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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元专题测试卷
一、选择题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9，则各个因式的值是：x-y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3-xy2，取x=30，y=20，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．301050 B．305010 C．103020 D．501030
4．已知 ， 则 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
5．若多项式乘法的结果中不含项，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m；⑤4a4﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
9．是一个完全平方式，a的值是（ ）
A．6 B． C． D．9
10．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
11．因式分解： ．
12．计算：（2a2）3·a4＝ .
13． ，则a的取值
14．若 是关于x的完全平方式，则常数 ．
15．已知 展开后不含 与 的项，则qp ＝ .
16．现有A、B、C三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为 ，宽为 的长方形地面，则需要B种地砖 块．
三、综合题
17．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3.
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值.
18．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含a．b的式子表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
19．已知计算 时得到的关于x的二次三项式中的一次项系数是-19．
（1）求m的值；
（2）根据（1）所求得的m的值，计算： ．
20．计算：
（1）分解因式
①
②
（2）解不等式及不等式组并把它们的解集在数轴上表示出来．
①
②
21．若a+b＝5，ab＝3，求：
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
22．小华同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张.
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）.根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 .
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为a的大长方形，则需要3号卡片 张.
（3）试选用这些卡片（每种卡片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个大长方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的大长方形的面积为2a2+3ab+b2，并标出此大长方形的长和宽.
（4）结合（3）中所画图形，直接写出结果.因式分解：2a2+3ab+b2= .
23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是某年10月份的日历，请你仔细观察日历表，探究以下日历的有关问题.
（1）若用阴影部分在表中随意框住4个数字，则所框出的四个数的和的最大值是 ；
（2）用阴影部分框出日历中的4个数字，已知四个数的和为88，求这四个数；
（3）试求每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘的积的差，你发现有什么规律.
24．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=
；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=．可知当时，有最小值，最小值是．
（1）分解因式：= ．
（2）若，求的值．
（3）已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由．
（4）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元专题测试卷
一、选择题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： =-8a3.
故答案为：D.
【分析】积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此解答即可.
2．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不是因式分解，不符合题意；
D、无法因式分解，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】因式分解是指将几个多项式转化为两个或以上的因式的积的形式.
3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9，则各个因式的值是：x-y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3-xy2，取x=30，y=20，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．301050 B．305010 C．103020 D．501030
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴当x=30，y=20时，x+y=50，x-y=10，
∴组成的密码由组合，故A、B、D选项符合题意，只有C选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对多项式利用提公因式法、平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可.
4．已知 ， 则 等于（ ）
A．3 B．5 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】根据可知，
同时除以a，可得，即
两边平方可得：，
则，
故答案为：B
【分析】根据可知，可得到，即，两边平方即可求解。
5．若多项式乘法的结果中不含项，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】【解答】
=2x2-kxy-x+4xy-2ky2-2y
=2x2+（4-k）xy-x-2ky2-2y
结果中不含项
故选：A
【分析】根据多项式乘法法则求得结果的多项式，不含xy项说明结果中该项的系数为0，据此列出等式即可求出k值。
6．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m；⑤4a4﹣a2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①x2-4x+8， 故不能用完全平方公式分解；
②-x2-2x-1=-（x+1）2，故能用完全平方公式分解；
③4m2+4m-1，不能；
④，故能用完全平方公式分解；
⑤4a4-a2+
1
a
，不能；
则不能用完全平方公式分解的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，根据完全平方公式的结构特征判断.
7．如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：左图，涂色部分的面积为，拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的几何背景求解。先用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积，利用面积相等得出结论．
8．计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则，进行计算求解即可．
9．是一个完全平方式，a的值是（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】C
【解析】【解答】 是一个完全平方式，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式的的定义进行求解即可.
10．计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）下列步骤出现错误的是（ ）
①（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
②[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]
③（a﹣c）2﹣b2
④a2﹣2ac﹣c2﹣b2
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】（a﹣c）2﹣=a2-2ab+c2，
由③（a﹣c）2﹣b2 到④a2﹣2ac﹣c2﹣b2时错误，
故答案为D.
【分析】进行逐一检查步骤的值完全平方公式计算位置出错，从而求解.
二、填空题
11．因式分解： ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】 利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
12．计算：（2a2）3·a4＝ .
【答案】8a10
【解析】【解答】解：（2a2）3·a4=
.
故答案是：8a10.
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可.
13． ，则a的取值
【答案】7
【解析】【解答】解：将原式左端进行展开，
∴3n=12
∴n=4
∴a=3+4=7
故答案为7．
【分析】将多项式乘多项式展开，x的系数即为a的值。
14．若 是关于x的完全平方式，则常数 ．
【答案】±12
【解析】【解答】解：∵ 是一个关于x的完全平方式，
∴k=±2×1×6=±12，
∴k=±12．
故答案为：±12．
【分析】根据(a b)2=a2 2ab+b2，完全平方公式展开即是首平方a2，尾平方b2，加上或减去2ab，可得k=±2×1×6=±12.
15．已知 展开后不含 与 的项，则qp ＝ .
【答案】1
【解析】【解答】解：
=
=
∵不含 与 的项
∴ ，
解得 ，
∴
故答案为：1.
【分析】根据多项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项，由题意得出 与 的项的系数等于0，据此构建方程求解，最后代值计算即可.
16．现有A、B、C三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为 ，宽为 的长方形地面，则需要B种地砖 块．
【答案】5
【解析】【解答】解：根据题意可得长方形地面的面积为 ，
则需要B种地砖5块，
故答案为：5．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求出，因为A的面积为，B的面积为ab，C的面积为，即可得到需要5块B种地砖。
三、综合题
17．已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3.
