人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.1 相似三角形的判定3（含解析）
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.1 相似三角形的判定3（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 10:56:50 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
学习目标：
1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
1.公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧所对的圆周角都是相等的，这些在判定两个三角形相似时经常用到；
2.如果两个三角形是直角三角形，那么只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似，并且两边对应成比例时，两个直角三角形相似。
一、知识点拨
知识点1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
（2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。
（3）常见模型：
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D，
求证：△ABC∽△EBD.
例1-2．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
（2）证明：△ABC∽△BDC．
例1-3．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【对应导练】
1．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
知识点2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似；
(2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2-2．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
2．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点3 解决关于添加条件判定两个三角形相似的问题的方法
先明确要判定相似的两个三角形已经具备了什么条件，注意对隐含条件的挖掘，再结合两个三角形相似的判定方法所需的条件，添加缺少的条件即可.此类题的答案往往不唯一。
【新知导学】
例3-1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【对应导练】
1．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
二、题型训练
1.利用相似求线段长度
1 .如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
2．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
2.利用相似证明线段成比例
4．在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
5．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
3.利用相似解决有关圆的问题
6．如图所示，CD是⊙O的切线，点D在⊙O上，点C在直径AB的延长线上，若BD= AD，AC=3，则CD=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
三、课堂达标
阅卷人 一、选择题（每小题4分，共32分）
得分
1． 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
6．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
7．如图，是正方形，G是上（除端点外）的任意一点，于点E，，交于点F．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
阅卷人 二、填空题（每小题4分，共20分）
得分
9．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，写出图中的一组相似三角形 ．
10．将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形有 对．
11．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD 时，△ABD∽△DBC．
12．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有 条．
13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
阅卷人 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
得分
14．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
16．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
17．如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使DB到点F，使FB=BD，连接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明。
19．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.
（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
学习目标：
1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
1.公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧所对的圆周角都是相等的，这些在判定两个三角形相似时经常用到；
2.如果两个三角形是直角三角形，那么只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似，并且两边对应成比例时，两个直角三角形相似。
一、知识点拨
知识点1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
（2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。
（3）常见模型：
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D，
求证：△ABC∽△EBD.
【答案】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°.
∵∠C=90°，
∴∠EDB=∠C.
∵∠B=∠B，
∴ΔΑBC∽ΔΕBD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由ED⊥AB，可得∠EDB=90°= ∠C ，又有公共角∠B，即可判定.
例1-2．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
（2）证明：△ABC∽△BDC．
【答案】（1）解：如图，DE即为所求；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图法作图即可；然后连接BD.
（2）根据垂直平分线的性质得BD＝AD，于是可求得∠ABD和∠DBC的度数，从而可得∠DBC＝∠BAC，再利用公共角，即可证得△ABC∽△BDC.
例1-3．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
【对应导练】
1．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP
再证明时注意图形中隐含的相等的角。
【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角。
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解决问题．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
【答案】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A=∠A，
∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC．
【分析】根据相似三角形的判定方法，即可解决问题．
知识点2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似；
(2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA.
故答案为：B.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADC＝∠BDA＝90°，根据同角的余角相等可得∠B=∠DAC，∠C=∠BAD，然后根据相似三角形的判定定理进行解答即可.
例2-2．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①当 = ，即 = 时，△PBQ∽△ABC，解得x= ；
②当 = ，即 = 时，△QBP∽△ABC，解得x= ．
∴经 或 秒时，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从当 = 与当 = 去分析，即可求得答案．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
2．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∵∠DFG=∠A=90°，DG=DG，
∴△ADG≌△FDG，①符合题意；
∵正方形边长为12 ∴BE=EC=EF=6 设AG=GF=x 则EG=x+6，BG=12－x，
由勾股定理可得： 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8 ∴BG=2AG ②符合题意
BE=EF=6，△BEF为等腰三角形 易知△GDE不是等腰三角形 ③不符合题意
= ×6×8=24 · = ×24= ④符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质不难对①进行判断；设AG=GF=x，表示出EG、BG的长，在△BEG中利用勾股定理计算出x的值，进而判断②；根据△BEF和△GDE的形状不同即可判断③；先计算出△BEG的面积，再根据△BEF与△BEG的面积关系求解，进而判断④.
