【原创】人教新课标A版必修4：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（导学案+教案）

学科 数学 年级 一年级 主备人 袁飞
课题 两角和与差的正弦、余弦公式 课型 新课
备课时间 2015-4-13 二次备课时间 2015-4-14
授课时间 2015-4-16
教学目标 1、知识与技能：(1).理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和与差正弦余弦公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。(2).能够利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简和证明。2、过程与方法：(1).利用在换元的思想指导下推导出公式；(2).根据、及诱导公式五（或六），推导出公式；(3).根据公式、和同角三角关系，求值、化简；(4).熟练掌握公式、的正用、逆用、变形用。(3).网络分享微课让学生们了解辅助角公式的证明过程。借助高考题提升思维量。3、情感、态度与价值观：（1）.能运用联系的观点解决问题。（2）.认识事物之间的相互联系与相互转化。（3）.通过探究两角和与差的三角公式，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质
教学重点 两角和与差正弦、余弦公式的推导过程及运用
教学难点 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明
教学方法 引导发现式教学法，过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦公式的过程，课外欣赏网络微课，提升能力。
检测方法 以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学资源 教材、教辅、电脑、实物投影，网络资源分享微课
教学过程设计 第二课时
教师活动（教学内容呈现，适当标出活动） 设计意图及用时
一、导入新课（复习导入） 1.根据一张测绘图片让同学们求,引导同学一起回顾两角差的余弦公式（特殊角→非特殊角）2.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出C(α+β)。树立探究事物内在联系—转化的基本思维方式，共同研究公式的推导及其应用。 温故知新 3分钟订正课前预备案学生设计方案求解学生口答cos(α-β)公式
二、讲授新课（合做探究） 1、两角和余弦公式的推导已知cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ在公式C(α-β)中，角α，β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β。〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕。这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.所以有如下公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).比较cos(α-β)与cos(α+β)公式，分析公式特点：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.公式分别用按照移动顺利排列（余余正正）。公式左右运算符号相反余余正正，符号相反学以致用求值 化简 2、思考：在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)= 探究教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦尝试探究“两角和的正弦公式”的推导，让学生动手完成两角和差正弦公式.sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)+（-β）］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.3、思考：能在之前的思维基础上推导 sin(α-β)=？能设计多少种方案？（幸福在哪里？在闪光的智慧里）① sin(α-β)=cos［-(α-β)］=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.②sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.比较sin(α-β)与sin(α+β)公式，分析公式特点:公式分别用按照一定顺利排列（正余余正）公式左右的运算符号相同正余余正，符号相同学以致用求值 化简 引导学生探究、发现新知15---20分钟α-(？)=α+βcos(α+β)=？学生独立完成组内核对。针对公式特点学生畅所欲言是知识在这过程中内化。学以致用学生独立完成，组内订正。引导学生观察正弦、余弦的关系，根据诱导公式，寻求内在联系。让学生展示自己的想法，然后对学生的思路进行评价。肯定学生的劳动成果，对学生的探究精神鼓励，用一首歌幸福在哪里激发学生的探究欲望。小组充分讨论，设计推导 sin(α-β)=的方案，展示结果。 示范点拨，加深理解，让学生试图寻求记忆公式的方法。巩固训练，体会应用过程小结：公式之间“联系——转换”，因公公式前要知道两个角的正弦、余弦值。
三、理论迁移与技能提升 例1、已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α), cos(-α),sin(+α),cos(+α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.于是有sin(-α)=sincosα-cossinα=同理： cos(-α)=sin(+α)＝ cos(-α)=cos(+α)= sin(-α)=例题2、已知 都是锐角，设,, 求分析：已知——，转换——，未知——解决方法：例3、公式逆用：利用和（差）角公式计算下列各式的值：求值（1） （2）化简（1） （2）变式（1） （2）（3） （4）意义：已知函数求：（1）求此函数的最值；(2)求此函数的值域； (3)求此函数的单调递增区间；(4)求此函数图象的对称轴；(5)求此函数图象的对称中心；……化简后便于求解函数性质。微课：辅助角公式推导（其中）证明： （其中）设：∴由题设，∴∴其中同理：【课后探究】已知（，且均为常数），求函数的最小正周期。 分析问题，解决问题10分钟学生独立思考，提出解决问题的办法，展示结果。归纳总结完善步骤。点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.此类题可以总结方法为“用已知表示未知”。学生独立完成，组内订正，展示结果。知识与方法总结、梳理。学生巩固训练，体会应用过程。示范点拨，加深理解。利用网络资源分享微课，学生课后观看，学习，体会。小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
四、课堂小结 1、知识：公式及公式的记忆方法=_________________________=______________________=_________________________=________________________2、技能：化简，求值3、方法：联系——转换 总结梳理
五、课后作业 基础达标，巩固提高 评价练习
六、板书设计 两角和与差的正弦余弦公式已知 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 例1 已知→未知↓cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例2联系→转换↓sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 逆用↓sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
导学案
两角和与差的正弦、余弦公式
【目标及要求】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦公式．
2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明．
【课前预习案】：
弧度制（及特殊角的三角函数值）
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
弧度
sin
cos
tan
诱导公式
1） 2） 3）
4） 5）
3、同角三角函数基本关系
平方关系（1）_______________ 商数关系（2）_______________
4、两角差的余弦公式
【课内探究案】
1、问题一：设计问题解决方案
2、探究一：探究两角和的余弦公式
思考1：注意到α＋β＝α―(？)，结合，推导cos(α＋β)。
==________________（学生独立完成，组内核对）
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？
学以致用（一）
求值 化简
4、探究二：探究两角和与差的正弦公式
思考3：
诱导公式，则。
分别用 表示。
==____________________________（学生独立完成，组内核对）
思考4：如何求？有哪些方法可以实现？
① ②
——学生讨论交流方法（组内讨论，邻近组间交流结果）
=____________________________________
思考5：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作，，这两个公式有什么特点？如何记忆？
5、学以致用（二）
求值 化简
【理论迁移与技能提升】
已知是第四象限的角，、、的值。（学生独立完成，并总结解题步骤，掌握规律和方法）
小结：用已知角表示未知角。
提升
已知 都是锐角，设,, 求
设,,,,求,的值.
6、公式的逆用，学以致用（三）
求值（1） （2）
化简（1） （2）
变式（1） （2）
（3） （4）
微课： （其中）
【课后探究】
已知（，且均为常数），求函数的最小正周期。
【归纳总结】
1、知识：公式及公式的记忆方法
=_________________________=______________________
=_________________________=________________________
2、技能：化简，求值
3、方法：联系—转换