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值.
【答案】（1）解：因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11.
（2）解：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42.
【解析】【分析】（1）利用多项式与多项式的乘法法则可得(m-2)(n-2)＝mn-2(m+n)+4，然后将已知条件代入进行计算；
（2）由完全平方公式可得m2+n2＝(m+n)2-2mn，然后将已知条件代入进行计算.
18．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含a．b的式子表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【答案】（1）a2﹣b2；（a＋b）（a﹣b）
（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202＋1
＝1．
【解析】【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ＝a2﹣b2，S ＝（a＋b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案为：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【分析】（1）根据图形求面积即可；
（2）根据面积相等进行作答即可；
（3）利用平方差公式进行计算求解即可。
19．已知计算 时得到的关于x的二次三项式中的一次项系数是-19．
（1）求m的值；
（2）根据（1）所求得的m的值，计算： ．
【答案】（1）解：
∵二次三项式中的一次项系数是
∴
解得
（2）解：将 代入得
根据完全平方公式可得：
【解析】【分析】（1）先求出 ，再计算求解即可；
（2）将m的值代入计算求解即可。
20．计算：
（1）分解因式
①
②
（2）解不等式及不等式组并把它们的解集在数轴上表示出来．
①
②
【答案】（1）解：①原式=
=
= ；
②原式= ；
（2）解：① ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
解得：x≤-1，
② ，
由①得：x＞1，
由②得：x＞5，
∴不等式组的解为：x＞5．
【解析】【分析】（1） ① 根据提取公因式法即可求解； ② 根据十字相乘法分解因式即可求解；
(2) ① 通过去括号，移项、合并同类项，未知数系数化为一，即可求解； ② 分别求出两个不等式的解，在取公共部分，即可。
21．若a+b＝5，ab＝3，求：
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
【答案】（1）解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19
（2）解：∵a2+b2＝19，ab＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝13，
∴（a﹣b）2＝13，
∴a﹣b＝± ．
【解析】【分析】（1）将a+b＝5左右两边同时平方，再计算求出a2+b2即可；（2）利用完全平方公式的计算求解即可。
22．小华同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张.
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）.根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 .
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为a的大长方形，则需要3号卡片 张.
（3）试选用这些卡片（每种卡片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个大长方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的大长方形的面积为2a2+3ab+b2，并标出此大长方形的长和宽.
（4）结合（3）中所画图形，直接写出结果.因式分解：2a2+3ab+b2= .
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）2
（3）解：如图
由图③可知矩形面积为（2a+b）·（a+b）=2a2+3ab+b2，
（4）（2a+b）·（a+b）
【解析】【解答】解：（1）整体看这个图形的面积为：（a+b）2；
从局部看这个图形的面积为a2+2ab+b2，
根据两种算法得出的面积一样得（a+b）2=a2+2ab+b2，
所以这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）因为a（a+2b）=a2+2ab
所以要拼成一个长为（a+2b），宽为a的大长方形，则需要3号卡片2张；
故答案为：2；
（4）由图③可得，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.
故答案为：（2a+b）·（a+b）.
【分析】（1）利用两种方法算出图②的面积即可得出乘法公式；
（2）根据单项式乘以多项式的法则，算出拼出的图形的面积即可得出答案；
（3）根据大长方形的面积为2a2+3ab+b2，得出需要2张1号卡片，1张2号卡片，3张3号卡片，画出图形即可；
（4）根据图（3）得出长方形的长为（2a+b），宽为（a+b），即可写出因式分解的结果.
23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是某年10月份的日历，请你仔细观察日历表，探究以下日历的有关问题.
（1）若用阴影部分在表中随意框住4个数字，则所框出的四个数的和的最大值是 ；
（2）用阴影部分框出日历中的4个数字，已知四个数的和为88，求这四个数；
（3）试求每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘的积的差，你发现有什么规律.
【答案】（1）108
（2）解：设最小的数是x，由题意得
x+x+1+x+7+x+8=88，
解得x=18，
∴x+1=19，
x+7=25，
x+8=26，
∴设四个数为18，19，25，26；
（3）解：设最小的数是x，则其他三个数分别为x+1，x+7，x+8，
由题意得（x+1）（x+7）-x（x+8）=7
∴这四个数中最大数乘以最小数的积减去另两个数的乘积，差为7.
【解析】【解答】解：（1）由阴影部分框出的四个数可知：这4个数字的关系是对角线上的数字之和相等，
∴所框出的四个数的和的最大值是 =108，
故答案为：108；
【分析】（1）由阴影部分框出的四个数可知：这4个数字的关系是对角线上的数字之和相等，观察表中数据，可求出所框出的四个数的和的最大值；
（2）设最小的数是x，分别用含x的代数式表示出其它三个数，再根据四个数的和为88，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出这四个数；
（3）设最小的数是x，分别用含x的代数式表示出其它三个数，根据整式的混合运算法则求出这四个数中最大数乘以最小数的积减去另两个数的乘积 即可得出结论.
24．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=
；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=．可知当时，有最小值，最小值是．
（1）分解因式：= ．
（2）若，求的值．
（3）已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由．
（4）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）（a-3）（a+1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
则，
解得，
∴
（3）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
（4）解：
，
当，，即，时，
原式取最小值5．
∴当，时，
多项式有最小值5．
【解析】【解答】（1）解：
=
=
=
=．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后代入计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
（4）先化简整式，再求出 ，，最后代入计算求解即可。
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