人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.3 位似
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.3 位似 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 16.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 17:49:23 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.3 位似
学习目标
1 了解位似图形及其相关概念，会识别位似图形，确定位似中心.
2 理解位似图形的性质，能利用位似作图的方法将一个图形放大或缩小.
3 .会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
老师告诉你
1.位似是一种具有特殊位置关系的相似，它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质，构成位似的两个图形的每组对应点与位似中心共线，对应边互相平行或在同一条直线上。
2.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心距离的比等于相似比，利用位似，可以将一个图形放大或缩小，符合要求的图形不唯一。
一、知识点拨
知识点1 、位似图形
两个图形不仅相似，而且对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。
（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（2）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
【新知导学】
例1-1．下列图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【对应导练】
1．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
2．两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
知识点2 、位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【新知导学】
例2-1．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如图，菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．若，则菱形的周长为（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【对应导练】
1．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则 ．
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ．
知识点3、四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
【新知导学】
例3-1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
例3-2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度
(1)将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出的图形；
(2)以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
(2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
2．画一面．
(1)根据给定的对称轴画出图形的另一半．
(2)画出图①按4∶1放大后的图形．
(3)通出将图②绕A点按逆时针方向旋转，再向下平移4格后的图形．
二、题型训练
1.利用位似性质求周长、面积
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
2．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
2.利用位似性质求坐标
3．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为．
(1)在图中画出；
(2)与的周长比为_______；
(3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______．
4．如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；
(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为．
(3)设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______．
3.利用位似性质作图
5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使得；
(2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为．
6．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求与的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
3．如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
10．如图，点，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点（在第四象限）的坐标是 ．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
12．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 ．
13．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；
(2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
15．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，
(1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；
(2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
(1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，；
(3)求（2）中的面积．
17．如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为．
(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M、N的对应点P、Q的坐标；
(3)求的面积；
(4)如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标为______；
(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______．
19．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.3 位似
学习目标
1 了解位似图形及其相关概念，会识别位似图形，确定位似中心.
2 理解位似图形的性质，能利用位似作图的方法将一个图形放大或缩小.
3 .会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
老师告诉你
1.位似是一种具有特殊位置关系的相似，它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质，构成位似的两个图形的每组对应点与位似中心共线，对应边互相平行或在同一条直线上。
2.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心距离的比等于相似比，利用位似，可以将一个图形放大或缩小，符合要求的图形不唯一。
一、知识点拨
知识点1 、位似图形
两个图形不仅相似，而且对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。
（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（2）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
【新知导学】
例1-1．下列图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、不是位似图形，故本选项符合题意；
故选：．
例1-2．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键．
根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可．
【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的，
所以这两张图片之间的关系是位似，
故选：D．
【对应导练】
1．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得是位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
2．两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
【答案】B