知识点3 解决关于添加条件判定两个三角形相似的问题的方法
先明确要判定相似的两个三角形已经具备了什么条件，注意对隐含条件的挖掘，再结合两个三角形相似的判定方法所需的条件，添加缺少的条件即可.此类题的答案往往不唯一。
【新知导学】
例3-1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（1）正确；
（2）因为，∠C=∠C，不能判断△ADE与△ACB相似，故（2）错误；
（3）∵，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（3）正确。
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可。
【对应导练】
1．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．
【答案】解：△ADE∽△ACB；理由如下：
∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴ = ， = ，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由已知条件证出∴ ，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【答案】解：设AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①当 = 时，△APQ∽△ABD，
∴ = ，
解得：t=3；
②当 = 时，△APQ∽△ADB，
∴ = ，
解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当 = 时，△APQ∽△ABD；与②当 = 时，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．
二、题型训练
1.利用相似求线段长度
1 .如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
【答案】解：∵△ABC中，AB=4，点M为AB的中点，
∴AM=2．
当△AMN∽△ABC时， = ，即 = ，解得MN= ；
当△AMN∽△ACB时， = ，即 = ，解得MN=3．
∴MN的长为： 或3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据M是AB的中点得出AM=2，再分△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两种情况进行讨论即可．
2．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2cm，AD=BC=3cm.
∴∠APE+∠AEP=90°
∴∠CPD=∠AEP.
∴△APE∽△DCP.
∴
即，
∴，
∴
∵0∴时，BE取得最小值，
即线段最短时，的长为1.5cm.
故答案为：D.
【分析】根据矩形性质和等腰直角三角形性质，得∠MPN=∠A=∠D=90°，于是可证得△APE∽△DCP，根据相似三角形性质可得，用AP表示出AE，即可得到BE关于AP的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题.
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
2.利用相似证明线段成比例
4．在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：由题意可知， 在正方形中，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意可知， 在正方形中，，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（）先利用 正方形 的性质，证明， 得到对应边成比例：，在通过等边代换，即可证明； （）先利用 正方形 的性质，证明， 得到对应边成比例： ，在带入正方形边长 ，将等式变形，即可得到一个只包含DE的等式，化简即可求出DE的长，在利用正方形性质，证明， 得到 ，最后求出。
5．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，，
，，
，；
（2）证明：点是的中点，，
由（1）可知：，
，，
又，，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据题意，利用等边对等角可得：，再根据，，可求出，利用相似三角形的判定定理可证明结论；
（2）根据相似三角形的性可得，根据D是中点，则，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可列出比例式，再进行化简可证明结论 ．
3.利用相似解决有关圆的问题
6．如图所示，CD是⊙O的切线，点D在⊙O上，点C在直径AB的延长线上，若BD= AD，AC=3，则CD=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD
∵ CD是⊙O的切线，
∴ ∠ODC=90°
∴ ∠ODB+∠CDB=90°
∵ AB为 ⊙O的直径
∴ ∠ADB=∠ODB+∠ODA=90°
∴ ∠CDB=∠ODA
∵ OA=OD
∴ ∠ODA=∠A
∴ ∠CDB=∠ODA=∠A
∵ ∠C=∠C
∴
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查圆的切线性质，直径定理，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握切线性质与三角形相似的判定与性质是解题关键。先证 ∠CDB=∠ODA=∠A，结合公共角∠C，可证，得，则CD=，即可求出CD长.
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
【答案】（1）证明：如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴点O在AE上，
∵AP BC，
∴AE⊥AP，
∴PA是⊙O的切线.
