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第十五章 分式 单元综合全优测评卷
一、选择题
1．在 中分式的个数有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
3．若分式 的值为0，则x为（ ）
A．-2 B．-2或3 C．3 D．-3
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．（a2）3=a6 C．a2.a3 = a6 D．
5．若方程 无解，则 的值为（ ）
A．-1 B．-1或 C．3 D．-1或3
6．下列等式从左到右的变形，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时
8．如果把分式 的 和 都扩大为原来的 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的 倍
9．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．计算： .
12．方程的解是 ．
13．关于x的方程 +1= 有增根，则m的值为 ．
14．计算： .
15．把分式的分子、分母中系数化为整数，则分式变为
16．已知 ，则式子 的值等于
三、综合题
17．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
18．甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲比乙快，甲到达B地后速度变为原来的2倍，并立即返回A地，在距离B地240米处与乙相遇，乙遇到甲后速度也变为原来的2倍，并掉头返回，但甲回到A地时，乙距离A地还有120米，设A，B两地的距离为x米，依题意得：
（1）两人第一次相遇时，乙所走的路程为 米；（用含有x的式子表示）
（2）甲到达B地前，甲、乙两人的速度比为 ；（用含有x的式子表示）
（3）求A，B两地的距离．
19．
（1）解方程：；
（2）计算：
（3）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
（4）化简求值：，其中x＝3．
20．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
21．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
22．长春市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天．
（1）求乙工程队每天能改造道路的长度；
（2）若甲队工作一天的改造费用为万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，如果安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造，求改造该段道路所需的总费用．
23．某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．
（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？
（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
24．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
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第十五章 分式 单元综合全优测评卷
一、选择题
1．在 中分式的个数有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 分母中含有字母，因此是分式．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义判断可的答案.形如。且分母中含有字母的式子叫做分式.
2．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣2=0，且x+1≠0，
解得：x=2，
故选：C．
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．
3．若分式 的值为0，则x为（ ）
A．-2 B．-2或3 C．3 D．-3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x-3=0且x+2≠0，
解得：x=3．
故答案为：C．
【分析】根据分式的值为0，即可得到x-3的值为0，求出x的值即可。
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．（a2）3=a6 C．a2.a3 = a6 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a0=1（a≠0），故此选项不符合题意；
B、根据幂的乘方法则可得（a2）3=a6，符合题意；
C、根据同底数幂的乘法法则可得a2.a3 = a5，故此选项不符合题意；
D、根据积的乘方法则可得 ，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】直接利用零指数幂的性质、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则分别化简得出答案．
5．若方程 无解，则 的值为（ ）
A．-1 B．-1或 C．3 D．-1或3
【答案】B
【解析】【解答】方程两边乘最简公分母 后，合并同类项，整理方程得 ，若原分式方程无解，则 或 ，
解得 或 ．
【分析】将分式方程化为整式方程后，分析无解的情况，求得 m 值．
6．下列等式从左到右的变形，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A． ，此选项不符合题意；
B． ，此选项不符合题意；
C． ，此选项不符合题意；
D． ，故此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．逐一计算分析即可．
7．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时
【答案】C
【解析】【解答】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是甲的1.5倍，即 ，
依题意得： ＝1，
整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是所列分式方程的解，
即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；
故答案为：C．
【分析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ．根据根据“提前6小时完成任务”列出方程并解答．
8．如果把分式 的 和 都扩大为原来的 倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．扩大为原来的 倍
【答案】C
【解析】【解答】将 的值都变成原来的3倍代入得：
所以分式的值不变．
故答案为：C．
【分析】把式子中的 都扩大为原来的3倍代入原式，然后根据分式的基本性质转化为已知等式．
9．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】原式=
=
=
=
故答案为：B
【分析】根据分式加减法的运算法则按顺序进行化简即可.
10．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
二、填空题
11．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：原式= x29y2
【分析】根据分式的乘除法法则，分式分子分母分别乘方计算即可得到结果。
12．方程的解是 ．
【答案】x=-3
【解析】【解答】去分母，得
移项，得
经检验，是方程的解，
故方程的解为，
故答案为：.
【分析】去分母，化为整式方程，再解方程即可求出答案.
13．关于x的方程 +1= 有增根，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：x+x﹣3=m，
根据分式方程有增根得到x﹣3=0，即x=3，
将x=3代入整式方程得：3+3﹣3=m，
则m=3．
故答案为：3．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x﹣3=0，将x的值代入计算即可求出m的值．
14．计算： .
【答案】1
【解析】【解答】解：原式=2-1=1
故答案为：1.
【分析】根据零指数幂与负整数指数幂进行计算，a0=1(a≠0)；a-n=(a≠0)。
15．把分式的分子、分母中系数化为整数，则分式变为
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据分式的基本性质分子、分母同时乘以10，即可解答.
