《椭圆及其标准方程》学情分析
——桓台县渔洋中学 郭清
在学习本节课之前，通过对必修2《直线与圆》的学习，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线方程的概念有一定的了解，为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。同时，经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，仍会出现一些问题：
1、在此之前，学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够；
?2、从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍；
3、在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
《椭圆及其标准方程》效果分析
——桓台县渔洋中学 郭清
数学概念的引入，应从实际出发，创设情境，提出问题。本课的设计很具创新性，老师课前为学生准备了有实际背景的问题，让学生的贴近现实、体验生活的基础上去发现数学，调动学生学习的积极性和主动性。作为圆锥曲线的第一课，本课开始通过调动学生介绍圆锥曲线的产生及应用，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。椭圆概念的引入从学生的思维特点和学习规律出发，展示知识形成的过程，使学生在获取知识和运用的过程中，发展思维能力，提高思维品质，加深对所学知识的理解。并在过程中培养学生的科学态度、探索创新的精神以及合作精神等个性品质。
《椭圆及其标准方程》
教学设计
桓台县渔洋中学
数学组
郭清
§2.1．1椭圆及其标准方程
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
①理解椭圆的定义
②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力
2．过程与方法目标：
①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力
②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程
③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识
3．情感态度价值观目标：
③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风
④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美
二、教学重点：椭圆的定义和求解椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导化简．
三、教学过程：
（一）引入
（宇宙及圆锥曲线视频引入，伴随音乐有独白）
当我们学会抬头仰望星空时，智慧就产生了，宇宙是一个遥远的存在，但又触手可及，一直以来，人们不断踏上触摸宇宙的旅程，在探索中发现，宇宙中存在着这样一些曲线，如圆、椭圆、双曲线、抛物线，我们把这四种曲线称为圆锥曲线。圆锥曲线到底蕴藏怎样的智慧，让我们一起走进圆锥曲线的世界，去一探究竟，首先开启的是椭圆的探秘之旅，浏览一下本节课的学习目标。
（二）新课讲授
【一】椭圆的定义
师：请同学们举出生活中椭圆的例子
生：同学们纷纷举例
师：那我们如何用自己的双手画出椭圆呢？进入分组作战
生：（完成实验并将问题的答案写到画板的右侧，5分钟之后小组展示）
（1）准备：分小组准备画板一个、素描纸二张、细绳一段、图钉两个和铅笔一枝；（2）具体活动：将无弹性细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的两图钉处，用铅笔把细绳拉紧，使铅笔（动点）在画纸上慢慢移动形成轨迹.
火眼金睛思与论
问题1：你作出的点的轨迹是什么图形？
①在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些量不变？
②改变细绳两端点的距离，使其等于绳长（常数），画出的轨迹又是什么？
③当绳长（常数）小于两图钉间的距离时，还能画出轨迹吗？
师：（引领学生一步步地详化定义）
新知1：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距，通常用2c表示，常数用2a表示.
定义辨析：若是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（ B ）
A.圆 B.椭圆 C. 线段 D. 不存在
【二】椭圆的标准方程
问题2：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）
（1）建系设坐标；
让学生尝试建系，选择最佳方案，并让学生描述建系过程。
（2）分析列方程；
教师引导学生设点的坐标，根据椭圆定义列方程。
（3）化简作结论
根据微课预习，学生展台展示化简过程，最后教师简单
总结根式方程化简方法。
新知2：椭圆的标准方程为
【心得交流】
①焦点在x轴上且坐标分别是(-c,0), (c,0);
②的关系为:.
方程辨析1：写出椭圆方程的a,b,c，焦点坐标和焦距.
（学生单个回答）
问题3：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点、放在轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？
（教师引导学生观察，有什么样的变化，只是将x轴，y轴
互换，直接得到焦点在y轴的标准方程）
问题4：根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?
（教师引导学生观察图形、标准方程、坐标等的变化，
学生自己总结判断方法，教师最后总结）
【心得交流】椭圆标准方程的特点：
①标准方程的左边是两个平方的 和 ，右边是 1 ；
②焦点在分母 大 的变量所对应的轴上；
③中 a 最大.
方程辨析2：判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆；若是,则判定焦点在哪个坐标轴上，并写出a,b,c和焦点坐标.