【分析】根据位似图形和相似图形的概念解答即可．
【详解】解：∵两个正方形对应顶点的连线所在的直线不相交于一点，
∴这两个正方形不是位似图形，
∵正方形的角都相等，边长都成相同的比例，
∴这两个正方形是相似图形，
综上，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形和相似图形，对应顶点的连线所在的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；所有正方形都是相似图形，因为，角都相等，边长都成相同的比例．
知识点2 、位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【新知导学】
例2-1．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，且相似比等于位似比，以及相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，且相似比为：，
∴与的周长比为；
故选A．
例2-2．如图，菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．若，则菱形的周长为（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形的概念、菱形的性质、根据相似多边形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．，
∴
∴
∴菱形的周长为
故选：D．
【对应导练】
1．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质求解，即可解题．
【详解】解： 与位似，点为位似中心，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为4：1，
∴，，
∴与的面积之比为，
∴
故答案为：．
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ．
【答案】18
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于2，
∴的面积为18．
故答案为：18．
知识点3、四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
【新知导学】
例3-1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图 位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
（1）先作出平移后点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）以点B为位似中心，将放大为原来的2倍，得到即可．
【详解】（1）解：为所求三角形；
（2）解：根据题意画出图形，为所求三角形．
例3-2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度
(1)将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出的图形；
(2)以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，或
【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作出图形即可；
（2）根据位似图形的作图画出图形即可，结合图形即可得出坐标．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
，或．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
(2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查位似图形的作图及轴对称图形的作法，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据位似图形的作法作出图形即可；
（2）根据轴对称图形的作法作出相应图形即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）即为所求．
2．画一面．
(1)根据给定的对称轴画出图形的另一半．
(2)画出图①按4∶1放大后的图形．
(3)通出将图②绕A点按逆时针方向旋转，再向下平移4格后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可画出另一半图形1使它成为轴对称图形．
（2）根据图形放大与缩小的方法，先数出图形①的长和宽，就是把原长方形的长和宽都乘以4，即可画出按4：1的比放大后的图形2．
（3）根据图形旋转的方法，先把图②绕A点逆时针旋转90°后，向下平移4格后得到图形3即可．
【详解】（1）解：如图所示：图1即是所求图形；
（2）解：如图所示：图2即是所求图形；
（3）解：如图所示：图3即是所求图形；
【点睛】此题考查了图形的平移、旋转、放大与缩小的方法以及利用轴对称图形的定义画轴对称图形的另一半，解题关键是熟练掌握画图方法，准确画图．
二、题型训练
1.利用位似性质求周长、面积
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
【答案】(1)件解析
(2)1
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质．
（1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得；
（2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：根据图象可得，
∵与的相似比为，
∴与的面积比为，
∴面积．
故答案为：1．
2．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形：
（1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案．
【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，，，
∴，，
，
∴的周长为，
∵与的相似比为，
∴与的周长比为，
∴的周长为．
2.利用位似性质求坐标
3．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为．
(1)在图中画出；
(2)与的周长比为_______；
(3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，在坐标系中画位似图形，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似图形的作图方法及位似图形的性质是解题的关键．
（1）按照画位似图形的方法在图中画出即可；
（2）根据位似中心，点及其对应点的坐标即可求出与的相似比；
（3）由于点为位似中心，点是边上一个点，根据位似变换的坐标特征及相似比即可求出的对应点的坐标．
【详解】（1）解：在图中画出如下：
（2）解：点的坐标为，O点为位似中心，点B 的对应点为，
与的相似比为：，
∴与的周长比为；
故答案为：；
（3）解：点为位似中心，点是边上一个点，
的对应点的坐标为，即，
故答案为：．
4．如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；
(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为．
(3)设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______．
【答案】(1)图见解析；；
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了位似的作图、坐标与图形等知识．
（1）根据位似的作图找到点P的位置并写出点P的坐标即可；
（2）根据位似作图找到的位置，顺次连接即可；
（3）根据位似图形的性质写出答案即可．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，点P的坐标为；
（2）如图，即为所求，
（3）点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是，
故答案为：
3.利用位似性质作图
5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使得；
(2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）如图所示，取格点，连接交于P，点P即为所求；
（2）把的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，描出，再顺次连接即可．
【详解】（1）解；如图所示，取格点，连接交于P，点P即为所求；
易得，则，
（2）如图所示，即为所求．
6．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求与的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于．
【答案】(1)作图见解答过程
(2)
(3)作图见解答过程
【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心；
（2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为；
（3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：与的位似比等于；
（3）解：如图所示，即为所求．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心．
故选：A．
2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：OD=18，
故选：B．