（2）解：过点O作OF⊥AC交AC于F，则AF=CF
∵BP⊥AC，OF⊥AC
∴OF DQ
∴ ，
∵CD＝2OD＝2，
∴OD=1，OC=3；
∴ = ；
设FQ=x，则QC=2x，CF=AF=3x，AQ=4x；
∴AB=AC=6x，
在Rt△ABQ中，
BQ2= ，
即BQ2= ，
BQ2=20x2
∴BQ=2
在Rt△BCQ中，
=
=2
∴CE= =
在Rt△AEC中，
AE=
=
=
在△AOF和△ACE中，
，
∴△AOF∽△ACE
∴ ，
即
解得：x= ，
∴AQ=4 = ，
BC=2 = ，
QC=2 =
∵AP BC
∴∠P=∠QBC，∠PAQ=∠BCQ
∴△APQ∽△CBQ
∴
即
∴AP=
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）作AE⊥BC于点E，由垂径定理和等腰三角形的性质可知点O在AE上，利用AP∥CB，可证得AE⊥AP，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）过点O作OF⊥AC交AC于F，利用垂径定理可知AF=CF，易证OF∥DQ，易求OD，OC的长，利用平行线分线段成比例定理，可求出FQ与QC的比值，设FQ=x，可表示出QC，CF，AF，AQ，AB的长；利用勾股定理表示出BQ、BC、CE及AE的长；再证明△AOF∽△ACE，利用相似三角形的性质可建立关于x的方程，解方程求出x的值；从而可求出AQ，BC，QC的长；然后证明△APQ∽△CBQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AP的长.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即AC·AD=AB·AE
（2）解：连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
三、课堂达标
阅卷人 一、选择题（每小题4分，共32分）
得分
1． 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
2．如图，，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AE=3，
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意得到，进而代入数值即可求解。
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴的值为.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，据此解答.
4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由AB=AC得∠B=∠C，而∠AED=∠B，得∠C=∠AED
得∠AED=∠ACE，故△ADE~△AEC
得得AE2=AC·AD，即(3)2=6AD，得AD=3.
答案：A.
【分析】由AB=AC得∠B=∠C，即可得△ADE~△AEC，利用相似成比例线段即可求出AD的长.
6．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
7．如图，是正方形，G是上（除端点外）的任意一点，于点E，，交于点F．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵没有等量关系，
故不能判定正确，故选项D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的四边相等，对边平行，得AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质及垂直的定义可得∠AED=∠DEF=∠BFE=90°，由同角的余角相等得∠BAF=∠ADE，从而用AAS判断出△AED≌△ADE，据此可判断A选项；由全等三角形的对应边相等得DE=AF，AE=BF，然后根据线段的和差及等量代换可判断B选项；由二直线平行，内错角相等，得∠DAE=∠BGF，由垂线定义可得∠AED=∠GFB=90°，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGF∽△DAE，据此可判断C选项； 根据现有条件无法证明 DE-BG=FG，据此可判断D选项.
8．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠DAB=∠CAE，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、 = ，且∠DAE=∠BAC，不能判定 △ABC∽△ADE ，A符合题意；
B、 = ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，B不符合题意；
C、 ∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，C不符合题意；
D、 ∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先由∠DAB=∠CAE，得到∠DAE=∠BAC，再利用相似三角形的判定定理逐项判断即可.
