湖南省株洲市第二中学初中部2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·株洲开学考）如果零上2℃记记作+2℃ ，那么零下3℃记作 ( )
A．-3℃ B．+3℃ C．+5℃ D．-5℃
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上2℃记记作+2℃ ，
∴零下3℃记作-3℃，
故答案为：A.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．（2024九上·株洲开学考）2024年5月 ，财政部下达1582亿元资金 ，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制.将 “ 1582 亿 ”用科学记数法表示为 ( )
A．158.2X109 B．15.82X1010 C．1.582X1011 D．1.582X1012
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1582亿=158200000000=1.582×1011
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
3．（2024九上·株洲开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；积的乘方运算；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：x3和x2不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B ：，所以B正确；
C：（3x）2=9x2，所以C不正确；
D：-5-3=-8，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据x3和x2不是同类项，不能合并，可得A不正确；根据负整数指数幂的性质可得B正确；根据积的乘方可得C不正确；根据有理数的减法运算可得D不正确。故而可得出答案。
4．（2024九上·株洲开学考）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排列为：7，7，8，10，13，处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8.
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；即可求解.
5．（2024九上·株洲开学考）如图 ，直线a∥b矩形ABCD的顶点A在直线b上 ，若 ∠2=41° ，则∠1的度数为 ( )
A．41 B．51 C．49 D．59
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点B作a//b//c，如图所示：
∵a//b//c，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠ABC=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=90°-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质可得∠2=∠3，∠1=∠4，再利用角的运算和等量代换可得∠1+∠2=90°，再结合∠2=41°，求出∠1=90°-∠2=90°-41°=49°即可.
6．（2024九上·株洲开学考）如图，一次函数的图像与轴相较于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为y＝2x 3，
∴令y＝0，可得x＝，
∴A（，0），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（ ，0）．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
7．（2024九上·株洲开学考）如图 ，中 ， ，以点A为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交AB于点E ，交AC于点F ；再分别以点E ，F为圆心 ，大于 的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC相交于点D ，则∠ADC的大小为 ( )
A．60° B．65° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 40°＝50°，
根据作图知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°，
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠ADC＝40°＋25°＝65°，
故答案为：B.
【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC＝50°，再根据作图得∠BAD＝25°，最后利用三角形的外角的性质求出∠ADC＝65°即可.
8．（2024九上·株洲开学考）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质 ，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图 ，其中灰球代表碳原子 ，白球 代表氢原子.第 1种如图①有4个氢原子 ，第2种如图②有6个氢原子 ，第3种如图③有8个氢原子 ……按照这一规律 ，第 10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( )
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2＋2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2＋2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2＋2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2＋2；
…，
∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，
∴当n＝10时，2n＋2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：B.
【分析】先根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，再将n=10代入计算即可.
9．（2024九上·株洲开学考）反比例函数（k＞0）有两点P(t，y1)，Q(t+4，y2)。下列正确的选项是（ ）
A．当t＜-4时，y2＜y1＜0 B．当-4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．-4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、∵当t＜ 4时，t＋4＜0，∴t＜t＋4，∴y2＜y1＜0，∴A正确，符合题意；
B、∵当 4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t＋4，y2）在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，∴B错误，不符合题意；
C、∵根据B可知：当 4＜t＜0时，y1＜0＜y2，∴C错误，不符合题意；
D、∵当t＞0时，t＋4＞0，∴P（t，y1），Q（t＋4，y2）在第一象限，∵t＜t＋4，∴y1＞y2＞0，∴D错误，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】先利用反比例函数的图形和性质与系数的关系可得此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，再逐项分析判断即可.