16．已知 ，则式子 的值等于
【答案】1
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：1
【分析】先把原式化简得到最简结果，再把已知等式变形为 ，代入计算即可求出值．
三、综合题
17．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
【答案】（1）解：设第一次所购水果的进货价是每千克x元，依题意，得
=，
解得，x=5，经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次进货价为5元；
（2）解：第一次购进：500÷5=100千克，第二次购进：3×100=300千克，
获利：[100×（1-5%）×8-500]+[300×（1-2%）×8-1650]=962元．
答：第一次所购水果的进货价是每千克5元，该水果店售完这些水果可获利962元．
【解析】【分析】（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元，根据题意列出方程=，再求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可。
18．甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲比乙快，甲到达B地后速度变为原来的2倍，并立即返回A地，在距离B地240米处与乙相遇，乙遇到甲后速度也变为原来的2倍，并掉头返回，但甲回到A地时，乙距离A地还有120米，设A，B两地的距离为x米，依题意得：
（1）两人第一次相遇时，乙所走的路程为 米；（用含有x的式子表示）
（2）甲到达B地前，甲、乙两人的速度比为 ；（用含有x的式子表示）
（3）求A，B两地的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由题意可列方程为，
解得：，
∴，
两边同时乘以得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴A，B两地的距离为420米．
【解析】【解答】解：(1)∵两人第一次相遇时，距离B地240米，
∴乙所走的路程为米，
故答案为．
(2)设甲到达B地前，甲的速度为，乙的速度为，
由题意可列方程为，
解得：，
故答案为：
【分析】（1）由在距离B地240米处与乙相遇直接得到答案；
（2）由已知甲按原来的速度走（x+120）米，乙路程是（x-240）米，可得甲、乙两人的速度比是；
（3）根据相遇后速度比不变，路程差是120米，可列方程，再求出即可。
19．
（1）解方程：；
（2）计算：
（3）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
（4）化简求值：，其中x＝3．
【答案】（1）解：方程两边乘x-2，得3+x-2=3-x．
解得x=1．
检验：当x=1时，x-2≠0．
所以，原分式方程得解为x=1．
（2）解：原式
（3）解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝18
（4）解：
=
=
=
当x=3时，原式=
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先利用有理数的乘方、绝对值、负指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（3）先将代数式a3b+2a2b2+ab3变形为ab（a+b）2，再将a+b＝3，ab＝2代入计算即可；
（4）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
20．以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘，得第一步
解得第二步
检验：当时，第三步
所以是原方程的根第四步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程的过程．
【答案】（1）一
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
【解析】【解答】解：（1）小明的解法从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
【分析】（1）利用解分式方程的步骤及注意事项逐步判断即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
21．已知：，
（1）化简分式A；
（2）若关于x的分式方程：的解是非负数，求m的取值范围；
（3）当x取什么整数时，分式A的值为整数．
【答案】（1）解：
；
（2）解：由题意：
，
，
．
∵解是非负数，
∴
∴．
∵即，
∴，
解得，
∴且；
（3）解：
．
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0；
当时，分式的值为；
当时，分式的值为0．
【解析】【分析】（1）利用分式的基本性质化简求值即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先化简分式，再将x的值代入求解即可。
22．长春市政府计划对城区某道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天．
（1）求乙工程队每天能改造道路的长度；
（2）若甲队工作一天的改造费用为万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，如果安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造，求改造该段道路所需的总费用．
【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：乙工程队每天能改造道路的长度为80米．
（2）解：设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为560万元．
【解析】【分析】（1） 设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据“甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天”列出方程并求解即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成， 根据甲工程队工作量+乙工程队工作量=8000米，列出方程并求解即可.
23．某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．
（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？
（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
【答案】（1）解：设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，
依题意，得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一件种纪念品需16元，购买一件种纪念品需12元．
（2）解：设剩余的种纪念品每个售价为元
依题意，得：
解得：
答：剩余的种纪念品每个售价至少要为14元．
【解析】【分析】（1）设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设剩余的种纪念品每个售价为元，根据题意列出不等式求解即可。
24．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
＝＝1+，＝＝＝x﹣1+.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式化为带分式；
（2）求分式的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式的值是整数，求t的整数值.
【答案】（1）解：原式＝＝1+；
（2）解：原式＝＝9﹣，
∵n为正整数，
∴当n＝9时，分式有最大值，最大值为9+49＝58；
（3）解：原式＝＝2﹣，
∵分式的值为整数，
∴t+2＝±1，
∴t＝﹣1或﹣3.
【解析】【分析】（1）原式可变形为，化简即可；
（2）同理可将原式化为＝9-，然后根据n为正整数可得当n＝9时，分式有最大值，据此求解；
（3）原式可化为＝2-，根据分式的值为整数可得t+2＝±1，求解可得t的值.
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