2024-2025学年人教版数学九年级上册期末综合试卷（第21章~第25章）（含答案）

2024-2025学年人教版数学九年级上册期末综合试卷（第21章~第25章）
一、选择题
下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是
A． B．
C． D．
抛物线 的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
以下说法正确的是
A．在同一年出生的 人中至少有两人的生日相同
B．一个游戏的中奖率是 ，买 张奖券，一定会中奖
C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃 ，这是必然事件
D．一个袋中装有 个红球、 个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
方程 的根的情况是
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式，正确的是
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
若 ，， 为二次函数 的图象上的三点，则 ，， 的大小关系是
A． B． C． D．
如图，，， 分别切 于 ，， 点，若圆 的半径为 ，，则 的周长为
A． B． C． D．
如图，空地上（空地足够大）有一段长为 的旧墙 ，小敏利用整个旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ．若木栏总长 ，矩形菜园 的面积为 ，求木栏一边 的长．若设 ，则可列方程
A． B．
C． D．
如图， 中，，，若以点 为旋转中心，将 旋转到 的位置，点 在边 上，则旋转角的度数是
A． B． C． D．
如图， 为等边三角形 内的一点，，，，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论：
①点 与点 的距离为 ；
② 可由 绕点 逆时针旋转 得到；
③点 到 的距离为 ；
④ ．
其中正确的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
方程 转化为一元二次方程的一般形式是 ．
请写出一个开口向上，且与 轴交于 的二次函数的解析式 ．
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，建立如图所示的平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析式是 ．
在平面直角坐标系中，，，点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，则点 的坐标是 ．
如图，如果将半径为 的圆形纸片剪去一个圆心角为 的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ．
在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有 个黄球， 个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为 ．
如图，在 中，，，，以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，则 的长为 ．
如图，在 中，，，，点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值是 ．
三、解答题
如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为 个单位， 的三个顶点都在小方格的顶点上．
(1) 在图中作出将 向下平移 个单位后的图形 ；
(2) 在图中作出 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形 ．
解一元二次方程：
(1) ． (2) ．
甲、乙两校分别有一男一女共 名教师报名到农村中学支教．
(1) 若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选 名，则所选的 名教师性别相同的概率是 ．
(2) 若从报名的 名教师中随机选 名，用列表或画树状图的方法求出这 名教师来自同一所学校的概率．
已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根．
(2) 若方程的一个根是 ，求 的值及方程的另一个根．
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 件，每件可盈利 元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价 元，商场平均每天可多售出 件．
(1) 若商场平均每天要盈利 元，每件衬衫应降价多少元？
(2) 该商场平均每天盈利能达到 元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；
(3) 该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
如图，四边形 是平行四边形，以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，，若 是 的切线，解答下列问题：
(1) 求证： 是 的切线．
(2) 若 ，，求平行四边形 的面积．
在平面直角坐标系中，抛物线 （）的图象交 轴于点 ，（ 在 轴右侧， 在 轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ．
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的值最小，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
(3) 若 有最低点，点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时对应的点 坐标．
【问题提出】
如图 ，四边形 中，，，，，，求四边形 的面积．
(1) 【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（）如图 ，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，则 的形状是 ．
（）在（）的基础上，求四边形 的面积．
(2) 【类比应用】
如图 ，四边形 中，，，，，，求四边形 的面积．
答案
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. D
5. D
6. B
7. C
8. B
9. A
10. D
二、填空题
11.
12. ，答案不唯一
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题
20.
(1)
(2)
21.
(1)
(2) 将甲、乙两校报名的教师分别记为甲 、甲 、乙 、乙 （注： 表示男教师， 表示女教师），
树状图如图所示：
所以 ．
22.
(1) ，，
．
对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根．
(2) 将 代入方程，解得 ，
方程为 ，解得 或 ．
，另一个根为 ．
23.
(1) 设每件衬衫应降价 元，则每件盈利 元，每天可以售出 ，
由题意，得即：解，得为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
的值应为 ，
若商场平均每天要盈利 元，每件衬衫应降价 元．
(2) 假设能达到，由题意，得整理，得即：该方程无解，
商场平均每天盈利不能达到 元．
(3) 设商场平均每天盈利 元，每件衬衫应降价 元，
由题意，得当 元时，该函数取得最大值为 元，
商场平均每天盈利最多 元，达到最大值时应降价 元．
24.
(1) 连接 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，，
，
在 和 中
，
，
即 ，
是 的切线．
(2) ，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 的面积 ．
25.
(1) 抛物线与 轴交于点 ，（ 在 轴右侧， 在 轴左侧），，，
，，
点的坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当 时，，，
抛物线解析式为：，
当 时，，，
抛物线解析式为：，
故抛物线解析式为： 或 ．
(2) 如图所示 时，
对称轴为 ，
坐标为 ，
作 关于对称轴 的对称点 ，连接 ，，
则 坐标为 ，
，
当 ，， 三点共线时 值最小，
直线 解析式为：，
横坐标为 ，
时，，
坐标为 ，
如图所示 时，
对称轴为 ，
坐标为 ，
作 关于对称轴 的对称点 ，连接 ，，
则 坐标为 ，
，
当 ，， 三点共线时 值最小，
直线 解析式为：，
横坐标为 ，
时，，
坐标为 ，
值最小时 点坐标为：，．
(3) 若 有最低点，
，，
设 点横坐标为 ，
点 是直线 下方抛物线上一动点，
，
设直线 解析式为 ，
， 在直线 上，
解得
直线 解析式为：，
面积 ，
面积最大值为 ，此时 ，
则 ，，
故 面积最大值为 ，此时 点坐标为 ．
26.
(1) （）等边三角形
（）由（）知，，
所以四边形 的面积 等边三角形 的面积，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 如图 ，连接 ，
由于 ，
所以可将 绕点 逆时针方向旋转 ，得到 ，
连接 ，延长 ，作 ；
因为
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，等边 ， 上的高 ，
所以 ，，
所以 ．