10．（2024九上·株洲开学考）“铺地锦 ”是我国古代一种乘法运算方法 ，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发 ，设计了如图 1所示的 “表格算法 ” ，图1表示132X23，运算结果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘 ，表格中部分数据被墨迹 覆盖 ，根据图2中现有数据进行推断 ，正确的是 ( )
A．“20 ”左边的数是16
B．“ 20 ”右边的 “□ ”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为4100a+ 1025
【答案】D
【知识点】推理与论证；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n，如图2所示：
∴根据题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，
∴4，即m＝4n，
∴当n＝2，y＝1时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；
当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3所示：
A、∵“20”左边的数是2×4＝8，∴A不符合题意；
B、∵“20”右边的“□”表示4，∴B不符合题意；
∴a上面的数应为4a，如图4所示：
∴运算结果可以表示为：1000（4a＋1）＋100a＋20＋5＝4100a＋1025，
∴D符合题意，
当a＝2时，计算的结果大于6000，
∴C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n，则mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，即m＝4n，求出当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，再根据题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000（4a＋1）＋100a＋25＝4100a＋1025，从而可得判断C、D选项．
11．（2024九上·株洲开学考）＝ ．
【答案】2
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵23=8，
∴，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义进行计算。
12．（2024九上·株洲开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： 。
【分析】根据提取公因式法分解因式。提公因式a即可。
13．（2024九上·株洲开学考）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由 两个不等式的解集 ，结合属猪的性质，可得两个不等式的解集分别为，，
所以不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，即可得到答案．
14．（2024九上·株洲开学考）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 .
【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵ 一个多边形的每一个外角都是
∴ 此多边形为正多边形，
则这个多边形的边数==9
故答案为：9
【分析】本题考查正多边形外角和定理，掌握正多边形边数n与外角和360°，外角度数的关系即可。z正多边形的边数n=.
15．（2024九上·株洲开学考）分式方程的解是 。
【答案】-4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，可得：3x=2x-4，
移项，合并同类项：x=-4，
经检验，x=-4是原方程的解，
故答案为：-4.
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
16．（2024九上·株洲开学考）如图 ，在正五边形的内部 ，以边为边作正方形，连接，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由五边形是正五边形，可得，
因为，可得，
又因为，所以.
故答案为：．
【分析】根据正五边形的性质，求得的度数，结合，求得的度数，最后根据等腰三角形的性质，即可得出答案.
17．（2024九上·株洲开学考）小丽进行投掷标枪训练 ，总共投掷10次 ，前9次标枪的落点如图所示 ，记录成绩（单位 ：m）， 此时这组成绩的平均数是20m ，方差是S12m2 .若第10次投掷标枪的落点恰好在20线上 ，且投掷结束后这组成绩的方差是S22m2 ，则S12 S22(填 “ ＞”、 “=”或“＜”)。
【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
∴，
∴，
故答案为：＞．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
18．（2024九上·株洲开学考）如图 ，在矩形纸片ABCD中 ，，E为边AD的中点 ，点F在边CD上 ，连接 EF ， 将沿EF翻折 ，点D的对应点为D'，连接BD' .若BD' =2，则DF= .
【答案】-
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长EF交BA的延长线于H，
∵矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，
∴ED＝ED'＝1，∠ED'F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D'EF，
∴Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），DF＝AH，
∴BE＝，
∵BD'＝2，
∴12＋()2＝22，
∴△BED'为直角三角形，
设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED'＝2α，
∴∠AEB＝90° 2α，∠AHE＝90° α，
∴∠HEB＝∠AHE＝90° α，
∴△BHE为等腰三角形，
∴BH＝BE＝，
∴AH＝BH AB＝-，
∴DF＝AH＝-，
故答案为：-．
【分析】连接BE，延长EF交BA的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，先利用“ASA”证出Rt△HAE≌Rt△EDF，再利用全等三角形的性质可得△BED'为直角三角形，设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED'＝2α，证明△BHE为等腰三角形，求出AH，即可解答．
19．（2024九上·株洲开学考）先化简再求值：。其中
【答案】解：
=
=
=，
当x=3时，.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=3代入计算即可.