阅卷人 二、填空题（每小题4分，共20分）
得分
9．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，写出图中的一组相似三角形 ．
【答案】△ABC∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠C=∠ADC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
②在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠BDC=∠ADC=90°，
又∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ADC∽Rt△BCD；
③在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠C=∠BDC=90°，∠B=∠B，
∴Rt△ABC∽Rt△BCD．
故答案是：△ABC∽△ACD．
【分析】由题意及图形可知：此图中共有3个直角三角形，根据相似三角形的判定和性质判断即可．
10．将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形有 对．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：有3对相似三角形．
①∵∠EAD=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE．②∵∠DAE=∠C=45°，∠ADE=∠CDA，
∴△ADE∽△CDA．③∴∠DEA=∠DAC，
∴∠BEA=∠DAC．
∵∠B=∠C=45°，
∴△BAE∽△CDA．
故答案为：3．
【分析】充分利用特殊角度90°和45°的角寻找相等关系．在△ADE和△CDA中，∠ADE=∠CDA（公共角），∠DAE=∠C=45°，所以它们相似．同理，△ADE与△AEB相似．根据相似形的传递性，△CDA与△AEB相似．
11．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD 时，△ABD∽△DBC．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴ ，
∵AB=4，BC=9，
∴ ，
解得BD=6；
故答案为：6．
【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解．
12．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有 条．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：第一种情况如图1所示，过点P作PD∥BC，
理由：因为一条直线平行于三角形的一边，且与三角形的另两边相交，则所得三角形与原三角形相似．
第二种情况如图2所示，以PA为角的一边，在△ABC内作∠APE=∠C，
理由：因为△APE与△ACB中还有公共角∠A，所以这两个三角形也相似．
第三种情况如图3所示，过点P作PF∥AC，
理由：因为一条直线平行于三角形的一边，且与三角形的另两边相交，则所得三角形与原三角形相似．
第四种情况如图4所示，作∠BPG=∠C，
理由：因为△GBP与△ACB中还有公共角∠B，所以这两个三角形也相似．
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．利用相似三角形的判定方法分别得出符合题意的图形即可．
13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
【答案】（1，0）或（﹣1，0）
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△BOC∽△AOB，
∴ = ，
∴ = ，
∴OC=1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）
故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．
【分析】根据△BOC∽△AOB，得出 = ，再根据A、B点的坐标，即可得出答案．
阅卷人 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
得分
14．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
【答案】添加条件：AB∥CD．
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题的已知条件中已经有 AD⊥CD，AC⊥BC，即∠ADC=∠ACB=90° ，要想使 △ABC∽△CAD， 只需再找一组对应角相等，或夹角两边对应成比例，添加 AB∥CD，利用两直线平行内错角相等，即为∠CAB=∠DCA .
15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当 或 时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6，CD=4，BD=14，
∴ 或 ，
解得：BP=2或12或 ，
即PB=2或12或 时，△PAB与△PCD是相似三角形
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意得出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当 或 时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．
16．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
【答案】（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=S矩形BDEF，
∴S2+S3=S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
17．如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x=4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x=秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使DB到点F，使FB=BD，连接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明。
【答案】解：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．
（2）直线AF与⊙O相切．
证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切．
【知识点】直线与圆的位置关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切．
19．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.
（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似
【答案】（1）解：由题意，得AP=4t cm，CQ=2t cm，
则CP=(20-4t) cm.
当t=3 s时，
CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，
由勾股定理，得PQ==10(cm).
即当t=3 s时，P，Q两点之间的距离为10 cm.
（2）解：Rt△CPQ的面积S=CP·CQ=×(20-4t)×2t=20t-4t2(0即S关于t的函数解析式为S=20t-4t2(0（3）解：分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
CP∶CA=CQ∶CB，
即(20-4t)∶20=2t∶15，解得t=3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
CP∶CB=CQ∶CA，
即(20-4t)∶15=2t∶20，解得t=.
∵0<3<<5，故都符合题意.
综上，当t为3 s或 s时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析 】（1）先用含t的代数式分别表示出CP，CQ的长，把t=3代入可得CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，再利用勾股定理即可解答；
（2） 根据三角形的面积计算公式即可表示出S关于t的函数解析式；
（3）分两种情空讨论：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，利用相似三角形的性质即可求解；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，利用相似三角形的性质即可求解.
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
学习目标：
1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
1.公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧所对的圆周角都是相等的，这些在判定两个三角形相似时经常用到；
2.如果两个三角形是直角三角形，那么只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似，并且两边对应成比例时，两个直角三角形相似。
一、知识点拨
知识点1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
（2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。
（3）常见模型：
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D，
求证：△ABC∽△EBD.
