2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.设 为虚数单位，若 = 3 ，则 =( )
A. 2 + B. 2 C. 1 + 2 D. 1 2
2.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布
直方图.则下列结论错误的是( )
A. 估计数学成绩的众数为75
B. = 0.05
C. 估计数学成绩的75百分位数约为85
D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50

3.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的图像与直线 = (0 < < )的相邻三个交点的
2
横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数 = ( )的严格减区间的是( )
1 7
A. [ , 2] B. [2, ] C. [0,2] D. [2,5]
2 2
( 1)
4.设奇函数 = ( )的定义域为 ，且 (1) = 2，若对任意 1， 2 ∈ (0,+∞)( 1 ≠ 2)，都有( 1 2)[ 1
( 2)] < 0，则不等式 ( + 2) > 2 + 4的解集为( )
2
A. ( ∞, 3) B. ( 2, 1)
C. ( 3, 2) ∪ ( 2, 1) D. ( ∞, 3) ∪ ( 2, 1)
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
1
5.函数 = √ 5 + 的定义域为______．
2
+3
6.不等式 ≤ 0的解集为______．
4
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1
7.已知 = ，则 2 = ______．
4
4
8.当 > 1时，函数 = + 的最小值是______．
1

9.设等比数列{ }的前 项和为 ，若 1 = 2， 2 = 3，则 → ∞ = ______．
10.若 = { | 2 > 2, ∈ }， = { |log2| | < 2}，则 ∩ = ______．

11.若 2 = ，且 ∈ (0, )，则 = ______．
2 sin 2
6
12.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 且半径为5的扇形，则它的体积为______．
5
13.已知有4名男生6名女生，若从这10人中任选4人，则恰有2名男生和2名女生的概率为______. (结果用分
数表示)
14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些
碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全
抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次
爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米.
15.如图，在边长为3的正方形 中， = 2 ，若 为线段 上的动点，则
的最小值为______．
1
16.设 ( ) = 2 ( )| | + ，若实数 ， 满足 + = 0，且函数 = ( )的图像可以无限接近直线 = 1但
2
3
又永远不相交，则不等式 ( ) > 的解集为______．
4
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = √ 3 ， = √ 3 ．
(1)求角 ；
(2)若△ 的面积为3√ 3，求 ．
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18.(本小题14分)
在等差数列{ }中， 1 = 2，且 2， 3 + 2， 8构成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 = 2 +9，记 为数列{ }的前 项和，若 ≥ 2024，求正整数 的最小值．
19.(本小题14分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，底面 为直角梯形， ⊥ ， // ， = 2 =
2 = 2， = 1， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点．
(1)证明：平面 //平面 ．
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.(本小题18分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点(√ 2, 1)且离心率为 ，设直线 与椭圆 相交于 ， 两点． 2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的斜率为1，求线段 中点 的轨迹方程；
(3)若直线 的斜率为2，在椭圆 上是否存在定点 ，使得 + = 0( , 分别为直线 ， 的斜率)
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在.请说明理由．
21.(本小题18分)
设 ( ) = + ( ∈ 且 ≠ 0)．
(1)若函数 = ( )是 上的严格增函数，求实数 的取值范围；
(2)已知数列{ }是等差数列(公差 ≠ 0)，设 = ( )，若存在数列{ }使得数列{ }也是等差数列，试
求满足条件的一个数列{ }；
(3)若 = 1，是否存在直线 = + 满足：①对任意的 ∈ ，都有 ( ) ≥ + 成立；②存在 0 ∈ ，
使得 ( 0)= 0 + ？若存在，求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{ | ≤ 5且 ≠ 2}
6.【答案】[ 3,4)
7
7.【答案】
8
8.【答案】5
9.【答案】4
10.【答案】{ 2, 3,2,3}
√ 15
11.【答案】
15
12.【答案】12
3
13.【答案】
7
14.【答案】80
27
15.【答案】
8
16.【答案】{ | < 3或 > 3}
17.【答案】解：(1)由题意， 2 + 2 2 = √ 3 ，
2 2 + 2 √ 3 √ 3 1
由余弦定理得 = = = ，故 = ，
2 2 2 2
√ 3
又 = √ 3 = ，且 ∈ (0, )，
2