20．（2024九上·株洲开学考）我国淡水资源相对缺乏 ，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况 ，随机调查 了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位 ：吨） ，绘制出如下未完成的统计图表.
组别 家庭月均用水量（单位 ：吨） 频数
A 2.0 ≤ t < 3.4 7
B 34 ≤ t <4 8 m
C 4.8 ≤ t < 6.2 n
C 6.2 ≤ t < 7.6 6
E 76 ≤ t < 90 2
合计 50
根据上述信息 ，解答下列问题 ：
（1）m= ， n= ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组 ；
（3）若该小区有1200个家庭 ，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个 ？
【答案】（1）20；15
（2）B
（3）解：根据题意可得：
∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7＋20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个），
答：去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，C组的频数n＝×50＝15．
∴B组的频数m＝50 7 15 6 2＝20．
故答案为：20；15．
（2）根据题意和中位数的意义可得：
∵50÷2＝25，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
【分析】（1）根据题意得，C组的频数n＝×50＝15，再求出B组的频数m＝50 7 15 6 2＝20即可；
（2）根据题意和中位数的意义，根据50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，再判断即可；
（3）根据题意可得，50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7＋20＝27（户），再求解即可.
21．（2024九上·株洲开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AB边上， ▲ 。
请从①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长
【答案】（1）证明：选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）解：根据（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE＝，
∴线段AE的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可．
22．（2024九上·株洲开学考）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
23．（2024九上·株洲开学考）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（2，a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点。
（1）求反比函数的表达式；
（2）如图1，过点B做y轴的垂线，与的图像交于点D，当线段BD=3时，求B点坐标。
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图像上时，求点E的坐标。
【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x，得：a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2，6）代入 y＝，得 6＝，
解得：k＝12，
∴反比例函数表达式为 y＝.
（2）解：设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），
根据可得xy＝12，
∴3m（m＋3）＝12，
解得：m1＝1，m2＝ 4 （舍去），
∴B（1，3）.
（3）解：如图所示，
过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB＋∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH＋∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），
∴EH＝BF＝6 3n，BH＝AF＝2 n，
∴点E（6 2n，4n 2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n 2）（6 2n）＝12，
解得 n1＝，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入解析式y＝3x，求出a的值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入y＝，求出k的值即可；
（2）设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），再结合反比例函数解析式可得3m（m＋3）＝12，再求出m的值即可；
（3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，先利用“AAS”证出△EHB≌△BFA，设点B（n，3n），则EH＝BF＝6 3n，BH＝AF＝2 n，再求出点E的坐标，最后将点E的坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可.
24．（2024九上·株洲开学考）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点 ，他们决定研究数的一些 “神秘 ”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家 ，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果 ，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和. 举例论证： 13=1；23=3+5 33=7+9+11； 请你按规律写出 ： 43 =
规律 总结 当m是奇数7时 ，则等号右边式子中的中间数（ 即第4个数）为 ▲ ； 当m为偶数10时 ，则等号右边式子中的中间两个数（ 即第5和第6个数）为 ▲ .
综合 应用 利用上面结论计算 ：
拓展 延伸 我们还发现以下规律 ：已知时，且 m，n均为正整数 ，如果将进行如图所示的 “分解 ” ： 若(且m ，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31 ，则的值为 ▲ .
【答案】素材：13＋15＋17＋19；
规律总结：49，99，101；
综合应用：4356；
拓展延伸：64或216.