3．如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的性质推知：，且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答．
【详解】解：，
．
与位似，点为位似中心，
，且．
．
，
．
故选：C．
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、及相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是正确解决本题的关键．
由题意可知两个多边形的相似比为，可知两个图形的面积比为即可求出．
【详解】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
5．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查关于原点位似的坐标特征，根据这个特征求解即可．
【详解】解：两个“”的相似比为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选B．
6．如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，利用位似图形及相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形与四边形位似，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与四边形的面积比为，
故选：．
7．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解
【详解】解：连接，，，并延长如图所示，
，
∴的位似图形是，
故选：C．
8．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了图形位似，坐标与图形．熟练掌握位似图形的面积比等于相似比平方，坐标与图形的性质，是解决问题的关键．
由与是位似比为的位似图形，得到面积比等于位似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴，且相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴相似比为，
故答案为：．
10．如图，点，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点（在第四象限）的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可得到结果．
【详解】解：将放大倍，点，点的对应点在第四象限，
点的坐标是，即，
故答案为：．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解．
【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心，
和的位似比，
和的面积的比是，
又的面积是3，
的面积是12．
故答案为：12．
12．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 ．
【答案】
【分析】作轴，由，结合点D是OB的中点，得到相似比为，，结合，，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点作轴，交轴于点，
∴，
∵点D是OB的中点，
∴，相似比为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
13．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据题意知，，设，则，根据，可求出点D、E、F的坐标，根据待定系数法求出设直线、的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解∶∵、，
∴，，
①当点P在第三象限时，
∵将放大为原来的两倍后得到对应的，
∴，，
∵点D、F恰好在双曲线上，
设，则，
∴，
解得，或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴；
②当点P在第一象限时， P与①中的E重合时，与关于点E位似，位似比为2，
∴，
综上，P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质等知识，求出D、E、F的坐标是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；
(2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)见解析
【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求．
（2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：由图可得，，
，
与的位似比为，
与的面积比为，
，
故答案为：；；；
（3）解：如图，即为所求．
15．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，
(1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；
(2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】本题主要考查作位似图形，理解位似中心，位似比，掌握位似比的概念，作位似图形的方法是解题的关键．
（1）根据位似图形的定义，位似比的计算方法作图即可求解；
（2）根据位似比，位似图形所在象限确定点坐标即可．
【详解】（1）解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下，
∵，，
∴，
∴即为所求图形；
（2）解：由（1）可知，与的位似比为，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
(1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，；
(3)求（2）中的面积．
【答案】(1)，图见解析；
(2)图见解析；
(3)30.
【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形．掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似图形的性质，画出即可；
（3）用割补法求出面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形，
点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求作三角形，
（3）由题图，知，
与的位似比为，
面积比为．
．
17．如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为．
(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M、N的对应点P、Q的坐标；
(3)求的面积；
(4)如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
【答案】(1)图见详解
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查位似及割补法，熟练掌握位似图形是解题的关键；
（1）根据位似比可得出点M、N的对应点P、Q，然后作图即可；
（2）由图（1）可直接进行求解；
（3）根据图（1）及割补法可进行求解；
（4）根据位似的性质可进行求解．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图可得：
；
（4）解：根据位似可知：
如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标为______；
(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查位似图形及位似变换
（1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标；
（2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可；
（3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可．
解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．
【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点，
∵与是关于点为位似中心的位似图形，
则点为所作，点坐标为；
故答案为：；
（2）如图，，，
把、点的横纵坐标都乘以得：、，
连接、，，
则即为所作；
（3）∵的内部一点M的坐标为，
由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴点在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
19．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，
【分析】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
（2）如下图过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
【点睛】本题考查相似比，勾股定理 ，三角形的相似，一元二次方程应用于实际问题的方法，解题的关键是根据已知条件表示出有关线段的长．
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.3 位似
学习目标
1 了解位似图形及其相关概念，会识别位似图形，确定位似中心.
2 理解位似图形的性质，能利用位似作图的方法将一个图形放大或缩小.
