湘教版（2024）七上3.4.1一元一次方程的应用（同步探究学案）

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3.4.1 一元一次方程的应用
学习目标与重难点
学习目标：
1. 掌握用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤，能用一元一次方程解决简单的实际问题。
2. 经历用一元一次方程解决简单实际问题，发展学生逻辑思维和解决问题的能力
3. 感受数学建模的过程，体会数学在实际生活中的应用，发展用数学解决实际问题的意识
学习重点：掌握用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤
学习难点：找出等量关系，列出正确的方程，能用一元一次方程解决简单的实际问题
预习自测
1.一种商品的原价是90元，现在打八折销售仍可获利20%，则此商品的进价是（ ）元．
A．72 B．86.4 C．60 D．14.4
2.甲、乙两数的和是2.53，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是（ ）
A．0.23 B．2.3 C．0.023 D．23
3.甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则变化后乙组的人数有（ ）人．
A．12 B．13 C．14 D．15
教学过程
一、问题提出、导入新课
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需 4 h，逆水航行时需5 h。已知水流速度为2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
本题的等量关系是：
三、合作交流、新知探究
探究一：一元一次方程的应用
教材第111页
想一想：顺水航行与逆水航行对轮船的速度有影响吗？是如何影响轮船的航行速度的呢？
尝试解这个问题：
练一练：例1：某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60条，有几张椅子和几条凳子？
本题的等量关系是：
尝试解这个问题：
例2：刺绣是我国民间传统手工艺之一。我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类。若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成。现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣。
试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
本题的等量关系：
完成下表：
工作效率 工作时间 工作总量
甲
乙
尝试解这个问题：
做一做：结合上述 3个实例，用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤，并与同学交流。
三、自主检测
1.如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 ．
2.一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成．甲先单独做9小时后因事离开，余下的任务由乙单独完成，则乙还需要 小时才能完成此工作．
3.《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值 钱．
4.如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为 15，OB=2OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
(1)数轴上点B对应的数是______；
(2)经过几秒，点M、点N到原点O的距离相等？
(3)当点M运动到什么位置时，恰好使AM=3BN？
5.2024年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量张 张及以上
单价元张 元 元 元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案？通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
知识点总结
用一元一次方程解决实际问题的基本步骤：
分析实际题目找出等量关系
设出未知数列出方程
解一元一次方程
检验解的合理性
答案
预习自测
1.【答案】C
【解析】设进价为x元，然后根据题意列一元一次方程求解即可．
解：设进价为x元，
90×80%-x=0.2x
解得x=60
所以该商品的进价为60元．
故选C．
2.【答案】B
【解析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为2.53-x，根据乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，即甲数是乙数的10倍列出方程求解即可．
【详解】解：设甲数为x，则乙数为2.53-x，
由题意得，x=10（2.53-x），
解得x=2.3，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】本题考查一元一次方程的应用，设从乙组调x人到甲组，根据变化后甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，列出方程进行求解即可．
解：设从乙组调x人到甲组，由题意，得：
33+x=3（27-x），
解得：x=12，
∴27-12=15，即：变化后乙组的人数有15人；
故选D．
自主检测
1.【答案】DC
【解析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×=2，乙行的路程为8-2=6，在AD边相遇；
第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×=4，乙行的路程为16-4=12，在DC边相遇；
第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×=4，乙行的路程为16-4=12，在CB边相遇；
第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×=4，乙行的路程为16-4=12，在AB边相遇；
∵2018=504×4+2，∴甲、乙第2018次相遇在边DC上．
故答案为：DC．
2.【答案】4
【解析】甲单独做15小时，每小时完成，乙单独做10小时，效率为．甲单独做9小时，完成了，剩下留给乙完成．假设乙需要x小时，则可以根据方程1即可求解．
【详解】解：假设乙还需要x小时完成此工作．
1，
解得x＝4．
故答案为：4．
3.【答案】53
【解析】根据题意设一共有x人，列出一元一次方程，解出人数，则可求出该物品值多少钱．
【详解】解：设：一共有x人，
8x-3=7x+4
解得：x=7，
∴8x-3=56-3=53，
∴该物品值53钱，
故答案为：53．
4.【答案】(1)30
(2)经过3秒或15秒后，点M，点N到原点O的距离相等；
(3)经过10秒或30秒后，恰好使AM=3BN．
【解析】（1）根据点A表示的数为-15，OB=2OA，可得点B对应的数；
（2）根据题意，列出方程可解出时间x的值；
（3）根据题意，列出方程可解出时间t的值．
（1）解：OB=2OA=30．
故B对应的数是30．
故答案为：30；
（2）解：设经过x秒，点M、点N到原点O的距离相等，
点M表示的数为3x-15，点N表示的数为2x，
根据题意得：2x=|3x-15|，
∴2x=3x-15或2x=15-3x，
解得：x=15或x=3，
答：经过3秒或15秒后，点M，点N到原点O的距离相等；
（3）解：设经过t秒，AM=3BN
AM=3t，点N表示的数为2t，则BN=|30-2t|，
根据题意得：3t=3|30-2t|，
∴3t=3(30-2t)或3t=3(2t-30)，
解得：t=10或t=30，
答：经过10秒或30秒后，恰好使AM=3BN．
5.【答案】见解析
【解析】解：
如果甲、乙两单位联合起来购买门票需元，
则比各自购买门票共可以节省：元；
设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人．
依题意得：，
解得：．
则乙单位退休职工人数为：．
答：甲单位有名退休职工，乙单位有名退休职工准备参加游玩；
甲单位有名退休职工，有名退休职工因身体原因不能外出游玩，故剩余人需要购买门票，
方案一：各自购买门票需元；
方案二：联合购买门票需元；
方案三：联合购买张门票需元；
因为，
故应该甲乙两单位联合起来选择按元一张购买张门票最省钱．
本题考查了列一元一次方程解决实际问题，设计方案建立方程求出各单位退休职工的人数是关键．
运用分别购票的费用和联合购票的费用就可以得出结论；
设甲单位有退休职工人，则乙单位有退休职工人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付元”建立方程求出其解即可；
有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可．
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