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：素材：设43＝（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4），
解得：a＝15，
∴43＝13＋15＋17＋19；
故答案为：13＋15＋17＋19；
规律总结：设73＝（a 6）＋（a 4）＋（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4）＋（a＋6），
解得：a＝49，
当m＝10时，102 1＝99，102＋1＝101，
故答案为：49，99，101；
综合应用：13＋23＋33＋…＋93＋103＋113
＝1＋（3＋5）＋（7＋9＋11）＋……＋（111＋113＋115＋117＋119＋121＋123＋125＋127＋129＋131）
＝×66×（1＋131）
＝4356；
拓展延伸：当m＝2时，2n 1 1＝31，
解得：n＝6，
此时mn的值为64，
当m＝6时，6n 1 5＝31，
解得：n＝3，
此时mn的值为216，
故答案为：64或216；
【分析】素材：设未知数列方程求解；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解；
综合应用：根据前面总结的规律求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
25．（2024九上·株洲开学考）【数学经验】三角形的中线 ，角平分线 ，高是三角形的重要线段 ，我们知道 ，三角形的3条高所在直线交于同一点.
（1）①如图1，△ABC中 ，∠A=90° ，则△ABC的三条高所在的直线交于点 ▲ ；
②如图2 ，△ABC中 ，∠BAC＞90° ，已知两条高BE ，AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、 连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高.(不写画法 ，保留作图痕迹)。
（2）【综合应用】
如图3 ，在△ABC中 ，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC ，过点B作BE⊥AD于点E .
①若∠ABC=80°，∠C=30° ，则 ∠EBD= ▲ ' ；
②请写出∠EBD与 ∠ABC ，∠C之间的数量关系_▲ ，并说明理由.
（3）【拓展延伸】
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 ，如果两个三角形的高相同 ，则它们的面积比等于对应底边的比.如图4 ，M是BC上一点 ，则有
如图5 ，△ABC中 ，M是BC上一点，N是AC的中点 ，若三角形ABC的面积是m ，求四边形CMDN的面积.(用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：①A
②如图2所示：延长BE、DA交于点F，延长BA交CF于点G，连接CF，则线段CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝70°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝55°，
∴∠EBD＝∠ABC ∠ABE＝25°，
故答案为：25°；
②2∠EBD＝∠ABC ∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°
∴∠ABE＝90° ∠BAD．
∴∠EBD＝∠ABC ∠ABE＝∠ABC＋∠BAD 90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB，
∴∠BAD＝90° ∠ABC ∠ACB，
∴∠EBD＝∠ABC＋∠BAD＝90°＝∠ABC＋90°＝∠ABC＝∠ACB＝90°＝∠ABC ∠ACB，
∴∠EBD＝∠ABC ∠ACB，
即2∠EBD＝∠ABC ∠C，
故答案为：2∠EBD＝∠ABC ∠C；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，，
∴S△CDN＝S△ADN，
同理：S△CBN＝S△ABN，
设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC 的面积是m，
∴S△ABN＝S△CBN＝m，
∴S△BCD＝S△ABD＝m a，BM＝BC，
∴，，，，
∴S△ACM＝3S△ABM，S△CDM＝3S△BDM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（m a）＝m a，S△ACM＝S△ABC＝m，
∴S△ACM＝S四边形CMDN＋S△ADN＝S△CDM＋S△CDN＋S△ADN，
即m＝m a＋a＋a，a＝m，
∴S四边形CMDN＝S△CDM＋S△CDN＝m ×m＋m＝m.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的综合；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）①∠A＝90°，直角三角形三条高的交点为直角顶点，
∴△ABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
【分析】（1）①利用直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）①利用三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE＝∠BAC＝29°，再利用直角三角形的性质得∠ABE＝61°，即可求解；
②利用三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝m，再求出S△CDM＝S△DBC＝m a，S△ACM＝S△ABC＝m，然后由面积关系求出a＝m，即可解决问题．
1 / 1湖南省株洲市第二中学初中部2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·株洲开学考）如果零上2℃记记作+2℃ ，那么零下3℃记作 ( )
A．-3℃ B．+3℃ C．+5℃ D．-5℃
2．（2024九上·株洲开学考）2024年5月 ，财政部下达1582亿元资金 ，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制.将 “ 1582 亿 ”用科学记数法表示为 ( )
A．158.2X109 B．15.82X1010 C．1.582X1011 D．1.582X1012