（学生口头抢答）
真知灼见 讲与练
例1：根据下列条件求出椭圆的标准方程.
(1) ，焦点在轴上； （2），焦点在轴上；
（学生口头回答）
例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是、，且经过点，求椭圆的标准方程.
（学生投影展示并讲解过程）
跟踪:
（学生投影展示）
四、反思小结：通过本节课学到的知识
五、课后作业:完成《§2.1．1椭圆及其标准方程（二）》的学案
六、当堂检测
（学生板演）
1.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）.
A.6 B.3 C. D.
2.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）.
A.2 B.3 C. 5 D. 7
3.已知椭圆两焦点的坐标分别是、，且椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.
七、课后思考
变式1：将当堂检测第3题中两个焦点的坐标改为（0,-4）,（0，4），且椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.
变式2：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
八、板书设计
椭圆及其标准方程
定义： 例1：（1）
标准方程：
焦点在x轴：
焦点在y轴：
《椭圆及其标准方程》教材分析
——桓台县渔洋中学 郭清
《圆锥曲线与方程》是选修1-1第二章的内容，是高中数学重要的内容，圆锥曲线的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。《椭圆及其标准方程》是本章的第一节，主要学习椭圆的定义及其标准方程，它是本章也是整个解析几何的重要基础知识：
从知识层面：
它是运用坐标法研究曲线几何性质的一次演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以这么说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础。
从方法层面：
它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
从情感价值层面：
对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
《椭圆及其标准方程》观评记录
——桓台县渔洋中学 郭清
纵观这节课的教学过程，有以下几个特点：
1、创设问题情景，激发学习兴趣
?吴老师：在教学过程中，使学生体验数学的意义，经历数学知识的形成与应用过程。从对宇宙的探秘，引出课题《椭圆及其标准方程》，追问：大家想一想生活中还有哪些和椭圆有关的例子？引起学生兴趣，使学生头脑中初步形成椭圆的形象。
?毕老师：从现实生活中提炼问题，并且注意到数学应用的广泛性。新教材的一个特点是数学问题的生活化。在本节课的教学过程中，教师从生活中的实例：一些天体运行轨道问题提炼出椭圆。
马老师：通过比较、鉴别、归纳等数学活动，建立椭圆的概念，较好的体现了数学来源于生活、应用于生活的本质。从知识的运用中提升兴趣，课堂上的练习，使知识从巩固落实到灵活运用逐步提升。
2、营造探究氛围，引导合作交流
?张老师：教师在课堂上努力营造学生自主探究和合作交流的氛围，
有意识的给学生创造一个探究问题的平台。本节课上通过师生共同探讨椭圆图形的画法及其标准方程的推倒，让学生体会椭圆的形成过程，图形的对称性，方程的推倒中不同的建系方式以及不同结果的比较，体现了自主学习与合作学习的协调发展，极大发挥了学生的想象力，学生通过充分探讨提出了不同的答案，享受成功的喜悦。
?3、巩固基础知识，训练基本技能
?王老师：在问题解决的过程中，巩固基础知识和基本技能。本节内容是椭圆定义及其标准方程的推倒，建立椭圆的概念，用其推倒方程这也是新教材的特点。遵循这样一条主线，让学生学会用坐标法求曲线方程的能力。既强调建立坐标系的原则，又鼓励思维的灵活多样。每个想法都让学生抓住问题的核心，去互助探究。
?4、在教态方面
声音洪亮，有强烈的感染力；语言准确，严谨，又不失幽默，具有亲和力，尤其是肢体语言的适当运用，更能吸引学生学习的积极性。
?5、不足之处
由于教师对学生还不熟悉，加上场面比较大，师生的配合还不够密切。
§2.1．1椭圆及其标准方程（一）
一、教学目标：
1.了解椭圆的实际背景，通过作图探究椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导及化简过程．
2．掌握椭圆的定义及其标准方程．
二、教学重点：椭圆的定义和求解椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导化简．
三、教学内容
【课前知识准备】
1.平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .
2.圆心为，半径为4的圆的标准方程是 .
【课前探究活动】
（1）准备：分小组准备画板一个、素描纸二张、细绳一段、图钉两个和铅笔一枝；
（2）具体活动：将无弹性细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的两图钉处，用铅笔把细绳拉紧，使铅笔（动点）在画纸上慢慢移动形成轨迹.