例1-2．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
（2）证明：△ABC∽△BDC．
例1-3．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【对应导练】
1．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
知识点2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似；
(2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2-2．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
2．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点3 解决关于添加条件判定两个三角形相似的问题的方法
先明确要判定相似的两个三角形已经具备了什么条件，注意对隐含条件的挖掘，再结合两个三角形相似的判定方法所需的条件，添加缺少的条件即可.此类题的答案往往不唯一。
【新知导学】
例3-1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【对应导练】
1．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
二、题型训练
1.利用相似求线段长度
1 .如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
2．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
2.利用相似证明线段成比例
4．在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
5．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
3.利用相似解决有关圆的问题
6．如图所示，CD是⊙O的切线，点D在⊙O上，点C在直径AB的延长线上，若BD= AD，AC=3，则CD=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
三、课堂达标
阅卷人 一、选择题（每小题4分，共32分）
得分
1． 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
6．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
7．如图，是正方形，G是上（除端点外）的任意一点，于点E，，交于点F．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
阅卷人 二、填空题（每小题4分，共20分）
得分
9．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，写出图中的一组相似三角形 ．
10．将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形有 对．
11．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD 时，△ABD∽△DBC．
12．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有 条．
13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
阅卷人 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
得分
14．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
16．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
17．如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使DB到点F，使FB=BD，连接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明。
19．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.
（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似
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第27章 相似
27.2.1 相似三角形的判定3
学习目标：
1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
老师告诉你
1.公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧所对的圆周角都是相等的，这些在判定两个三角形相似时经常用到；
2.如果两个三角形是直角三角形，那么只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似，并且两边对应成比例时，两个直角三角形相似。
一、知识点拨
知识点1 、三角形相似判定定理3
（1）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
（2）利用两角判定两个三角形相似的方法：如果根据已知条件，在两个三角形中不能直接找出两个角分别相等，那么可先结合三角形内角和定理、对顶角等知识，设法求出其中一个三角形中的第三个角，再判断两个三角形中是否有两角分别相等，若有，则两个三角形相似，否则两个三角形不相似。
（3）常见模型：
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D，
求证：△ABC∽△EBD.
【答案】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°.
∵∠C=90°，
∴∠EDB=∠C.
∵∠B=∠B，
∴ΔΑBC∽ΔΕBD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由ED⊥AB，可得∠EDB=90°= ∠C ，又有公共角∠B，即可判定.
例1-2．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
（2）证明：△ABC∽△BDC．
【答案】（1）解：如图，DE即为所求；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图法作图即可；然后连接BD.
（2）根据垂直平分线的性质得BD＝AD，于是可求得∠ABD和∠DBC的度数，从而可得∠DBC＝∠BAC，再利用公共角，即可证得△ABC∽△BDC.
例1-3．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
【对应导练】
1．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP
再证明时注意图形中隐含的相等的角。
【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角。
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解决问题．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
【答案】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A=∠A，
∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP AC．
【分析】根据相似三角形的判定方法，即可解决问题．
知识点2、直角三角形相似判定定理
除了上面的方法外，直角三角形还有其他特殊的判定相似的方法，如下：
(1)有一个锐角分别相等的两个直角三角形相似；
(2)两条直角边成比例的两个直角三角形相似；
(3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
【上述三种直角三角形相似的判定方法，教材中并没有作为定注意理给出，所以只能作为一种分析问题的依据，可在选择题或填空题中使用，在解答题中不能作为定理直接使用】
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA.
故答案为：B.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADC＝∠BDA＝90°，根据同角的余角相等可得∠B=∠DAC，∠C=∠BAD，然后根据相似三角形的判定定理进行解答即可.
例2-2．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=2xcm，
∵AB=10cm，BC=20cm，
∴BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，
∵∠B是公共角．
∵①当 = ，即 = 时，△PBQ∽△ABC，解得x= ；
②当 = ，即 = 时，△QBP∽△ABC，解得x= ．
∴经 或 秒时，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从当 = 与当 = 去分析，即可求得答案．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
2．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S⊿BEF = ．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∵∠DFG=∠A=90°，DG=DG，
∴△ADG≌△FDG，①符合题意；
∵正方形边长为12 ∴BE=EC=EF=6 设AG=GF=x 则EG=x+6，BG=12－x，
由勾股定理可得： 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8 ∴BG=2AG ②符合题意
BE=EF=6，△BEF为等腰三角形 易知△GDE不是等腰三角形 ③不符合题意
= ×6×8=24 · = ×24= ④符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质不难对①进行判断；设AG=GF=x，表示出EG、BG的长，在△BEG中利用勾股定理计算出x的值，进而判断②；根据△BEF和△GDE的形状不同即可判断③；先计算出△BEG的面积，再根据△BEF与△BEG的面积关系求解，进而判断④.