3．（2024九上·株洲开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·株洲开学考）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024九上·株洲开学考）如图 ，直线a∥b矩形ABCD的顶点A在直线b上 ，若 ∠2=41° ，则∠1的度数为 ( )
A．41 B．51 C．49 D．59
6．（2024九上·株洲开学考）如图，一次函数的图像与轴相较于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·株洲开学考）如图 ，中 ， ，以点A为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交AB于点E ，交AC于点F ；再分别以点E ，F为圆心 ，大于 的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC相交于点D ，则∠ADC的大小为 ( )
A．60° B．65° C．70° D．80°
8．（2024九上·株洲开学考）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质 ，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图 ，其中灰球代表碳原子 ，白球 代表氢原子.第 1种如图①有4个氢原子 ，第2种如图②有6个氢原子 ，第3种如图③有8个氢原子 ……按照这一规律 ，第 10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( )
A．20 B．22 C．24 D．26
9．（2024九上·株洲开学考）反比例函数（k＞0）有两点P(t，y1)，Q(t+4，y2)。下列正确的选项是（ ）
A．当t＜-4时，y2＜y1＜0 B．当-4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C．-4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2
10．（2024九上·株洲开学考）“铺地锦 ”是我国古代一种乘法运算方法 ，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发 ，设计了如图 1所示的 “表格算法 ” ，图1表示132X23，运算结果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘 ，表格中部分数据被墨迹 覆盖 ，根据图2中现有数据进行推断 ，正确的是 ( )
A．“20 ”左边的数是16
B．“ 20 ”右边的 “□ ”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为4100a+ 1025
11．（2024九上·株洲开学考）＝ ．
12．（2024九上·株洲开学考）分解因式： ．
13．（2024九上·株洲开学考）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
14．（2024九上·株洲开学考）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 .
15．（2024九上·株洲开学考）分式方程的解是 。
16．（2024九上·株洲开学考）如图 ，在正五边形的内部 ，以边为边作正方形，连接，则 ．
17．（2024九上·株洲开学考）小丽进行投掷标枪训练 ，总共投掷10次 ，前9次标枪的落点如图所示 ，记录成绩（单位 ：m）， 此时这组成绩的平均数是20m ，方差是S12m2 .若第10次投掷标枪的落点恰好在20线上 ，且投掷结束后这组成绩的方差是S22m2 ，则S12 S22(填 “ ＞”、 “=”或“＜”)。
18．（2024九上·株洲开学考）如图 ，在矩形纸片ABCD中 ，，E为边AD的中点 ，点F在边CD上 ，连接 EF ， 将沿EF翻折 ，点D的对应点为D'，连接BD' .若BD' =2，则DF= .
19．（2024九上·株洲开学考）先化简再求值：。其中
20．（2024九上·株洲开学考）我国淡水资源相对缺乏 ，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况 ，随机调查 了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位 ：吨） ，绘制出如下未完成的统计图表.
组别 家庭月均用水量（单位 ：吨） 频数
A 2.0 ≤ t < 3.4 7
B 34 ≤ t <4 8 m
C 4.8 ≤ t < 6.2 n
C 6.2 ≤ t < 7.6 6
E 76 ≤ t < 90 2
合计 50
根据上述信息 ，解答下列问题 ：
（1）m= ， n= ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组 ；
（3）若该小区有1200个家庭 ，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个 ？
21．（2024九上·株洲开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AB边上， ▲ 。
请从①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长
22．（2024九上·株洲开学考）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
23．（2024九上·株洲开学考）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（2，a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点。
（1）求反比函数的表达式；
（2）如图1，过点B做y轴的垂线，与的图像交于点D，当线段BD=3时，求B点坐标。
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图像上时，求点E的坐标。
24．（2024九上·株洲开学考）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点 ，他们决定研究数的一些 “神秘 ”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家 ，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果 ，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和. 举例论证： 13=1；23=3+5 33=7+9+11； 请你按规律写出 ： 43 =
规律 总结 当m是奇数7时 ，则等号右边式子中的中间数（ 即第4个数）为 ▲ ； 当m为偶数10时 ，则等号右边式子中的中间两个数（ 即第5和第6个数）为 ▲ .