火眼金睛思与论
问题1：你作出的点的轨迹是什么图形？
①在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些量不变？
②改变细绳两端点的距离，使其等于绳长（常数），画出的轨迹又是什么？
③当绳长（常数）小于两图钉间的距离时，还能画出轨迹吗？
新知1：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（ ）的点的轨迹叫作 ，定点叫做 ，两焦点间的距离叫做
定义辨析：若是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C. 线段 D. 不存在
问题2：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）
新知2：椭圆的标准方程为
( )
【心得交流】
①焦点在 轴上且坐标分别是( , ), ( , );
②的关系为: .
方程辨析1：写出椭圆方程的a,b,c，焦点坐标和焦距.
问题3：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点、放在轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？
问题4：根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?
【心得交流】椭圆标准方程的特点：
①标准方程的左边是两个平方的 ，右边是 ；
②焦点在分母 的变量所对应的轴上；
③中 最大.
方程辨析2：判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆；若是,则判定焦点在哪个坐标轴上，并写出a,b,c和焦点坐标.
真知灼见 讲与练
例1：根据下列条件求出椭圆的标准方程.
(1) ，焦点在轴上； （2），焦点在轴上；
例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是、，且经过点，求椭圆的标准方程.
跟踪:
四、反思小结：通过本节课我学到的知识
我掌握的方法有
我加强的数学思想有
五、课后思考
变式1：将当堂检测第3题中两个焦点的坐标改为（0,-4）,（0，4），且椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.
变式2：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
§2.1．1椭圆及其标准方程（一）
姓名： 分值：
当堂检测
1.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）.
A.6 B.3 C. D.
2.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ）.
A.2 B.3 C. 5 D. 7
3.已知椭圆两焦点的坐标分别是、，且椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.
《椭圆及其标准方程》课后反思
——桓台县渔洋中学 郭清
数学概念的引入，应从实际出发，创设情境，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性的例子，使学生在队具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。之后，再用“以上定义是否有不严谨之处？若有，请做出补充”等问题，引导学生逐步完善定义。挖掘概念的内涵与外延，有利于学生对概念的理解。数学概念形成之后，通过具体例子，进一步认识概念，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，在环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。椭圆的标准方程的推导，可使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力，也是这节课的难点。此处的处理方式以学生为活动主体，给学生较多的思考问题的时间和空间，教师的作用在于帮助学生不断的发现问题（比如：如何化简无理式，是否保证变形等价，如何使方程更加完美简捷等等），从而使学生通过主动的思考形成自己独立的观点，而不是成为一个被动接受的容器。
《椭圆及其标准方程》课标分析
——桓台渔洋中学 郭清
（一）内容价值
圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，所以学习这部分内容对于提高学生自身的素质是非常重要的。高中阶段对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在本模块中，在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。圆锥本身有一些很深奥的性质（如光学性质、行星运行轨道的性质等），其中有一些是圆锥曲线最基本的性质，曲于学时限制，可以只介绍结论和应用。
（二）内容设计要求与依据
与《大纲》相比，《标准》更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景，在《大纲》中，所有学生都要求学习椭圆的定义和几何性质，层次性体现不够，要求相对单一。而在《标准》中，这方面就相对有层次，对于希望在人文、社会科学等方面发展的学生来说，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。
（三）《标准》中目标描述的说明
在引入圆锥曲线时，强调让学生了解圆锥曲线的背景与应用，目的是让学生更深刻地理解学习曲线的必要性。在内容设计上要求通过丰富的实例来展开内容，如行星运行轨道。《标准》要求学生能够经历椭圆曲线的形成过程，目的是让学生对定义和几何背景有一个比较深入的了解。《标准》非常强调与重视知识的应用，这是知识的“去脉”。《标准》中虽然规定是“了解”，但这是一个非常重要的教学环节。在内容设计上，可以向学生展现一些圆锥曲线在日常生活中的实际应用。如投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹等。在一定的意义上，圆锥曲线是较好体现数形结合思想的一个素材。在学习了圆锥曲线之后，要通过圆锥曲线的背景让学生了解曲线与方程之间的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
