浙江省2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷(含答案)

浙江省2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合,则( )
A. B. C. D.
2．如果椭圆的方程是,那么它的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3．已知点,,若,则( )
A.1 B. C.1或 D.或5
4．已知圆和圆,则与的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
5．在正方体中,以下说法正确的是( )
A.若E为的中点,则平面
B.若E为的中点,则平面
C.若E为的中点,则
D.若E为的中点,则
6．已知,则函数的最小值是( )
A. B. C.3 D.2
7．在平行六面体中,若直线与的交点为M.设,,,则下列向量中与共线的向量是( )
A. B.
C. D.
8．如果函数那么( )
A.2020 B.2021 C.2023 D.2025
二、多项选择题
9．已知复数,以下说法正确的是( )
A.z的实部是3
B.
C.
D.z在复平面内对应的点在第一象限
10．抛掷一颗质地均匀的骰子,记随机事件“点数为”,其中,则以下说法正确的是( )
A.若随机事件“点数不大于3”,则与互斥
B.若随机事件“点数为偶数”,则
C.若随机事件“点数不大于2”,则与对立
D.若随机事件“点数为奇数”,则与相互独立
11．棱长为1的正四面体的内切球球心为O,点P是该内切球球面上的动点,则以下说法正确的是( )
A.记直线与直线的夹角是,则
B.记直线与平面的夹角是,则
C.记的最小值为n,则
D.记在上的投影向量为,则
三、填空题
12．点到直线的距离是__________.
13．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为,弧长为的扇形,则该圆锥的体积是__________.
14．设O是坐标原点,是椭圆的左焦点,椭圆上的点P关于O的对称点是Q,若,,则该椭圆的离心率是__________.
四、解答题
15．已知圆,点,且直线l经过点P.
（1）若l与C相切,求l的方程;
（2）若l的倾斜角为,求被圆C截得的弦长.
16．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,记的面积为S,已知.
（1）若,求外接圆的半径;
（2）求的值.
17．如图,在四棱锥中,是正三角形,四边形为等腰梯形,且有,E,F分别是,的中点,动点Q在上.
（1）证明:平面平面;
（2）当时,求平面与平面所成角的余弦值.
18．在平面直角坐标系中,已知O是坐标原点,点,,直线,相交于点m,且它们的斜率之积是.记点m的轨迹是曲线,点是曲线上的一点.
（1）求曲线C的方程;
（2）若,直线l过点D与曲线C的另一个交点为E,求面积的最大值;
（3）过点作直线交曲线C于P,Q两点,且,证明:为定值.
19．在平面直角坐标系中,我们可以采用公式（其中a,b,c,m,n,p为常数）,将点变换成点,我们称该变换为线性变换,上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.
（1）将点向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到点,求该变换的坐标变换公式,并求将椭圆向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得新椭圆的方程;
（2）将点绕原点逆时针旋转后,得到点,求上述变换的坐标变换公式,并求将椭圆绕原点逆时针旋转后,所得新椭圆的方程;
（3）若点满足,证明:点的轨迹是椭圆.
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：C
4．答案：A
5．答案：A
6．答案：B
7．答案：C
8．答案：B
9．答案：ABC
10．答案：BD
11．答案：ACD
12．答案：
14．答案：
15．答案：（1）因为点在圆上,
则直线的斜率为,
则直线l的斜率是,
可得直线l的方程是,即.
（2）由于直线的倾斜角是,则直线l的斜率是,
可得,
则圆心C到直线l的距离是,
则直线l被圆C截得的弦长是.
16．答案（1）由,得,由,可得,
,的外接圆半径是.
（2）
.
17．答案：（1）因为四边形等腰梯形,E,F分别为,的中点,所以,
又因为,所以,
又因为,,,所以平面,
而平面,所以平面平面.
（2）当时.
假设,所以,
得到,所以.
如图建立空间直角坐标系,得,,,
,.
设平面的一个法向量,
,.
则
取得.
设平面的一个法向量,,,
取得.
设平面与平面所成角为,
则,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．（1）设点,所以直线的斜率为,
同理直线的斜率为,由已知可得,
化简得点M的轨迹C的方程是.
（2）计算得,则直线,
当直线且与C相切,切点为E,此时的面积取最大值,
设直线,联立方程组得,
,解得,
直线与之间的距离,
所以.
（3）由题知直线的斜率存在且不为0,设直线,设,联立方程组
得,则
所以,
因为,则直线,联立方程组得,
所以,得,
所以,为定值.
19．（1）由平移可得,所以此即为坐标变换公式.
设上任一点,向左平移1个单位,向上平移2个单位.
得到的新的椭圆上一点,则
所以
所以.
所以新椭圆的方程为.
（2）设将x轴逆时针转到的角为点,点绕原点逆时针旋转得到点
由三角函数可得,,
当时,此即为坐标变换式.
设将上任一点,绕原点逆时针旋转后,得到的新的椭圆上一点.
则得
所以,即.
所以新的椭圆方程为.
（3）利用待定系数法或者猜测均可,得到.
先把点绕原点逆时针旋转,得到点,此时
所以
化简得.
利用配方法或者猜测均可,得到左右平移的单位.
把点向右平移,向上平移,得到点,则
所以.
化简得,是焦点在x轴上的椭圆.
所以点的轨迹是椭圆.