人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似专题 相似三角形中比例式等积式证明的七种技巧

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
专题 相似三角形中比例式等积式证明的七种技巧
解题策略
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换.
技巧1：构造平行线法
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则通常需构造平行线，由平行线截得的线段成比例得到成比例线段。
【例1-1】如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（ ）
A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长
C．△BPR的周长 D．△APQ的周长
【例1-2】如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（ ）
A． B． C． D．
针对训练1
1．如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
3．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
4．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：．
技巧2 三点定型法
“三点定型法” 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法. 具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”，若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，只要这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
【例2-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F，求证：CD2＝DE DF．
【例2-2】．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
针对训练2
1．如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
2．(1) 已知抛物线的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
(2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C．
求证：

3．如图所示，在矩形中，是上一点，于点．
求证：．
若，，求的长．
4．如图，在中，.
(1)和相似吗？
(2)小明说：“”，你同意吗？
技巧3 构造相似三角形法
所要证明的比例线段不在相似三角形中，需要通过添加常用辅助线，构造三角形相似解决问题．可以构造角相等等方法构造相似三角形。
【例3-1】如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【例3-2】如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
针对训练3
1．如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是 ．
2．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
(1)若，求证：；
(2)如图②，若，，求的值．
3．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，求证：．
技巧4 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等线段、倍数或倍分线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形。
【例4-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：AC BE＝CE AD．
【例4-2】如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
针对训练4
1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H．
（1）求证：BD2＝DH DA；
（2）过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE HF．
2 .在中，，是高，平分，分别与相交于点
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求的长．
技巧5 等比代换法
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡。
【例5-1】如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，
求证：CE2＝PE DE．
【例5-2】.如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC＝DF：AF．
针对训练5
1 .如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；
(2)求证：；
(3)求证：．
2 ..已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：．
技巧6 等积代换法
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡
【例6-1】已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2＝ED EP．
【例6-2】．如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：．
针对训练6
1．材料1：过对互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
材料2：既有外接圆，又有内切圆的四边形叫做双心四边形．请根据材料解决以下问题：
(1)判断下列说法是否正确
①菱形一定是双心四边形（ ）
②矩形不一定是双心四边形（ ）
③正方形一定是双心四边形（ ）
(2)如图，任意画一个圆，设圆心为O，然后在圆中任意作两条互相垂直相交的弦EF和GH，再过这些弦的端点作圆O的切线，所得切线围成一个四边形ABCD，
①求证：四边形ABCD是双心四边形．
②求证：AE·CF=DG·BH．
2．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF BF．
3 .如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.
4 .如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：
技巧7 等线段代换法
【例7-1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP ＝PE·PF.
【例7-2】如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE BA．求证：ED AB＝AD BD．
针对训练7
1 .如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
2．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．
3．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
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第27章 相似
专题 相似三角形中比例式等积式证明的七种技巧
解题策略
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换.
技巧1：构造平行线法
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则通常需构造平行线，由平行线截得的线段成比例得到成比例线段。
【例1-1】如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（ ）
A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长
C．△BPR的周长 D．△APQ的周长
【答案】C
【分析】取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，根据等边三角形的性质与判定可知是等边三角形，进而证明是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，根据三角形中位线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，计算的周长为，即可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
，
则，
即，
是的中点，则，
中，是斜边上的中线，
，
，，
，即为的中点，
，
，
，
又，
，
三点共线，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
△BPR的周长等于，等边三角形的周长等于．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键．
【例1-2】如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作，交于H，，先根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，进一步即可得到答案．
【分析】解：如图，过点D作，交于H，
∵是边上中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
针对训练1
1．如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，过点M作交于点N，根据中位线求出，根据平行线得到， 从而得到，再求出即可得到答案；
【详解】解：过点M作交于点N，
∵，点M是的中点，
∴，
∴点N是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点K，
∴，．
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根据∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根据AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EF∥AD，得到，
CF=13．
【详解】（1）证明：证明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【点睛】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系．
4．已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证．
【详解】证明：过点分别作，，
得到四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
技巧2 三点定型法
“三点定型法” 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法. 具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”，若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，只要这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
【例2-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F，求证：CD2＝DE DF．
【点睛】由条件可得CD＝DA，则有∠A＝∠ECD＝∠F，可证明△CDE∽△FDC，可得，可得结论．
【详解】证明：∵DF垂直平分AB，且∠ACB＝90°，
∴CD＝DA，
∴∠A＝∠DCA，
且∠A+∠B＝∠F+∠B，
∴∠A＝∠F，
∴∠DCA＝∠F，且∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC，
∴，
∴CD2＝DE DF．
【例2-2】．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明；
（2）由得到，得到，进而得到，即可得到．
【详解】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
针对训练2
1．如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
【答案】见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
2．(1) 已知抛物线的图象经过点（-2，-1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
(2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C．
求证：

【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知条件∠ADE=∠C可证∠BDE=∠CAD，根据相似三角形的判定定理即可证△BDE∽△CAD，由相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，，解得
∴抛物线的解析式为
（2）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADB=∠C+∠DAC ∠ADE=∠C．
∠ADB=∠ADE+∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴△BDE∽△CAD
∴
∴.