综合 应用 利用上面结论计算 ：
拓展 延伸 我们还发现以下规律 ：已知时，且 m，n均为正整数 ，如果将进行如图所示的 “分解 ” ： 若(且m ，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31 ，则的值为 ▲ .
25．（2024九上·株洲开学考）【数学经验】三角形的中线 ，角平分线 ，高是三角形的重要线段 ，我们知道 ，三角形的3条高所在直线交于同一点.
（1）①如图1，△ABC中 ，∠A=90° ，则△ABC的三条高所在的直线交于点 ▲ ；
②如图2 ，△ABC中 ，∠BAC＞90° ，已知两条高BE ，AD ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、 连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高.(不写画法 ，保留作图痕迹)。
（2）【综合应用】
如图3 ，在△ABC中 ，∠ABC＞∠C，AD平分∠BAC ，过点B作BE⊥AD于点E .
①若∠ABC=80°，∠C=30° ，则 ∠EBD= ▲ ' ；
②请写出∠EBD与 ∠ABC ，∠C之间的数量关系_▲ ，并说明理由.
（3）【拓展延伸】
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 ，如果两个三角形的高相同 ，则它们的面积比等于对应底边的比.如图4 ，M是BC上一点 ，则有
如图5 ，△ABC中 ，M是BC上一点，N是AC的中点 ，若三角形ABC的面积是m ，求四边形CMDN的面积.(用含m的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上2℃记记作+2℃ ，
∴零下3℃记作-3℃，
故答案为：A.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1582亿=158200000000=1.582×1011
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；积的乘方运算；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：x3和x2不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B ：，所以B正确；
C：（3x）2=9x2，所以C不正确；
D：-5-3=-8，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据x3和x2不是同类项，不能合并，可得A不正确；根据负整数指数幂的性质可得B正确；根据积的乘方可得C不正确；根据有理数的减法运算可得D不正确。故而可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排列为：7，7，8，10，13，处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8.
故答案为：B.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点B作a//b//c，如图所示：
∵a//b//c，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠ABC=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=90°-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质可得∠2=∠3，∠1=∠4，再利用角的运算和等量代换可得∠1+∠2=90°，再结合∠2=41°，求出∠1=90°-∠2=90°-41°=49°即可.
6．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为y＝2x 3，
∴令y＝0，可得x＝，
∴A（，0），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（ ，0）．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
7．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90° ∠B＝90° 40°＝50°，
根据作图知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°，
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠ADC＝40°＋25°＝65°，
故答案为：B.
【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC＝50°，再根据作图得∠BAD＝25°，最后利用三角形的外角的性质求出∠ADC＝65°即可.
8．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2＋2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2＋2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2＋2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2＋2；
…，
∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，
∴当n＝10时，2n＋2＝22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：B.
【分析】先根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个，再将n=10代入计算即可.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、∵当t＜ 4时，t＋4＜0，∴t＜t＋4，∴y2＜y1＜0，∴A正确，符合题意；
B、∵当 4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t＋4，y2）在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，∴B错误，不符合题意；
C、∵根据B可知：当 4＜t＜0时，y1＜0＜y2，∴C错误，不符合题意；
D、∵当t＞0时，t＋4＞0，∴P（t，y1），Q（t＋4，y2）在第一象限，∵t＜t＋4，∴y1＞y2＞0，∴D错误，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】先利用反比例函数的图形和性质与系数的关系可得此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，再逐项分析判断即可.
