2024-2025学年河北省邯郸市名校联考高三（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年河北省邯郸市名校联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 5 < 3 < 10}， = { | = ln( + 1)}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {0,1} C. {1,2} D. { 1,0,1,2}
2.如图，梯形 的腰 的中点为 ，且 = 3 ，记 = , = ，则
=( )
1
A. + 2
2
1
B. + 2
2
1
C. 2 +
2
1 3
D. +
2 2
3.设等比数列{ }的前 项和为 ， 5 + 6 = 16， 6 = 21，则 2 =( )
A. 1 B. 4 C. 8 D. 25

4.若两个正实数 ， 满足4 + = ，且存在这样的 ， ，使不等式 + < 2 + 3 有解，则实数 的取
4
值范围是( )
A. 1 < < 4 B. 4 < < 1
C. < 4或 > 1 D. < 3或 > 0
5.若 为函数 ( ) = + 图象上的一点， (2,0)，则| |的最小值为( )
3√ 2
A. √ 6 B. √ 5 C. D. 2
2
6.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数
学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚 测得
山顶 得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达 点( , , , 在同一个平面内)，在 处测得山
顶 得仰角为60°，则鼎湖峰的山高 为( )米．
A. 45(√ 6 √ 2) B. 45(√ 6 + √ 2) C. 90(√ 3 1) D. 90(√ 3 + 1)
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2 2 , < 4
7.已知函数 ( ) = {
2
，数列{ }满足 = ( )( ∈ )，且数列{ }是单调递增数列，
+ ln( 3), ≥ 4
则 的取值范围是( )
25 5 32 32 25 3
A. ( , ) B. [ , 4] C. [ , 3] D. ( , )
7 2 9 9 7 2
8.阅读材料：数轴上，方程 + = 0( ≠ 0)可以表示数轴上的点；平面直角坐标系 中，方程 + +
= 0( 、 不同时为0)可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系 中，方程 + + + =
0( 、 、 不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点 ( 0, 0, 0)且一个法向量为 = ( , , )的平面 的
方程可表示为 ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为3
5 + 7 = 0，直线 是两平面 3 7 = 0与4 + 2 + 1 = 0的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值
为( )
√ 10 √ 7 √ 7 √ 14
A. B. C. D.
35 5 15 35
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法正确的是( )
A. 若 = 3 + 2 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 19
B. 若1 ≤ | 2 | ≤ √ 2，则点 的集合所构成的图形的面积为
C. 若 是复数，则一定有| |2 = 2

D. 若 1， 2 ∈ ，则 1 2 = 1 2
10.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，已知 = = 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60°，
为棱 上一点，且 1 1 = 2 ，则( )
√ 6
A. 1 = √ 2 B. 直线 1与 所成角的余弦值为 6

C. 1 ⊥平面 1 1 D. 直线 1与平面 1 所成角为 4

11.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, | | < )的导函数 ′( )的部分图象如图所示，其中点 ， 分别为
2
′( )的图象上的一个最低点和一个最高点，则( )
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A. ′( ) = sin(2 + )
6

B. ( )图象的对称轴为直线 = + ( ∈ )
12 2
4 7
C. 函数 ( )在[ , ]上单调递增
3 6
3
D. 将 ( )的图象向右平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到 ′( )的图象
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在长方体 1 1 1 1中，若 1 = 7， = 24，则直线 1 1到平面 1 1的距离是______．
13.已知平面向量| | = 2√ 2，| | = 2， = 4， ∈ ，则|2 + |的最小值为______．
14.已知函数 ( ) = |ln( + 1)| 有两个零点 ， ( < )，则 + 2( + 1)的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1+
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 2 + √ 3．
1
(1)求∠ ；
(2)若 = 3，且△ 的面积为3√ 3，求△ 的周长．
16.(本小题15分)
设数列{ }的前 项和为 ，已知 2 = 4， +1 = 2 + 1( ∈ ).数列{ }是首项为 1，公差不为零的等
差数列，且 1， 2， 7成等比数列．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；

(2)若 = ，数列{ }的前 项和为 ，且 < 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ， ∈ ．