故答案为（1）；（2）详见解析.
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识．
3．如图所示，在矩形中，是上一点，于点．
求证：．
若，，求的长．
【答案】(1)详见解析;(2)3.
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长．
【详解】证明：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴，
即；
∵；
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质.
4．如图，在中，.
(1)和相似吗？
(2)小明说：“”，你同意吗？
【答案】(1)和相似，理由见解析
(2)同意，理由见解析
【分析】（1）先由等边对等角得出，再根据三角形外角的性质及已知条件证明出，又是公共角，从而证明出和相似；
（2）由可得，再化为乘积的形式即可得出．
【详解】（1）解：和相似．理由如下：
∵，
∴，
又∵．
∴．
∵在和中，
，
∴．
（2）解：我同意小明的说法．理由如下：
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
技巧3 构造相似三角形法
所要证明的比例线段不在相似三角形中，需要通过添加常用辅助线，构造三角形相似解决问题．可以构造角相等等方法构造相似三角形。
【例3-1】如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
证明：如图，连接PM，PN.
∵MN 是AP的垂直平分线，
∴MA=MP，NA=NP.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°.
∴∠2+∠4=60°.∴∠5+∠6=120°.
又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°,
∴∠5=∠7.∴.△BPM∽ΔCNP
∴，即BPBMCN.
【例3-2】如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明；
（2）根据直线PA与相切于点A，得到，根据余角的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）连接OB，
，
，
AC为的直径，
，
，
，
，
PD是的切线；
（2）直线PA与相切于点A，
，
∵PD是的切线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
针对训练3
1．如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，正面，得出，求出，根据勾股定理得出即可．
【详解】解：过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，如图所示：
则，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
(1)若，求证：；
(2)如图②，若，，求的值．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证；
（2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果．
【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
,，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，
，,
，
解得（舍去），，
，
又，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键．
3．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论和已知证明即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图所示，延长和相交于点F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
技巧4 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等线段、倍数或倍分线段去替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相似三角形。
【例4-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：AC BE＝CE AD．
【点睛】由四边形ABCD是平行四边形，∠ECA＝∠D，易证得∠ECA＝∠B，又由∠E是公共角，证得△EAC∽△ECB，然后由相似三角形的对应边成比例，可得AC：BC＝CE：BE，继而可得AC BE＝CE AD．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，
∴∠D＝∠DAE＝∠B，
∵∠ECA＝∠D，
∴∠ECA＝∠B，
∵∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴AC：BC＝CE：BE，
∴AC BE＝CE BC，
∴AC BE＝CE AD．
【例4-2】如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
（1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
（2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用算得的长度；
②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
．
，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去负值）
②解：
，
针对训练4
1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H．
（1）求证：BD2＝DH DA；
（2）过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE HF．
【点睛】（1）利用等腰三角形的三线合一性质及对顶角、互余等关系，得出角等，从而证得△BAD∽△DBH，利用相似三角形的性质写出相似比，进而写成乘积形式即可；
（2）连接HC，由AD垂直平分BC得HC＝HB，利用互余关系及平行线的性质得∠HCF＝90°，进而推得△FHC∽△CHE，利用相似三角形的性质写出相似比，再将HC替换成HB，再写成乘积形式即可．
【详解】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
∴∠ADB＝90°
∵BE⊥AC于点E
∴∠HEA＝90°
又∵∠AHE＝∠BHD
∴∠CAD＝∠DBH
∴∠BAD＝∠DBH
∴△BAD∽△DBH
∴
∴BD2＝DH DA；
（2）证明：连接HC，如图，
∵AD⊥BC，AD是边BC上的中线
