人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.3 相似三角形的应用举例
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.3 相似三角形的应用举例 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 22.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 17:32:04 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的应用举例
学习目标：
1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问题的能力.
老师告诉你
相似三角形的应用主要有以下两个方面：
测高：（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）
测距：（不能直接测量的两点间的距离）
解决实际问题的关键是根据已知条件准确作出图形，构造与实物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性质进行求解。
一、知识点拨
知识点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【新知导学】
例1-1．古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度．
例1-2．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
例1-3．研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案．
测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长．
例1-4．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
【对应导练】
1.如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
2 .如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ．
3 .如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求信号发射塔的高度．
4 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
知识点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：
比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【新知导学】
例2-1．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离．
例2-2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？
例2-3．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【对应导练】
1．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（ ）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
2．为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（ ）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米．
4．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？
知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题
【新知导学】
例3-1．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
例3-2．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【对应导练】
1．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
2．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
二、题型训练
1.测高度
1．小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？
2．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．
2.测宽度
3．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
则（ ）m
A． B． C．40 D．50
4．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ．
3.裁剪问题
5．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
6．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（ ）
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
8．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
10．工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
11．如图，楼房的高度应为 ．
12．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米．
13．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
16．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点、、、、在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？
17．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
18．如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度．
19．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的应用举例
学习目标：
1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问题的能力.
老师告诉你
相似三角形的应用主要有以下两个方面：
测高：（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）
测距：（不能直接测量的两点间的距离）
解决实际问题的关键是根据已知条件准确作出图形，构造与实物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性质进行求解。
一、知识点拨
知识点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【新知导学】
例1-1．古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度．
【答案】该建筑物的高度为91米
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知证得是解题关键．
根据太阳光是平行光线可得出，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：太阳光线是平行光线，
,
,
（米）．
答：该建筑物的高度为91米．
例1-2．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
【答案】路灯的高为6.4米
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可．
【详解】解：由题意知：，，，，，
，，
， ，
又，
，
，
解得，
，
，
答：路灯的高为米．
例1-3．研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案．
测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长．
【答案】米
【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长．
【详解】解：根据题意可得：，
又，
，
，
，
，
根据题意可得：，
又，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
，
纪念碑的高的长为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例1-4．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
【答案】24尺
【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
由，得，知，故，即第二时刻的影长为24尺．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意得：，，
∴；
故第二时刻的影长为24尺．
【对应导练】
1.如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即塔高为米，
故选：D．
2 .如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ．
【答案】12.8
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可．
【详解】解：依据题意，得，
，，
，
，
，
，
即，
，
教学楼的高度为．
故答案为：12.8．
3 .如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求信号发射塔的高度．
【答案】19.8米．
【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴DC＝19.8（米），
∴古塔的高度为19.8米．
4 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
【答案】路灯的高度OP是m．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
答：路灯的高度OP是m．
知识点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：
比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【新知导学】
例2-1．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离．
【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键；
根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答；
【详解】解：，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为；
例2-2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？
【答案】两岸之间的大致距离为100米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即有，
解得米，
即两岸间的大致距离为100米．
例2-3．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【答案】河宽为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．
如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【对应导练】
1．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（ ）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，即：，米，
∴，米
故选：D．
2．为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（ ）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
故选：C．
3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可．
【详解】解：如图，设河宽为h，
米，P到的距离是米，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：米，
∴河宽为米．
故答案为：．
4．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？
【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键：
（1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故河流的宽度为；
（2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）；
（3）如图：根据题意可得，
则，
∴，
∴要求出的长，需要知道的长，
∴需要测量的线段为．
知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题
【新知导学】
例3-1．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例3-2．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
【对应导练】
1．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
【答案】3m
【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论．
【详解】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键.