3 .会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
老师告诉你
1.位似是一种具有特殊位置关系的相似，它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质，构成位似的两个图形的每组对应点与位似中心共线，对应边互相平行或在同一条直线上。
2.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心距离的比等于相似比，利用位似，可以将一个图形放大或缩小，符合要求的图形不唯一。
一、知识点拨
知识点1 、位似图形
两个图形不仅相似，而且对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。
（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（2）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
【新知导学】
例1-1．下列图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【对应导练】
1．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
2．两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
知识点2 、位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【新知导学】
例2-1．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如图，菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．若，则菱形的周长为（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【对应导练】
1．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则 ．
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ．
知识点3、四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
【新知导学】
例3-1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
例3-2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度
(1)将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出的图形；
(2)以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
(2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
2．画一面．
(1)根据给定的对称轴画出图形的另一半．
(2)画出图①按4∶1放大后的图形．
(3)通出将图②绕A点按逆时针方向旋转，再向下平移4格后的图形．
二、题型训练
1.利用位似性质求周长、面积
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
2．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
2.利用位似性质求坐标
3．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为．
(1)在图中画出；
(2)与的周长比为_______；
(3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______．
4．如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；
(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为．
(3)设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______．
3.利用位似性质作图
5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使得；
(2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为．
6．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求与的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
3．如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
10．如图，点，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点（在第四象限）的坐标是 ．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
12．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 ．
13．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；
(2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
15．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，
(1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；
(2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
(1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，；
(3)求（2）中的面积．
17．如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为．
(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M、N的对应点P、Q的坐标；
(3)求的面积；
(4)如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标为______；
(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______．
19．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
27.3 位似
学习目标
1 了解位似图形及其相关概念，会识别位似图形，确定位似中心.
2 理解位似图形的性质，能利用位似作图的方法将一个图形放大或缩小.
3 .会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
老师告诉你
1.位似是一种具有特殊位置关系的相似，它具有相似图形的一切性质，又具有特殊的性质，构成位似的两个图形的每组对应点与位似中心共线，对应边互相平行或在同一条直线上。
2.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心距离的比等于相似比，利用位似，可以将一个图形放大或缩小，符合要求的图形不唯一。
一、知识点拨
知识点1 、位似图形
两个图形不仅相似，而且对应点连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。
（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（2）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
【新知导学】
例1-1．下列图形中不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、是位似图形，故本选项不符合题意；
、不是位似图形，故本选项符合题意；
故选：．
例1-2．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键．
根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可．
【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的，
所以这两张图片之间的关系是位似，
故选：D．
【对应导练】
1．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得是位似图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
2．两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（ ）
A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似
【答案】B
【分析】根据位似图形和相似图形的概念解答即可．
【详解】解：∵两个正方形对应顶点的连线所在的直线不相交于一点，
∴这两个正方形不是位似图形，
∵正方形的角都相等，边长都成相同的比例，
∴这两个正方形是相似图形，
综上，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形和相似图形，对应顶点的连线所在的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；所有正方形都是相似图形，因为，角都相等，边长都成相同的比例．
知识点2 、位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
【新知导学】