知识点3 解决关于添加条件判定两个三角形相似的问题的方法
先明确要判定相似的两个三角形已经具备了什么条件，注意对隐含条件的挖掘，再结合两个三角形相似的判定方法所需的条件，添加缺少的条件即可.此类题的答案往往不唯一。
【新知导学】
例3-1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（1）正确；
（2）因为，∠C=∠C，不能判断△ADE与△ACB相似，故（2）错误；
（3）∵，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB，故（3）正确。
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可。
【对应导练】
1．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．
【答案】解：△ADE∽△ACB；理由如下：
∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴ = ， = ，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由已知条件证出∴ ，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
2．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
【答案】解：设AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6﹣t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①当 = 时，△APQ∽△ABD，
∴ = ，
解得：t=3；
②当 = 时，△APQ∽△ADB，
∴ = ，
解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当 = 时，△APQ∽△ABD；与②当 = 时，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．
二、题型训练
1.利用相似求线段长度
1 .如图，已知△ABC中，AB=4，AC=6，BC=9，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．
【答案】解：∵△ABC中，AB=4，点M为AB的中点，
∴AM=2．
当△AMN∽△ABC时， = ，即 = ，解得MN= ；
当△AMN∽△ACB时， = ，即 = ，解得MN=3．
∴MN的长为： 或3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据M是AB的中点得出AM=2，再分△AMN∽△ABC与△AMN∽△ACB两种情况进行讨论即可．
2．如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2cm，AD=BC=3cm.
∴∠APE+∠AEP=90°
∴∠CPD=∠AEP.
∴△APE∽△DCP.
∴
即，
∴，
∴
∵0
即线段最短时，的长为1.5cm.
故答案为：D.
【分析】根据矩形性质和等腰直角三角形性质，得∠MPN=∠A=∠D=90°，于是可证得△APE∽△DCP，根据相似三角形性质可得，用AP表示出AE，即可得到BE关于AP的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题.
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
2.利用相似证明线段成比例
4．在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：由题意可知， 在正方形中，，，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意可知， 在正方形中，，，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（）先利用 正方形 的性质，证明， 得到对应边成比例：，在通过等边代换，即可证明； （）先利用 正方形 的性质，证明， 得到对应边成比例： ，在带入正方形边长 ，将等式变形，即可得到一个只包含DE的等式，化简即可求出DE的长，在利用正方形性质，证明， 得到 ，最后求出。
5．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，，
，，
，；
（2）证明：点是的中点，，
由（1）可知：，
，，
又，，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据题意，利用等边对等角可得：，再根据，，可求出，利用相似三角形的判定定理可证明结论；
（2）根据相似三角形的性可得，根据D是中点，则，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可列出比例式，再进行化简可证明结论 ．
3.利用相似解决有关圆的问题
6．如图所示，CD是⊙O的切线，点D在⊙O上，点C在直径AB的延长线上，若BD= AD，AC=3，则CD=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD
∵ CD是⊙O的切线，
∴ ∠ODC=90°
∴ ∠ODB+∠CDB=90°
∵ AB为 ⊙O的直径
∴ ∠ADB=∠ODB+∠ODA=90°
∴ ∠CDB=∠ODA
∵ OA=OD
∴ ∠ODA=∠A
∴ ∠CDB=∠ODA=∠A
∵ ∠C=∠C
∴
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查圆的切线性质，直径定理，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握切线性质与三角形相似的判定与性质是解题关键。先证 ∠CDB=∠ODA=∠A，结合公共角∠C，可证，得，则CD=，即可求出CD长.
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AP BC，BP交AC于Q.
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接OC交BQ于点D，若BP⊥AC于Q，CD＝2OD＝2，求AP的长.
【答案】（1）证明：如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC，
∴点O在AE上，
∵AP BC，
∴AE⊥AP，
∴PA是⊙O的切线.