2．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
二、题型训练
1.测高度
1．小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？
【答案】教学大楼的高度是米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵由题意得，，，
∴，
∴，即，
解得：，
答：教学楼的高度是米．
2．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．
【答案】大雁塔的高度为64米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可．
【详解】解：设米．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：大雁塔的高度为64米．
2.测宽度
3．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
则（ ）m
A． B． C．40 D．50
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：D．
4．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ．
【答案】45
【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得：，
即河宽为．
故答案为：45
3.裁剪问题
5．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
6．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长．
【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，，
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可；
任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可；
【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x，
由题意得：
，得：
小明：由题意得：
∵
，得．
∵
，得：
∵
．
任务二：由题意得：
设：，，
同理：
，得
∵
，得：
．
矩形的边长为：；．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键．
设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解．
【详解】解：设像到小孔的距离为，
由题意可知与相似，
，
．
故选：C．
2．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案．
【详解】解：矩形中，，，
∴，
，
，
∵，
，
，
∵矩形零件的长与宽的比为，
设，，则，，
，
解得：，
，，
矩形的周长为：．
故选：D．
3．如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．根据题意可求出，再根据，可证明，即得出，最后代入数据求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，即，
解得：，
∴宿舍楼的高是．
故选B．
4．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N，
∵，
∴，即相似比为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意做出示意图，证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：D．
6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，，，
，
，即，
故选：D
7．如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（ ）
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
【答案】C
【分析】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在处时影长为，长为，处时影长为．
，，
，，
，，
则，
；
，
，
，
故变短了米．
故选：C．
8．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键．
先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解．
【详解】解：如图
，，，
，
，
即，
．
斜边上的高分成5等份，
．
，
，，
，
，
即，
，
即从上往下数，第一个矩形的长为，
同理可得从上往下数，第二个矩形的长为，
从上往下数，第三个矩形的长为，
从上往下数，第四个矩形的长为，
而所有矩形的宽都为，
所以4张纸条的面积和为．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解．
【详解】解：∵和均为直角，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，，
∴,
∴
故答案为：．
10．工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】7
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
解得：，
为7米，
故答案为：7．
11．如图，楼房的高度应为 ．
【答案】/10米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定证得，可得，即可求解．
【详解】解：由图可得，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
12．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论．
【详解】解：由题意知，，
，
，
由题知，，
，
，
，
，
米，米，米，
，
米．
，
米，
故答案为：．
13．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作于点，推出，得到米，再根据勾股定理求出米，由题意得：米，米，，利用相似三角形的性质求出米，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
，
，
米，
米，
米，
由题意得：米，米，，
，即，
米，
米，
大树的高度是米，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【答案】
【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
【答案】40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
∴米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
16．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点、、、、在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？
【答案】路灯高6.6米．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
首先根据已知条件求证出，，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度．
【详解】解：设米，则米，再设路灯的高为h米，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
则，
解得：，
故，
解得：．
答：路灯高6.6米．
17．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
18．如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解．
【详解】解：根据光的反射定律得：，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
列方程求值
得比例线段
证明三角形相似
根据题意建立相似三角形模型
解题思路
列方程求值
得比例线段
证明三角形相似
根据题意建立相似三角形模型
解题思路
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的应用举例
学习目标：
1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问题的能力.
老师告诉你
相似三角形的应用主要有以下两个方面：
测高：（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）
测距：（不能直接测量的两点间的距离）
解决实际问题的关键是根据已知条件准确作出图形，构造与实物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性质进行求解。
一、知识点拨
知识点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【新知导学】
例1-1．古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度．
例1-2．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
例1-3．研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案．
测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长．
例1-4．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
【对应导练】
1.如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
2 .如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ．
3 .如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求信号发射塔的高度．
4 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
知识点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：
比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【新知导学】
例2-1．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离．
例2-2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？
例2-3．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【对应导练】
1．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（ ）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
2．为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（ ）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米．
4．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？
知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题
【新知导学】
例3-1．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
例3-2．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【对应导练】
1．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
2．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
二、题型训练
1.测高度
1．小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？
2．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．
2.测宽度
3．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
则（ ）m
A． B． C．40 D．50
4．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ．
3.裁剪问题
5．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
6．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（ ）
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
8．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
10．工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
11．如图，楼房的高度应为 ．
12．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米．
13．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
16．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点、、、、在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？
17．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
18．如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度．
19．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.2.3 相似三角形的应用举例
学习目标：
1.能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量物体的高度和测量河宽等一些实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模思想，培养分析问题、解决问题的能力.
老师告诉你
相似三角形的应用主要有以下两个方面：
测高：（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）
测距：（不能直接测量的两点间的距离）
解决实际问题的关键是根据已知条件准确作出图形，构造与实物所在的三角形相似的三角形，利用相似三角形的性质进行求解。
一、知识点拨
知识点1 利用相似三角形测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
【新知导学】
例1-1．古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度．
【答案】该建筑物的高度为91米
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知证得是解题关键．
根据太阳光是平行光线可得出，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：太阳光线是平行光线，
,
,
（米）．
答：该建筑物的高度为91米．
例1-2．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．
【答案】路灯的高为6.4米
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
根据题意，得，，，，，继而得到，，之后列出比例式，解答即可．
【详解】解：由题意知：，，，，，
，，
， ，
又，
，
，
解得，
，
，
答：路灯的高为米．
例1-3．研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案．
测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米．