例2-1．如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，且相似比等于位似比，以及相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，且相似比为：，
∴与的周长比为；
故选A．
例2-2．如图，菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．若，则菱形的周长为（ ）
A．9 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形的概念、菱形的性质、根据相似多边形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵菱形与菱形为位似图形，位似中心为点，相似比为：．，
∴
∴
∴菱形的周长为
故选：D．
【对应导练】
1．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质求解，即可解题．
【详解】解： 与位似，点为位似中心，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．如图，与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，与的面积之比为4：1，
∴，，
∴与的面积之比为，
∴
故答案为：．
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积= ．
【答案】18
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于2，
∴的面积为18．
故答案为：18．
知识点3、四种变换的异同
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的
【新知导学】
例3-1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图 位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
（1）先作出平移后点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）以点B为位似中心，将放大为原来的2倍，得到即可．
【详解】（1）解：为所求三角形；
（2）解：根据题意画出图形，为所求三角形．
例3-2．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度
(1)将先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到，画出的图形；
(2)以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，或
【分析】本题考查了作图—平移变换、位似变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平移的性质作出图形即可；
（2）根据位似图形的作图画出图形即可，结合图形即可得出坐标．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
，或．
【对应导练】
1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
(2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查位似图形的作图及轴对称图形的作法，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据位似图形的作法作出图形即可；
（2）根据轴对称图形的作法作出相应图形即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）即为所求．
2．画一面．
(1)根据给定的对称轴画出图形的另一半．
(2)画出图①按4∶1放大后的图形．
(3)通出将图②绕A点按逆时针方向旋转，再向下平移4格后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可画出另一半图形1使它成为轴对称图形．
（2）根据图形放大与缩小的方法，先数出图形①的长和宽，就是把原长方形的长和宽都乘以4，即可画出按4：1的比放大后的图形2．
（3）根据图形旋转的方法，先把图②绕A点逆时针旋转90°后，向下平移4格后得到图形3即可．
【详解】（1）解：如图所示：图1即是所求图形；
（2）解：如图所示：图2即是所求图形；
（3）解：如图所示：图3即是所求图形；
【点睛】此题考查了图形的平移、旋转、放大与缩小的方法以及利用轴对称图形的定义画轴对称图形的另一半，解题关键是熟练掌握画图方法，准确画图．
二、题型训练
1.利用位似性质求周长、面积
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
【答案】(1)件解析
(2)1
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质．
（1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得；
（2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：根据图象可得，
∵与的相似比为，
∴与的面积比为，
∴面积．
故答案为：1．
2．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形：
（1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案．
【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，，，
∴，，
，
∴的周长为，
∵与的相似比为，
∴与的周长比为，
∴的周长为．
2.利用位似性质求坐标
3．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，，与位似，O点为位似中心，点B的对应点为．
(1)在图中画出；
(2)与的周长比为_______；
(3)点是边上一个点，其对应点的坐标为_______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，在坐标系中画位似图形，求位似图形的对应坐标等知识点，熟练掌握位似图形的作图方法及位似图形的性质是解题的关键．
（1）按照画位似图形的方法在图中画出即可；
（2）根据位似中心，点及其对应点的坐标即可求出与的相似比；
（3）由于点为位似中心，点是边上一个点，根据位似变换的坐标特征及相似比即可求出的对应点的坐标．
【详解】（1）解：在图中画出如下：
（2）解：点的坐标为，O点为位似中心，点B 的对应点为，
与的相似比为：，
∴与的周长比为；
故答案为：；
（3）解：点为位似中心，点是边上一个点，
的对应点的坐标为，即，
故答案为：．
4．如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；
(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为．
(3)设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______．
【答案】(1)图见解析；；
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了位似的作图、坐标与图形等知识．
（1）根据位似的作图找到点P的位置并写出点P的坐标即可；
（2）根据位似作图找到的位置，顺次连接即可；
（3）根据位似图形的性质写出答案即可．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，点P的坐标为；
（2）如图，即为所求，
（3）点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是，
故答案为：
3.利用位似性质作图
5．如图，正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)请用无刻度直尺，在图1线段上找一点P，使得；
(2)在图2中，以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）如图所示，取格点，连接交于P，点P即为所求；
（2）把的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，描出，再顺次连接即可．
【详解】（1）解；如图所示，取格点，连接交于P，点P即为所求；
易得，则，
（2）如图所示，即为所求．
6．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求与的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于．
【答案】(1)作图见解答过程
(2)
(3)作图见解答过程
【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心；
（2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为；
（3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：与的位似比等于；
（3）解：如图所示，即为所求．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心．
故选：A．
2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：OD=18，
故选：B．
3．如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的性质推知：，且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答．
【详解】解：，
．
与位似，点为位似中心，
，且．
．
，
．
故选：C．