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(1)当 = 1时，求 ( )的单调区间和极值；
(2)若 ∈ ， ( ) ≤ 1，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，正方形 的边长为2， ， 分别为 ， 的中点.在五棱锥 中， 为棱 上一点，
平面 与棱 ， 分别交于点 ， ．
(Ⅰ)求证： // ；

(Ⅱ)若 ⊥底面 ，且 = ，直线 与平面 所成角为 ．
6
( )确定点 的位置，并说明理由；
( )求线段 的长．
19.(本小题17分)
定义：任取数列{ }中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列{ }具有“性质3”.已知项数为
的数列{ }的所有项的和为 ，且数列{ }具有“性质3”．
(1)若 = 4，且 1 = 0， 4 = 3，写出所有可能的 的值；
(2)若 1 = 2024， = 2023，证明：“ 2023 = 4042”是“ > +1( = 1,2,… ,2022)”的充要条件；
(3)若 1 = 0， ≥ 2， = 0，证明： = 4 或 = 4 + 1，( ∈ ).
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
168
12.【答案】
25
13.【答案】4
14.【答案】(2,+∞)

1+ tan +
15.【答案】解：(1)根据题意，可得 = 4 = 2 + √ 3，即tan( + ) = 2 + √ 3， 1 1 tan 4
4
2+√ 3 1 √ 3
所以 = tan[( + ) ] = = ，结合 ∈ (0, )，可知 = ．
4 4 1+(2+√ 3) 3 6
1 1 1
(2)若△ 的面积为3√ 3，则 = = 3√ 3，即 × 3 × = 3√ 3，解得 = 4√ 3．
2 2 2
√ 3
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 9 + 48 2 × 3 × 4√ 3 × = 21，可得 = √ 21(舍负)．
2
所以△ 的周长 + + = √ 21 + 4√ 3 + 3．
16.【答案】解：(1)又 +1 = 2 + 1，①
所以 = 2 1 + 1( ≥ 2)，②
① ②得 +1 = 3 ( ≥ 2)；由①得 2 = 2 1 + 1， 2 = 1 + 2 = 4，两式联立得 1 = 1， 2 = 3，满足
2 = 3 1，
所以数列{ }为首项为1，公比均为3的等比数列，即有
1
= 3 ， ∈ ；
数列{ }是首项为 1 = 1，公差 不为零的等差数列，且 1， 2， 7成等比数列．
可得 1 7 =
2 2
2，即为1 × (1 + 6 ) = (1 + ) ，解得 = 4，
又 1 = 1，可得 = 4 3， ∈ ；
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4 3
(2)若 = = ， 3 1
1 1 1 1
则 = 1 0 + 5 + 9 + + (4 3) ( )
1，
3 3 9 3
1 1 1 1 1
= 1 + 5 + + (4 7) ( )
1 + (4 3) ( ) ，
3 3 9 3 3
2 1 1 1 1
两式相减可得 = 1 + 4[ + + + ( ) 1] (4 3) ( )
3 3 32 3 3
1 1
(1 )
3
= 1 + 4 3
1 1
1 (4 3) ( )

1 3
3
3 1
= 1 + 2(1
3
) (4 3) ( )
3
4 +3
= 3 ， 3
9 1 9
化简可得 = (4 + 3) < ， 2 2×3 1 2
9
< 恒成立 ≥ ． 2
9
即 的范围是[ , +∞)．
2
17.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = ，
1
2
′( ) = (1 ) =

，
令 ( ) = 1 2 ，则 ′( ) = 1 2 2 < 0，
故 ( )在 上单调递减，而 (0) = 0，
因此0是 ( )在 上的唯一零点，即0是 ′( )在 上的唯一零点，
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表：
( ∞, 0) 0 (0,+∞)
′( ) + 0
( ) 单调递增 极大值 单调递减
所以 ( )的单调递增区间为( ∞,0)，递减区间为(0,+∞)，
所以 ( )的极大值为 (0) = 1，无极小值；
1
(2)由题意知
1
≤ 1，即 ≥ ，即 ≥ 2 ，
1 2 2 2 1 2
设 ( ) = 2 ，则 ′( ) = = ， 2( 2 ) 2
1
令 ′( ) = 0，解得 = ，
2
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1
当 ∈ ( ∞, )， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
1
当 ∈ ( ,+∞)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
1 1 1 1
所以 ( ) = ( ) = = ， 2 2 2
1
所以 ≥ ，
2
1
所以 的取值范围为[ , +∞)．
2
18.【答案】(Ⅰ)证明：在正方形 中， // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
则 // ；