所以 = ；
6
2
(2)由(1)知 = = ，所以 = ， = ，
6 3
1
因为 △ = = 3√ 3，所以 = 12， 2
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 36，所以 = 6．
18.【答案】解：(1)在等差数列{ }中， 1 = 2，设公差为 ，
由 2， 3 + 2， 8构成等比数列，可得 = ( + 2)
2
2 8 3 ，
即有(2 + )(2+ 7 ) = (4 + 2 )2，解得 = ±2( 2舍去，由于 2 = 0)，
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则 = 2 + 2( 1) = 2 ；
(2) = 2
+9 = 4 + 9，
4(1 4
) 4 +1 4
= (4 + 16+. . . +4 )+ 9 = +9 = +9 ， 1 4 3
1 1
由 5 = × (4
6 4)+ 45 = 1409 < 2024， 6 = × (4
7 4) + 54 = 5514 > 2024，
3 3
且{ }为递增数列，
所以 ≥ 2024时，正整数 的最小值为6．
19.【答案】解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 ，如图，
1
因为 // ，且 = = ， ⊥ ，
2
所以四边形 为矩形，
所以 为 的中点，又因为 为 的中点，
所以 为△ 的中位线，即 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，所以 // ，
因为 //平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
(2)因为 ⊥底面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，因为 ⊥ ，
所以 ， ， 两两互相垂直，
以 为原点， ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
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则 (0,0,0)
1 1
， ( , 0, )， (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,1)，
2 2
1 1
所以 = ( , 1, )， = (1,1, 1)， = (0,2, 1)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 2 = 0，所以{ ，
= 0 + = 0
令 = 1，可得 = 2， = 1，
所以 = (1,1,2)，
设直线 与平面 所成角为 ，
1 1
| | | ×1+1×1+( )×2| 1
则 = =
2 2 =
| || | ， √ 6×√ 1 2 1 2 6 ( ) +12+( )
2 2
1
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
6
2 1
2 + 2 = 1 2
20.【答案】解：(1)由题可得： ，解得：{ = 4 √ 2 2 ， =
2
= 2
{ 2 = 2 + 2
2 2
所以椭圆 的标准方程为： + = 1；
4 2
(2)因为直线 的斜率为1，所以可设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
= +
联立 { 2 2 2 2 ，化简得3 + 4 + 2 4 = 0，则 = 16 2 4 × 3(2 2 4) > 0，解得： √ 6 < <
+ = 1
4 2
√ 6，
4 2 2 4
所以 1+ 2 = ， 1 2 = ，设弦 中点 ( , )， 3 3
4
1+ 2 2 + ( 1+ )+( 2+ ) +2
则 = = ， = 1 2 = = 3 = ，
2 3 2 2 2 3
1 2 2√ 6 2√ 6
消去 ，得 = ，而 = ∈ ( , )，
2 3 3 3
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1 2√ 6 2√ 6
所以点 的轨迹方程为 = , ∈ ( , )；
2 3 3
(3)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)， ( 0 , 0)，

则 +
1 0
= +
2 0 = 0，
1 0 2 0
因为直线 的斜率为2，设直线 的方程为2( 0) ( 0) = ( ≠ 0)，其中 = 2，且 不过
( 0, 0)，
椭圆的方程可化为 2 +2 2 4 = 0，即( + )20 0 + 2( + )
2
0 0 4 = 0，
所以( 0)
2+ 2 0( 0)+
2
0 +2(
2
0) + 4 0( 0) + 2
2
0 4 = 0，
即( 0)
2+ 2 0( 0)+ 2( 0)
2 + 4 0( 0) = 0，
2 4
所以( 20) + 2( 0)
2 + 0( 0)[2( 0) ( 0)] + 0( 0)[2( 0
) ( 0)] = 0，
4 4 8
所以( 2 2 0
2 0
0+ 1)( 0) + (2 0)( 0) + ( )( 0)( 0) = 0，
4 8 2 4
所以(2 )( 0 )20 + ( )
0 + +1 = 0，
0 00
0
0
8 2
0
2 2
+ =
0
4 = 0，解得 0 = 4 0，代入
0 + 0 = 1，
2 4 2
0
√ 2 4√ 2
解得： 0 = ± ，所以 0 = ± ， 3 3
4√ 2 √ 2 4√ 2 √ 2
所以存在点 ( , )或 ( , )，使得 + = 0恒成立．
3 3 3 3
21.【答案】解：(1)由 ( ) = + ( ∈ 且 ≠ 0)是实数集 上的严格增函数，
可得 ′( ) = + ≥ 0对任意的 ∈ 都成立，
而 1 ≤ ≤ 1，可得 ≥ 1，
故实数 的取值范围为[1,+∞)；
(2) = ( ) = + ，
由于数列{ }是等差数列(公差 ≠ 0)，
若存在数列{ }使得数列{ }也是等差数列，
可得 +1 = +1 + +1 = ( +1 )+ ( +1 )= +
( +1 )为常数，
即有 +1 为常数0，即有 +1 = 2 ，或 +1 = 2 + (舍去)，
可得 = 2 ( 1) + 1， ∈ 且 ≠ 0，
则满足条件的一个数列{ }为 = 2 ；
(3)令 ( ) = ( + ) ( + ) = (1 ) + ，
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则当 ∈ ， ≠ 1时， ( + 2 ) = 2(1 ) + sin ，
1 1

若 > 1，存在 ∈ ，使得 ( + 2 ) < 0，
1
即存在 ∈ ，使得 ( ) < + ，与题意不符；
同理，若 < 1，存在 ∈ ，使得 ( ) < + ，与题意不符．
当 = 1时， ( ) = ，
当 > 1时，显然存在 ∈ ，使得 ( ) < 0，即存在 ∈ ，使得 ( ) < + ；
当 < 1时，对任意的 ∈ ，都有 ( ) > 0，

当 = 1时，存在 0 = ，使得 ( 0) = 0+ ，且对任意的 ∈ ，都有 ( ) ≥ 0， 2
即对任意的 ∈ 都有 ( ) ≥ + ．
综上，存在直线 = + 满足题意，直线方程为 = 1．
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