（2）解：过点O作OF⊥AC交AC于F，则AF=CF
∵BP⊥AC，OF⊥AC
∴OF DQ
∴ ，
∵CD＝2OD＝2，
∴OD=1，OC=3；
∴ = ；
设FQ=x，则QC=2x，CF=AF=3x，AQ=4x；
∴AB=AC=6x，
在Rt△ABQ中，
BQ2= ，
即BQ2= ，
BQ2=20x2
∴BQ=2
在Rt△BCQ中，
=
=2
∴CE= =
在Rt△AEC中，
AE=
=
=
在△AOF和△ACE中，
，
∴△AOF∽△ACE
∴ ，
即
解得：x= ，
∴AQ=4 = ，
BC=2 = ，
QC=2 =
∵AP BC
∴∠P=∠QBC，∠PAQ=∠BCQ
∴△APQ∽△CBQ
∴
即
∴AP=
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）作AE⊥BC于点E，由垂径定理和等腰三角形的性质可知点O在AE上，利用AP∥CB，可证得AE⊥AP，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）过点O作OF⊥AC交AC于F，利用垂径定理可知AF=CF，易证OF∥DQ，易求OD，OC的长，利用平行线分线段成比例定理，可求出FQ与QC的比值，设FQ=x，可表示出QC，CF，AF，AQ，AB的长；利用勾股定理表示出BQ、BC、CE及AE的长；再证明△AOF∽△ACE，利用相似三角形的性质可建立关于x的方程，解方程求出x的值；从而可求出AQ，BC，QC的长；然后证明△APQ∽△CBQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AP的长.
8．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴ ，即AC·AD=AB·AE
（2）解：连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
三、课堂达标
阅卷人 一、选择题（每小题4分，共32分）
得分
1． 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
2．如图，，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AE=3，
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意得到，进而代入数值即可求解。
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴的值为.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，据此解答.
4．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6，
AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由AB=AC得∠B=∠C，而∠AED=∠B，得∠C=∠AED
得∠AED=∠ACE，故△ADE~△AEC
得得AE2=AC·AD，即(3)2=6AD，得AD=3.
答案：A.
【分析】由AB=AC得∠B=∠C，即可得△ADE~△AEC，利用相似成比例线段即可求出AD的长.
6．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
7．如图，是正方形，G是上（除端点外）的任意一点，于点E，，交于点F．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
∵没有等量关系，
故不能判定正确，故选项D错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的四边相等，对边平行，得AB=AD，AD∥BC，由平行线的性质及垂直的定义可得∠AED=∠DEF=∠BFE=90°，由同角的余角相等得∠BAF=∠ADE，从而用AAS判断出△AED≌△ADE，据此可判断A选项；由全等三角形的对应边相等得DE=AF，AE=BF，然后根据线段的和差及等量代换可判断B选项；由二直线平行，内错角相等，得∠DAE=∠BGF，由垂线定义可得∠AED=∠GFB=90°，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BGF∽△DAE，据此可判断C选项； 根据现有条件无法证明 DE-BG=FG，据此可判断D选项.
8．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
= B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠DAB=∠CAE，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、 = ，且∠DAE=∠BAC，不能判定 △ABC∽△ADE ，A符合题意；
B、 = ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，B不符合题意；
C、 ∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，C不符合题意；
D、 ∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC，能判定△ABC∽△ADE，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先由∠DAB=∠CAE，得到∠DAE=∠BAC，再利用相似三角形的判定定理逐项判断即可.