10．【答案】D
【知识点】推理与论证；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n，如图2所示：
∴根据题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，
∴4，即m＝4n，
∴当n＝2，y＝1时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；
当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3所示：
A、∵“20”左边的数是2×4＝8，∴A不符合题意；
B、∵“20”右边的“□”表示4，∴B不符合题意；
∴a上面的数应为4a，如图4所示：
∴运算结果可以表示为：1000（4a＋1）＋100a＋20＋5＝4100a＋1025，
∴D符合题意，
当a＝2时，计算的结果大于6000，
∴C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为100x＋10y＋z和10m＋n，则mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，即m＝4n，求出当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，再根据题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000（4a＋1）＋100a＋25＝4100a＋1025，从而可得判断C、D选项．
11．【答案】2
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵23=8，
∴，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义进行计算。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： 。
【分析】根据提取公因式法分解因式。提公因式a即可。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由 两个不等式的解集 ，结合属猪的性质，可得两个不等式的解集分别为，，
所以不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，即可得到答案．
14．【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵ 一个多边形的每一个外角都是
∴ 此多边形为正多边形，
则这个多边形的边数==9
故答案为：9
【分析】本题考查正多边形外角和定理，掌握正多边形边数n与外角和360°，外角度数的关系即可。z正多边形的边数n=.
15．【答案】-4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，可得：3x=2x-4，
移项，合并同类项：x=-4，
经检验，x=-4是原方程的解，
故答案为：-4.
【分析】利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由五边形是正五边形，可得，
因为，可得，
又因为，所以.
故答案为：．
【分析】根据正五边形的性质，求得的度数，结合，求得的度数，最后根据等腰三角形的性质，即可得出答案.
17．【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】解：根据题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
∴，
∴，
故答案为：＞．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
18．【答案】-
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长EF交BA的延长线于H，
∵矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，
∴ED＝ED'＝1，∠ED'F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D'EF，
∴Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），DF＝AH，
∴BE＝，
∵BD'＝2，
∴12＋()2＝22，
∴△BED'为直角三角形，
设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED'＝2α，
∴∠AEB＝90° 2α，∠AHE＝90° α，
∴∠HEB＝∠AHE＝90° α，
∴△BHE为等腰三角形，
∴BH＝BE＝，
∴AH＝BH AB＝-，
∴DF＝AH＝-，
故答案为：-．
【分析】连接BE，延长EF交BA的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，先利用“ASA”证出Rt△HAE≌Rt△EDF，再利用全等三角形的性质可得△BED'为直角三角形，设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED'＝2α，证明△BHE为等腰三角形，求出AH，即可解答．
19．【答案】解：
=
=
=，
当x=3时，.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=3代入计算即可.
20．【答案】（1）20；15
（2）B
（3）解：根据题意可得：
∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7＋20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个），
答：去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，C组的频数n＝×50＝15．
∴B组的频数m＝50 7 15 6 2＝20．
故答案为：20；15．
（2）根据题意和中位数的意义可得：
∵50÷2＝25，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
【分析】（1）根据题意得，C组的频数n＝×50＝15，再求出B组的频数m＝50 7 15 6 2＝20即可；
（2）根据题意和中位数的意义，根据50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A组频数为7，B组频数为20，再判断即可；
（3）根据题意可得，50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7＋20＝27（户），再求解即可.
21．【答案】（1）证明：选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）解：根据（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE＝，
∴线段AE的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可．
22．【答案】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
根据题意，得，
解得：，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
根据题意，得80a+60（10﹣a）≤700，
解得：a≤5，
设每天分拣快递的件数为w万件，
∴w=22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∵一次项系数k=4>0，w随着a的增大而增大，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为w=4×5+180=200（万件），
∴10-a=10-5=5，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台， 能使每天分拣快递的件数最多 ．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据”信息一“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据”用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台“列出关于a的一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，设每天分拣快递的件数为w，则根据”信息二“得w＝4a+180，接下来利用一次函数的性质得a=5时，w最大，即可求解.
23．【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x，得：a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2，6）代入 y＝，得 6＝，
解得：k＝12，
∴反比例函数表达式为 y＝.
