11.二项式( + )10的展开式中，各项系数的最大值是______．
3
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12.记 为数列{ }的前 项和，已知4 = 3 + 4，则数列的通项公式 = ______．
13.已知正实数 、 满足 + +4 = 2 ，则 + 的最小值为_____．
14.设圆锥底面圆周上两点 、 间的距离为2，圆锥顶点到直线 的距离为√ 3， 和圆锥的轴的距离为1，
则该圆锥的侧面积为______．
1 1
15.设 ∈ ， ∈ ，若存在唯一的 使得关于 的不等式组 2 < < + 有解，则 的取值范围是
2 2
______．
16.对任意数集 = { 1 , 2 , 3}，满足表达式为 =
3 + 2 1且值域为 的函数个数为 .记所有可能的
的值组成集合 ，则集合 中元素之和为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为1，高为2， 、 相交于点 ．
(1)证明：直线 1 与平面 1 1 平行；
(2)求三棱锥 1 1 的体积．
18.(本小题14分)
( ) = log3( + ) + log3(6 )．
(1)若将函数 ( )图像向下移 ( > 0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数 ， 的值．
(2)若 > 3且 ≠ 0，求解不等式 ( ) ≤ (6 )．
19.(本小题14分)
为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价
格变化时，用“+”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高，用“ ”表示“下跌”，即当天价格比前
一天价格低：用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
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时段 价格变化
第1天到
+ + 0 + + 0 + 0 + + 0 0 +
第20天
第21天
0 + + 0 + + 0 + 0 + + 0 +
到第40天
用频率估计概率．
(Ⅰ)试估计该农产品“上涨”的概率；
(Ⅱ)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中
2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(Ⅲ)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”
和“不变”的概率估计值哪个最大. (结论不要求证明)
20.(本小题18分)
2 2 √ 5
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，点 ( 2,0)在 上． 3
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为 1， 2，点 在 上( 异于椭圆的顶点)，直线 1 与 轴相交于点 ，点 (0,2)，
若△ 2 的面积是△ 1 面积的两倍，求点 的坐标；
(3)过点( 2,3)的直线交 于 ， 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，证明：线段 的中点为定
点．
21.(本小题18分)
已知函数 ( ) = 和 ( ) = ， ∈ ．
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(1)求 ( )在点(0,1)处的切线方程；
(2)若函数 ( )和 ( )有相同的最小值，①求 的值；②证明：存在直线 = ，其与两条曲线 = ( )和 =
( )共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{ | 1 < < 4}
6.【答案】√ 2
7.【答案】2
8.【答案】45
9.【答案】(1, 2)
7
10.【答案】
25
11.【答案】5
12.【答案】4 ( 3) 1
13.【答案】4
14.【答案】2√ 2
15.【答案】( 1,1 √ 3]
16.【答案】643
17.【答案】(1)证明：连接 1 1交 1 1于 ，连接 ，则 为 1 1的中点，
由正四棱柱 1 1 1 1得 1 // 1 且 1 = 1 ，
又 ， 分别为 1 1和 的中点，
所以可得 1 = 且 1 // ，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 // 1，又 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
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所以直线 1 //平面 1 1 ；
(2)解：连接 1 ， 1 ，
因为 1 ⊥面 ， 面 ，
则 ⊥ 1 ，又 ⊥ ， ∩ 1 = 1， 1 面 1 1， 面 1 1
∴ ⊥平面 1 1，
因为正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为1，高为2，
∴ = 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
= × 1 × × × × × × 1 × × × × 1 3 3 2 3 2
1 √ 2 1 1 √ 2 √ 2 1 1 √ 2 √ 2 1
= × 2 × √ 2 × × × × × 2 × × × × 2 = ，
3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
1
所以三棱锥 1 1 的体积为 ． 3
18.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = log3( + ) + log3(6 )，
将函数 ( )图像向下移 ( > 0)后，得 = ( ) = log3( + )+ log3(6 ) 的图像，
由函数图像经过点(3,0)和(5,0)，
(3+ ) + 1 = 0
所以{ 3 ，
3(5+ ) + 0 = 0
解得 = 2， = 1．
(2) > 3且 ≠ 0时，不等式 ( ) ≤ (6 )可化为log3( + ) + log3(6 ) ≤ log3( + 6 ) + log3 ，
+ > 0
6 > 0
等价于 + 6 > 0 ，
> 0
{( + )(6 ) ≤ ( + 6 )
>
< 6
解得 < + 6 ，
> 0
{ ( 3) ≥ 0
当 3 < < 0时，0 < < 3，3 < +6 < 6，解不等式得 < ≤ 3，
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当 > 0时， < 0， + 6 > 6，解不等式得3 ≤ < 6；
综上知， 3 < < 0时，不等式 ( ) ≤ (6 )的解集是( , 3]，
> 0时，不等式 ( ) ≤ (6 )的解集是[3,6)．
16
19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为 = 0.4．
40
14
(Ⅱ)由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为 = 0.35，
40
10
40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为 = 0.25，
40
则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率 2 × 0．424 ×
1
2 × 0.35 ×
1
1 ×
0.25 = 0.168．
(Ⅲ)由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，
4
“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为 ，
15
3
“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为 ，
5
2
“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为 ，
15
故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．
20.【答案】解：(1)
√ 5
因为椭圆椭圆 的离心率为 ，
3
√ 5
所以 = ，①
3
因为点 ( 2,0)在椭圆上，
所以 = 2，②
又 2 = 2 + 2，③
联立①②③，
解得 = 3， = 2， = √ 5，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
9 4
(2)由(1)知， 1(0,3)， 2(0, 3)，
设 ( 0, 0)( 2 < 0 < 2, 3 < 0 < 3，且 0 ≠ 0， 0 ≠ 0)，
此时| 1 | = 1，
1 1
所以 △ = | 1 | | 0| = | 0|， 1 2 2
0 3
因为 1 = ， 0
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3
所以直线 1 的方程为 =
0 + 3，
0
令 = 0，
3 0
解得 = 3 ， 0
3 0
即 ( , 0)3 ， 0
因为| 1 2| = 6，
1 3 0 1 3
所以 △ = | △ △ | = | × 6 × | | × 6 × | 0|| = 3| 0| || | 1|2 1 2 1 2 2 3 0 2 3
，
0
因为 △ 2 = 2 △ 1 ，
3
所以3| 0| || | 1| = | |3 0 ， 0
3
即3 || | 1| = 13 ， 0
3 21 3 15
解得 0 = 或 (舍去)或 或 (舍去)， 4 4 2 2
因为点 在椭圆上，
3
当 0 = 时， 4
解得 √ 15 0 = ± ； 2
3
当 0 = 时， 2
解得 0 = ±√ 3，
则点 的坐标为 √ 15 3 √ 15 3
3 3
( , )或( , )或(√ 3, )或( √ 3, )；
2 4 2 4 2 2
(3)证明：易知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = ( + 2) + 3， ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
= ( + 2) + 3
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(4 2 +9) 2 +8 (2 + 3) + 16( 2 +3 ) = 0，
+ = 1
9 4
此时 = 64 2(2 + 3)2 64(4 2+ 9)( 2+ 3 ) > 0，
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解得 < 0，
2
8 (2 +3) 16( +3 )
由韦达定理得 1+ 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 +9 4 +9