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、及相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是正确解决本题的关键．
由题意可知两个多边形的相似比为，可知两个图形的面积比为即可求出．
【详解】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
5．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查关于原点位似的坐标特征，根据这个特征求解即可．
【详解】解：两个“”的相似比为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选B．
6．如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，利用位似图形及相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形与四边形位似，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与四边形的面积比为，
故选：．
7．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解
【详解】解：连接，，，并延长如图所示，
，
∴的位似图形是，
故选：C．
8．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了图形位似，坐标与图形．熟练掌握位似图形的面积比等于相似比平方，坐标与图形的性质，是解决问题的关键．
由与是位似比为的位似图形，得到面积比等于位似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴，且相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴相似比为，
故答案为：．
10．如图，点，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点（在第四象限）的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可得到结果．
【详解】解：将放大倍，点，点的对应点在第四象限，
点的坐标是，即，
故答案为：．
11．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解．
【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心，
和的位似比，
和的面积的比是，
又的面积是3，
的面积是12．
故答案为：12．
12．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 ．
【答案】
【分析】作轴，由，结合点D是OB的中点，得到相似比为，，结合，，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点作轴，交轴于点，
∴，
∵点D是OB的中点，
∴，相似比为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
13．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据题意知，，设，则，根据，可求出点D、E、F的坐标，根据待定系数法求出设直线、的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解∶∵、，
∴，，
①当点P在第三象限时，
∵将放大为原来的两倍后得到对应的，
∴，，
∵点D、F恰好在双曲线上，
设，则，
∴，
解得，或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴；
②当点P在第一象限时， P与①中的E重合时，与关于点E位似，位似比为2，
∴，
综上，P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质等知识，求出D、E、F的坐标是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心；
(2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点位似，且与的位似比为；
②与位于点的同侧．
【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)见解析
【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求．
（2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：由图可得，，
，
与的位似比为，
与的面积比为，
，
故答案为：；；；
（3）解：如图，即为所求．
15．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，
(1)以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；
(2)的上的一点M的坐标为，直接写出点M在上的对应点的坐标为_______．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】本题主要考查作位似图形，理解位似中心，位似比，掌握位似比的概念，作位似图形的方法是解题的关键．
（1）根据位似图形的定义，位似比的计算方法作图即可求解；
（2）根据位似比，位似图形所在象限确定点坐标即可．
【详解】（1）解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下，
∵，，
∴，
∴即为所求图形；
（2）解：由（1）可知，与的位似比为，在第四象限，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题：
(1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，；
(3)求（2）中的面积．
【答案】(1)，图见解析；
(2)图见解析；
(3)30.
【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形．掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似图形的性质，画出即可；
（3）用割补法求出面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形，
点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求作三角形，
（3）由题图，知，
与的位似比为，
面积比为．
．
17．如图，已知是坐标原点，M，N的坐标分别为．
(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为；
(2)分别写出M、N的对应点P、Q的坐标；
(3)求的面积；
(4)如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
【答案】(1)图见详解
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查位似及割补法，熟练掌握位似图形是解题的关键；
（1）根据位似比可得出点M、N的对应点P、Q，然后作图即可；
（2）由图（1）可直接进行求解；
（3）根据图（1）及割补法可进行求解；
（4）根据位似的性质可进行求解．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图可得：
；
（4）解：根据位似可知：
如果内部一点A的坐标为，直接写出点A在内的对应点的坐标．
18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标为______；
(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查位似图形及位似变换
（1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标；
（2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可；
（3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可．
解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．
【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点，
∵与是关于点为位似中心的位似图形，
则点为所作，点坐标为；
故答案为：；
（2）如图，，，
把、点的横纵坐标都乘以得：、，
连接、，，
则即为所作；
（3）∵的内部一点M的坐标为，
由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴点在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
19．如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
(1)当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
(2)如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，
【分析】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
（2）如下图过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
【点睛】本题考查相似比，勾股定理 ，三角形的相似，一元二次方程应用于实际问题的方法，解题的关键是根据已知条件表示出有关线段的长．
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