∴AD垂直平分BC
∴HB＝HC
∴∠HBC＝∠HCB
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠BEC＝90°
∴∠HBC+∠ACB＝90°
∴∠HCB+∠ABC＝90°
∵CF∥AB
∴∠ABC+∠∠HCB+∠HCF＝180°
∴∠HCF＝90°
∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE
∴△FHC∽△CHE
∴
∴
∴HB2＝HE HF．
2 .在中，，是高，平分，分别与相交于点
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，
（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．
【详解】（1）证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图，作于
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
技巧5 等比代换法
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡。
【例5-1】如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，
求证：CE2＝PE DE．
【点睛】首先证Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE2＝AE BE（即射影定理）；再通过证△AEP∽△BED，得出PE DE＝AE BE，联立上述两式即可得出本题要证的结论．
【详解】证明：
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；
∴；
∴CE2＝AE BE；
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠P＝∠3
∴△AEP∽△DEB
∴
∴PE DE＝AE BE
∴CE2＝PE DE．
【例5-2】.如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC＝DF：AF．
【点睛】（1）由已知条件得到∠BAC＝∠ADB＝90°，根据余角的性质得到∠BAD＝∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD＝∠BDF，即可得到结论；
（2）根据已知条件推出△ABD∽△CAD；于是得到，由于△DFB∽△AFD；于是得到，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠BDF，
∴∠BAD＝∠BDF，
∵∠F＝∠F，
∴△DFB∽△AFD；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴，
∵△DFB∽△AFD；
∴，
∴AB：AC＝DF：AF．
针对训练5
1 .如图，、是两个等腰直角三角形，．

(1)当时，求；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解；
（2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明；
（3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
（2）在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过H点作于点K，如图，

∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．
2 ..已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：．
【解答】证明：（1），
．
又，
．
．
，
．
．
（2），，
．
．
又，
．
．
．
技巧6 等积代换法
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡
【例6-1】已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2＝ED EP．
【点睛】通过相似三角形△ACE∽△CBE的对应边成比例知即CE2＝AE BE；由相似三角形△AEP∽△DEB的对应边成比例知，即AE BE＝ED EP；最后根据等量代换即可证得结论．
【详解】证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴，即CE2＝AE BE．
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE＝90°，∠DBE+∠PAE＝90°，
∴∠P＝∠DBE，
又∵∠AEP＝∠DEB＝90°，
∴△AEP∽△DEB；
∴，即AE BE＝ED EP，
又∵CE2＝AE BE，
∴CE2＝ED EP．
【例6-2】．如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先证明，得出；再通过证明，得出，两式联立即可得出．
【详解】证明：，，
．
，．
．
．
．即．
又，
．
又，
．
．
．
．即．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质证明是解题的关键．
针对训练6
1．材料1：过对互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
材料2：既有外接圆，又有内切圆的四边形叫做双心四边形．请根据材料解决以下问题：
(1)判断下列说法是否正确
①菱形一定是双心四边形（ ）
②矩形不一定是双心四边形（ ）
③正方形一定是双心四边形（ ）
(2)如图，任意画一个圆，设圆心为O，然后在圆中任意作两条互相垂直相交的弦EF和GH，再过这些弦的端点作圆O的切线，所得切线围成一个四边形ABCD，
①求证：四边形ABCD是双心四边形．
②求证：AE·CF=DG·BH．
【答案】(1)①×；②×；③√
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）若有外接圆则对角互补；若有内切圆则中心有一点到四边的距离相等；
（2）①连接EH，OE，OG，OF，OH，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，EF⊥HG，证明四边形的对角互补即可；②连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OH，OG，根据切线长定理和①问结论，证明，，再由对应边比例关系得出结论；
【详解】（1）解：①菱形若有外接圆，则对角互补；因为菱形对角相等此时就是正方形；故菱形不是双心四边形；②矩形若有内切圆， 则中心到四条边的距离相等，此时就是正方形；故矩形不是双心四边形；③正方形既有外接圆又有内接圆且圆心重合，所以正方形一定是双心四边形；
故：①×，②×，③√；
（2）解：①证：如图所示，连接EH，OE，OG，OF，OH，在Rt△EHK中，，