(Ⅱ)解：( )当 为 中点时，有直线 与平面 所成角为 ，
6
证明如下：由 ⊥平面 ，可得 ⊥ ， ⊥ ，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (2,1,0)， (0,0,2)，
又 为 中点，则 (0,1,1)， = (1,1,0)， = (1,0,0)， = (0,1,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0
则有{ = 0，即{ ，令 = 1，则 = 1，
= 0 + = 0
则平面 的一个法向量为 = (0, 1,1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
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| | 1 1
则 = |cos < , > | = = = ，
| || || √ 2×√ 2 2

故当 为 中点时，直线 与平面 所成角的大小为 ．
6
( )设点 的坐标为( , , )，
因为点 在棱 上，所以可设 = (0 < < 1)，
即( , , 2) = (2,1, 2)，所以 = 2 ， = ， = 2 2 ，
因为 = (0, 1,1)是平面 的法向量，
所以 = 0，即(0, 1,1) (2 , , 2 2 ) = 0，
2 4 2 2 4 2 4
解得 = ，故 H( , , )，则 = ( , , )，
3 3 3 3 3 3 3
所以 4 2 4| | = √ ( )2 + ( )2 + ( )2 = 2．
3 3 3
19.【答案】解：(1)依题意可知有如下三种情况：
若 ：0，3，0，3，此时 = 6，
若 ：0， 3，0，3，此时 = 0，
若 ：0，3，6，3，此时 = 12．
(2)证明：
必要性：因为 > +1( = 1,2, ,2022)，
故数列{ }( = 1,2,3, ,2023)为等差数列，
所以 +1 = 3，( = 1,2,2022)，公差为 3，
所以 2023 = 2024 + (2023 1) × ( 3) = 4042( = 1,2, ,2022)，必要性成立；
充分性：由于 2023 2022 ≥ 3， 2022 2021 ≥ 3， ， 2 1 ≥ 3，
累加可得， 2023 1 ≥ 6066，即 2023 ≥ 1 6066 = 4042，
因为 2023 = 4042，故上述不等式的每个等号都取到，
所以 +1 = 3，( = 1,2,… ,2022)，所以 +1 < ，( = 1,2,…… ,2022)，充分性成立；
综上所述，“ 2023 = 4042“是 +1 < ，( = 1,2,2022)”的充要条件；
(3)证明：令 = +1 ( = 1,2, , 1)，依题意， = ±3，
因为 2 = 1 + 1， 3 = 1 + 1 + 2，…， = 1 + 1 + 2 + + 1．
所以 = 1 + ( 1) 1 + ( 2) 2 + ( 3) 3 + + 1
= ( 1) + ( 2) + + 1 (1 1)( 1) (1 2)( 2) (1 1)
( 1)
= [(1 )( 1) + (1 )( 2) + + (1 )]，
2 1 2 1
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因为 = ±3，所以1 为偶数( = 1,2, , 1)，
所以(1 1)( 1) + (1 2)( 2) + + (1 1)为偶数；
( 1)
所以要使 = 0，必须使 为偶数，即4整除 ( 1)， 2
亦即 = 4 或 = 4 + 1( ∈ )，
当 = 4 ( ∈ )时，
比如， 4 1 = 4 3 = 0， 4 2 = 3， 4 = 3( = 1,2, , )或 4 1 = 4 3 = 0， 4 2 = 3， 4 = 3( =
1,2, , )时，有 1 = 0， = 0；
当 = 4 + 1( ∈ )时，
比如 4 1 = 4 3 = 0， 4 2 = 3， 4 = 3， 4 +1 = 0( = 1,2, , )，
或 4 1 = 4 3 = 0， 4 2 = 3， 4 = 3， 4 +1 = 0( = 1,2, , )，有 1 = 0， = 0；
当 = 4 + 2或 = 4 + 3( ∈ )时， ( 1)不能被4整除， ≠ 0..
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