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长．
【答案】米
【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长．
【详解】解：根据题意可得：，
又，
，
，
，
，
根据题意可得：，
又，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
，
纪念碑的高的长为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例1-4．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，求第二时刻的影长．
【答案】24尺
【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
由，得，知，故，即第二时刻的影长为24尺．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意得：，，
∴；
故第二时刻的影长为24尺．
【对应导练】
1.如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即塔高为米，
故选：D．
2 .如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ．
【答案】12.8
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可．
【详解】解：依据题意，得，
，，
，
，
，
，
即，
，
教学楼的高度为．
故答案为：12.8．
3 .如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求信号发射塔的高度．
【答案】19.8米．
【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴DC＝19.8（米），
∴古塔的高度为19.8米．
4 .如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
【答案】路灯的高度OP是m．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
答：路灯的高度OP是m．
知识点2 利用相似三角形测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：
比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【新知导学】
例2-1．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离．
【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键；
根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答；
【详解】解：，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为；
例2-2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和点，使，然后再选点，使，确定与的交点为，如图，测得米，米，米，你能求出两岸之间的大致距离吗？
【答案】两岸之间的大致距离为100米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即有，
解得米，
即两岸间的大致距离为100米．
例2-3．如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【答案】河宽为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．
如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【对应导练】
1．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（ ）
A．100米 B．200米 C．300米 D．400米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，即：，米，
∴，米
故选：D．
2．为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（ ）米．
A．24 B．30 C．32 D．40
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
故选：C．
3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可．
【详解】解：如图，设河宽为h，
米，P到的距离是米，
∴，
∴，
∴
∴，
解得：米，
∴河宽为米．
故答案为：．
4．下表是小明数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度AB
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：（1） 请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）请你写出这个方案中求河流宽度时用到的相似三角形的知识．____________（写出一个即可）
任务二：（3）小宇选择的测量工具是标杆和皮尺，如图是该方案的示意图．其中线段表示河宽，请直接写出需要测量的线段有哪些？
【答案】（1）河流的宽度为；（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键：
（1）证明，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）根据题意可知本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
（3）证明，得到，要求出的长，需要知道的长，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故河流的宽度为；
（2）本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）；
（3）如图：根据题意可得，
则，
∴，
∴要求出的长，需要知道的长，
∴需要测量的线段为．
知识点3 利用相似三角形测有遮挡物的问题
【新知导学】
例3-1．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点．
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例3-2．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
【对应导练】
1．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
【答案】3m
【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论．
【详解】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键.
2．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．
二、题型训练
1.测高度
1．小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？
【答案】教学大楼的高度是米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵由题意得，，，
∴，
∴，即，
解得：，
答：教学楼的高度是米．
2．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）．
【答案】大雁塔的高度为64米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可．
【详解】解：设米．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：大雁塔的高度为64米．
2.测宽度
3．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
则（ ）m
A． B． C．40 D．50
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：D．
4．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为 ．
【答案】45
【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得：，
即河宽为．
故答案为：45
3.裁剪问题
5．现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
6．
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4，步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上；步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明．
任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长．
【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，，
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，
任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可；
任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可；
【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x，
由题意得：
，得：
小明：由题意得：
∵
，得．
∵
，得：
∵
．
任务二：由题意得：
设：，，
同理：
，得
∵
，得：
．
矩形的边长为：；．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键．
设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解．
【详解】解：设像到小孔的距离为，
由题意可知与相似，
，
．
故选：C．
2．如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在上，则矩形的周长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案．
【详解】解：矩形中，，，
∴，
，
，
∵，
，
，
∵矩形零件的长与宽的比为，
设，，则，，
，
解得：，
，，
矩形的周长为：．
故选：D．
3．如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．根据题意可求出，再根据，可证明，即得出，最后代入数据求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
由题意可知，
∴，
∴，即，
解得：，
∴宿舍楼的高是．
故选B．
4．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N，
∵，
∴，即相似比为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意做出示意图，证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：D．
6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，，，
，
，即，
故选：D
7．如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（ ）
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
【答案】C
【分析】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在处时影长为，长为，处时影长为．
，，
，，
，，
则，
；
，
，
，
故变短了米．
故选：C．
8．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键．
先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解．
【详解】解：如图
，，，
，
，
即，
．
斜边上的高分成5等份，
．
，
，，
，
，
即，
，
即从上往下数，第一个矩形的长为，
同理可得从上往下数，第二个矩形的长为，
从上往下数，第三个矩形的长为，
从上往下数，第四个矩形的长为，
而所有矩形的宽都为，
所以4张纸条的面积和为．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解．
【详解】解：∵和均为直角，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，，
∴,
∴
故答案为：．
10．工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】7
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
解得：，
为7米，
故答案为：7．
11．如图，楼房的高度应为 ．
【答案】/10米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定证得，可得，即可求解．
【详解】解：由图可得，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
12．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论．
【详解】解：由题意知，，
，
，
由题知，，
，
，
，
，
米，米，米，
，
米．
，
米，
故答案为：．
13．如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作于点，推出，得到米，再根据勾股定理求出米，由题意得：米，米，，利用相似三角形的性质求出米，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
，
，
米，
米，
米，
由题意得：米，米，，
，即，
米，
米，
大树的高度是米，
故答案为：．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【答案】
【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点在同一条直线上．若测得米，米，米，试求河的宽度．
【答案】40米
【分析】证得△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
∴米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
16．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点、、、、在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？
【答案】路灯高6.6米．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
首先根据已知条件求证出，，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度．
【详解】解：设米，则米，再设路灯的高为h米，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
则，
解得：，
故，
解得：．
答：路灯高6.6米．
17．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
18．如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解．
【详解】解：根据光的反射定律得：，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
19．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【答案】(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
列方程求值
得比例线段
证明三角形相似
根据题意建立相似三角形模型
解题思路
列方程求值
得比例线段
证明三角形相似
根据题意建立相似三角形模型
解题思路
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