∴．
又∵AB，BC是切线，
∴．
∵，．
∴．
由材料1可知，过A，B，C，D四个顶点可以作一个圆．
所以，四边形ABCD既有外接圆，又有内切圆，所以四边形ABCD是双心四边形．
②证：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OH，OG，
则OE⊥AD，OF⊥BC，OH⊥AB，OG⊥DC，
∴，，
由①知，，，
∴，，
∵E，F，G，H是切点，
易证，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】此题考查菱形、矩形、正方形的性质，外接圆和内切圆的性质，圆周角定理，切线长定理和三角形的相似；由圆周角找出角的互补关系，由相似三角形的性质找出边的比例关系是解题的关键．
2．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF BF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性质得出∠ODC＝15°，进而求出∠BDC＝30°，进而求出∠BCD＝45°，即可得出结论；
（3）先判断出，得出DF2＝BF EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出结论．
【详解】证明：（1）如图，连接OD，OC，
在Rt中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上；
（2）连接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
在Rt中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠BOC＝60°，
在Rt中，∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∵点O是AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，
∴∠COD＝150°，
∴∠OCD＝∠ODC＝15°，
∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，
∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴，
∴，
∴DF2＝BF EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF EF，
即BO2+OF2＝EF BF．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
3 .如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.
证明：∵AD，BF分别是BC，AC边上的高，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BED＝∠DEA＝90°.
∴∠ADE＋∠BDE＝90°，
∠ADE＋∠EAD＝90°.
∴∠BDE＝∠EAD.
∴△AED∽△DEB.
∴DE2＝AE·BE.
又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，
∴∠EBG＝∠H.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，
∴△BEG∽△HEA.
∴＝，
即EG·EH＝AE·BE.
∴DE2＝EG·EH.
4 .如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：
证明：∵AD⊥BC，DELAB,
∴∠ADB=∠AED=90°.
又∵∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
∴,
即 AD = AE·AB.
同理可得AD = AF·AC.
.·.AE·AB=AF·AC.
∴
技巧7 等线段代换法
【例7-1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP ＝PE·PF.
证明：连接PC，如图所示.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB.
∴BP=CP∴∠1=∠2.
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,
即∠3=∠4.
∵CF//AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.
又∵∠CPF=∠CPE,
∴△CPF∽△EPC.
∴，即 CP =PF·PE.
∵BP=CP，∴BP =PE·PF.
【例7-2】如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE BA．求证：ED AB＝AD BD．
【点睛】由AD是中线，得到BD＝CD，由于CD2＝BE BA，于是得到BD2＝BE BA，推出△BDE∽△ABD，得到，即可得到结论．
【解析】证明：∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵CD2＝BE BA，∴BD2＝BE BA，∴，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△ABD，∴，∴ED AB＝AD BD．
针对训练7
1 .如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
证明：如图，连接PA，
∵EP是AD的垂直平分线，
∴PA＝PD.
∴∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，
∴△PAC∽△PBA.∴＝.
即PA2＝PB·PC.
∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.
2．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．
【答案】见解析
【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证．
【详解】如图，过点E作 交BC于点M，
∵，
∴ ，，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∵
∴ ，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．
3．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【答案】见解析
【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．
【详解】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
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