因为 ： =
1 ( + 2)
+2 ， 1
令 = 0，
2
解得 = 1 ，
1+2
2
即 (0, 1 )，
1+2
2
同理得 (0, 2 )，
2+2
2 1 2 + 2
则 1+2 2+2 [ ( 1+2)+3] [ ( 2+2)+3]= +
2 1+2 2+2
[ 1+(2 +3)]( 2+2)+[ 2+(2 +3)]( 1+2) 2 1 2+(4 +3)( 1+ = = 2
)+4(2 +3)
( 1+2)( 2+2) 1 2+2( + )+4
1 2
32 ( 2+3 ) 8 (4 +3)(2 +3)
2 2 +4(2 +3)
= 4 +9 4 +9
108
2 = = 3． 16( +3 ) 16 (2 +3) 36
2 2 +4
4 +9 4 +9
故线段 的中点是定点(0,3)．
21.【答案】解：(1)因为 ( ) = ，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = ，
所以 ′(0) = 1 ，
又 (0) = 1，
所以 ( )在点(0,1)处的切线方程为 1 = (1 ) ，
即 = (1 ) + 1；
(2)①易知 ′( ) = ，
若 ≤ 0，
此时 ′( ) > 0， ( )单调递增，无最小值，不符合题意；
所以 > 0，
当 < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = ( ) = ，
因为 ( )的定义域为(0,+∞)，
1 1
可得 ′( ) = = ，

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1
当 ∈ (0, ), ′( ) < 0, ( )单调递减；

1
当 ∈ ( ,+∞), ′( ) > 0, ( )单调递增，

1 1
所以 ( ) = ( ) = 1 ln ，
因为 ( ) = 和 ( ) = 有相同的最小值，
1
所以 = 1 ln ，

1
即 = ， > 0，
1+
1
设 ( ) = , > 0，
1+
2 1 2 1
可得 ′( ) = 2 = < 0，
(1+ )
2
(1+ )
所以 ( )在(0,+∞)上单调递减，
又 (1) = 0，
所以 ( ) = 0的唯一解为 = 1，
则 = 1；
②证明：由①知 = 1，
所以 ( ) = ， ( ) = ，
此时 ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增； ( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又 ( ) = ( ) = 1，
设 ( ) = ( ) ( ) = 2 + ，函数定义域为(0,+∞)，
1
可得 ′( ) = 2 + > 2，

当 ≥ 1时， ′( ) ≥ 2 2 > 0，
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，
因为 (1) = 2 > 0，
所以当 ≥ 1时， ( ) ≥ (1) > 0恒成立，
即 ( ) ( ) > 0在 ≥ 1时恒成立，
所以 ≥ 1时， ( ) > ( )，
因为 (0) = 1，函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，
(1) = 1，函数 ( )在(0,1)上单调递减，
所以函数 ( )与函数 ( )的图象在(0,1)上存在唯一交点，
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设该交点为 ( , ( ))(0 < < 1)，
函数 = ( )和 = ( )的大致图象如下所示：
由图象知当直线 = 与两条曲线 = ( )和 = ( )共有三个不同的交点时，
直线 = 必经过点 ( , ( ))，
即 = ( )，
因为 ( ) = ( )，
所以 = ，
即 2 + = 0，
令 ( ) = = ( )，
解得 = 或 = ，
因为0 < < 1，
所以 < 0 < ，
令 ( ) = = ( )，
解得 = 或 = ，
因为0 < < 1，
所以 < 1 < ，
所以当直线 = 与两条曲线 = ( )和 = ( )共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为 ， ， ，
因为 2 + = 0，
所以 + = 2 ，
所以 ， ， 成等差数列．
故存在直线 = ，其与两条曲线 = ( )和 = ( )共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列．
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