（2）解：设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），
根据可得xy＝12，
∴3m（m＋3）＝12，
解得：m1＝1，m2＝ 4 （舍去），
∴B（1，3）.
（3）解：如图所示，
过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB＋∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH＋∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），
∴EH＝BF＝6 3n，BH＝AF＝2 n，
∴点E（6 2n，4n 2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n 2）（6 2n）＝12，
解得 n1＝，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入解析式y＝3x，求出a的值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入y＝，求出k的值即可；
（2）设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），再结合反比例函数解析式可得3m（m＋3）＝12，再求出m的值即可；
（3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，先利用“AAS”证出△EHB≌△BFA，设点B（n，3n），则EH＝BF＝6 3n，BH＝AF＝2 n，再求出点E的坐标，最后将点E的坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可.
24．【答案】素材：13＋15＋17＋19；
规律总结：49，99，101；
综合应用：4356；
拓展延伸：64或216.
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：素材：设43＝（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4），
解得：a＝15，
∴43＝13＋15＋17＋19；
故答案为：13＋15＋17＋19；
规律总结：设73＝（a 6）＋（a 4）＋（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4）＋（a＋6），
解得：a＝49，
当m＝10时，102 1＝99，102＋1＝101，
故答案为：49，99，101；
综合应用：13＋23＋33＋…＋93＋103＋113
＝1＋（3＋5）＋（7＋9＋11）＋……＋（111＋113＋115＋117＋119＋121＋123＋125＋127＋129＋131）
＝×66×（1＋131）
＝4356；
拓展延伸：当m＝2时，2n 1 1＝31，
解得：n＝6，
此时mn的值为64，
当m＝6时，6n 1 5＝31，
解得：n＝3，
此时mn的值为216，
故答案为：64或216；
【分析】素材：设未知数列方程求解；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解；
综合应用：根据前面总结的规律求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
25．【答案】（1）解：①A
②如图2所示：延长BE、DA交于点F，延长BA交CF于点G，连接CF，则线段CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝70°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝55°，
∴∠EBD＝∠ABC ∠ABE＝25°，
故答案为：25°；
②2∠EBD＝∠ABC ∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°
∴∠ABE＝90° ∠BAD．
∴∠EBD＝∠ABC ∠ABE＝∠ABC＋∠BAD 90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB，
∴∠BAD＝90° ∠ABC ∠ACB，
∴∠EBD＝∠ABC＋∠BAD＝90°＝∠ABC＋90°＝∠ABC＝∠ACB＝90°＝∠ABC ∠ACB，
∴∠EBD＝∠ABC ∠ACB，
即2∠EBD＝∠ABC ∠C，
故答案为：2∠EBD＝∠ABC ∠C；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，，
∴S△CDN＝S△ADN，
同理：S△CBN＝S△ABN，
设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC 的面积是m，
∴S△ABN＝S△CBN＝m，
∴S△BCD＝S△ABD＝m a，BM＝BC，
∴，，，，
∴S△ACM＝3S△ABM，S△CDM＝3S△BDM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（m a）＝m a，S△ACM＝S△ABC＝m，
∴S△ACM＝S四边形CMDN＋S△ADN＝S△CDM＋S△CDN＋S△ADN，
即m＝m a＋a＋a，a＝m，
∴S四边形CMDN＝S△CDM＋S△CDN＝m ×m＋m＝m.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的综合；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）①∠A＝90°，直角三角形三条高的交点为直角顶点，
∴△ABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
【分析】（1）①利用直角三角形三条高的定义即可得出结论；
②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）①利用三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE＝∠BAC＝29°，再利用直角三角形的性质得∠ABE＝61°，即可求解；
②利用三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝m，再求出S△CDM＝S△DBC＝m a，S△ACM＝S△ABC＝m，然后由面积关系求出a＝m，即可解决问题．
1 / 1