阅卷人 二、填空题（每小题4分，共20分）
得分
9．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，写出图中的一组相似三角形 ．
【答案】△ABC∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠C=∠ADC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
②在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠BDC=∠ADC=90°，
又∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴Rt△ADC∽Rt△BCD；
③在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠C=∠BDC=90°，∠B=∠B，
∴Rt△ABC∽Rt△BCD．
故答案是：△ABC∽△ACD．
【分析】由题意及图形可知：此图中共有3个直角三角形，根据相似三角形的判定和性质判断即可．
10．将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形有 对．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：有3对相似三角形．
①∵∠EAD=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE．②∵∠DAE=∠C=45°，∠ADE=∠CDA，
∴△ADE∽△CDA．③∴∠DEA=∠DAC，
∴∠BEA=∠DAC．
∵∠B=∠C=45°，
∴△BAE∽△CDA．
故答案为：3．
【分析】充分利用特殊角度90°和45°的角寻找相等关系．在△ADE和△CDA中，∠ADE=∠CDA（公共角），∠DAE=∠C=45°，所以它们相似．同理，△ADE与△AEB相似．根据相似形的传递性，△CDA与△AEB相似．
11．已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD 时，△ABD∽△DBC．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴ ，
∵AB=4，BC=9，
∴ ，
解得BD=6；
故答案为：6．
【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解．
12．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，过P作直线（不与AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有 条．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：第一种情况如图1所示，过点P作PD∥BC，
理由：因为一条直线平行于三角形的一边，且与三角形的另两边相交，则所得三角形与原三角形相似．
第二种情况如图2所示，以PA为角的一边，在△ABC内作∠APE=∠C，
理由：因为△APE与△ACB中还有公共角∠A，所以这两个三角形也相似．
第三种情况如图3所示，过点P作PF∥AC，
理由：因为一条直线平行于三角形的一边，且与三角形的另两边相交，则所得三角形与原三角形相似．
第四种情况如图4所示，作∠BPG=∠C，
理由：因为△GBP与△ACB中还有公共角∠B，所以这两个三角形也相似．
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．利用相似三角形的判定方法分别得出符合题意的图形即可．
13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
【答案】（1，0）或（﹣1，0）
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△BOC∽△AOB，
∴ = ，
∴ = ，
∴OC=1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）
故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．
【分析】根据△BOC∽△AOB，得出 = ，再根据A、B点的坐标，即可得出答案．
阅卷人 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
得分
14．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
【答案】添加条件：AB∥CD．
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题的已知条件中已经有 AD⊥CD，AC⊥BC，即∠ADC=∠ACB=90° ，要想使 △ABC∽△CAD， 只需再找一组对应角相等，或夹角两边对应成比例，添加 AB∥CD，利用两直线平行内错角相等，即为∠CAB=∠DCA .
15．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当 或 时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6，CD=4，BD=14，
∴ 或 ，
解得：BP=2或12或 ，
即PB=2或12或 时，△PAB与△PCD是相似三角形
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由题意得出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当 或 时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．
16．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
【答案】（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，
∴S1=S矩形BDEF，
∴S2+S3=S矩形BDEF，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．
17．如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x=4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x=秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使DB到点F，使FB=BD，连接AF.
⑴△BDE∽△FDA；
⑵试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明。
【答案】解：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．
（2）直线AF与⊙O相切．
证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴AB=AC，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切．
【知识点】直线与圆的位置关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA．
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌△OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切．
19．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20 cm，BC=15 cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是 2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，两点都停止运动.设运动时间为t.
（1）当t=3 s时，P，Q两点之间的距离是多少
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似
【答案】（1）解：由题意，得AP=4t cm，CQ=2t cm，
则CP=(20-4t) cm.
当t=3 s时，
CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，
由勾股定理，得PQ==10(cm).
即当t=3 s时，P，Q两点之间的距离为10 cm.
（2）解：Rt△CPQ的面积S=CP·CQ=×(20-4t)×2t=20t-4t2(0
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，
CP∶CA=CQ∶CB，
即(20-4t)∶20=2t∶15，解得t=3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，
CP∶CB=CQ∶CA，
即(20-4t)∶15=2t∶20，解得t=.
∵0<3<<5，故都符合题意.
综上，当t为3 s或 s时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析 】（1）先用含t的代数式分别表示出CP，CQ的长，把t=3代入可得CP=20-4t=8(cm)，CQ=2t=6(cm)，再利用勾股定理即可解答；
（2） 根据三角形的面积计算公式即可表示出S关于t的函数解析式；
（3）分两种情空讨论：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，利用相似三角形的性质即可求解；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，利用相似三角形的性质即可求解.
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