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第二十三章 旋转 单元综合专项模拟卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
3．如图，将矩形绕点顺时针旋转90°后得到矩形，若，，则的面积为（ ）．
A．13 B．26 C．84.5 D．169
4．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C对应点E恰好落在AB的延长线，DE与AC，BC分别相交于点M，N，连结CE，若AB=BC，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．△BCE是等边三角形 B．∠AMD=60°
C．BC与DE互相垂直平分 D．DE=4MN
6．如图，将给出的四张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的一张扑克牌旋转180°成第二行的样子，那么被旋转过的那张扑克牌应该是从左数（ ）
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
7．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转90°得到点 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
C．成中心对称的两个图形旋转后必重合
D．旋转后的图形对应线段平行
9．如图， 与 关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转 ，之后所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 等于 .
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ．
14．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若，，则的度数为 ．
15．如图，将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积为
16．如图，菱形 的边长为4， ， 是边 的中点， 是边 上的一个动点，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 的周长的最小值是 .
三、综合题
17．如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 度；
（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．
18．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.
19．如图，在等边 中，点 是 边上一点，连接 将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，连接 ．
（1） 是 三角形；
（2）若 ，求 的周长；
（3）求证： ．
20．在△ABC中，AB=AC，点D为平面内一点.
（1）观察猜想：如图1，当∠BAC=90°，点D在BC上时，探究BD2、DC2与AD2之间的数量关系，我们可以把△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系： ；
（2）类比探究：如图2，当∠BAC=60°时，点D为△ABC外一点，将△ABD顺时针旋转后得到△BCE若D、E、C三点在一直线上，求∠ADB的度数；
（3）拓展应用：如图3，已知∠BAC=∠BDA=120°，DC=10，AD=2，求BD的长.
21．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：∠EAM=45°；
（2）求证：△AEM≌△ANM；
（3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E.
（1）求证：；
（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标.若不存在，请说明理由.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6.以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G.
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC；
（3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长.
24．在中，，，为线段上一点（点不与，重合），连接．
（1）如图，，，求的长度；
（2）如图，为中点，为平面内一点，连接，，，，将线段绕顺时针旋转得到线段，连接，，为线段上一点，，求证：；
（3）如图，，为射线上两个点，，，将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的面积．
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第二十三章 旋转 单元综合专项模拟卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝＝5，
∴BD＝5．
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据旋转的性质可得∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，再求出∠ABE＝90°，再利用勾股定理求出AE的长即可。
3．如图，将矩形绕点顺时针旋转90°后得到矩形，若，，则的面积为（ ）．
A．13 B．26 C．84.5 D．169
【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A′BC′D′，
∴∠DBD′=90°，DB=D′B，
∴△DBD′是等腰直角三角形，
∵AB=12，AD=5，
∴BD=，
∴△DBD′的面积为=84.5，
故答案为：C．
【分析】先证明△DBD′是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可。
4．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出，再根据旋转的性质判断即可。
5．如图，△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C对应点E恰好落在AB的延长线，DE与AC，BC分别相交于点M，N，连结CE，若AB=BC，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．△BCE是等边三角形 B．∠AMD=60°
C．BC与DE互相垂直平分 D．DE=4MN
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C对应点E恰好落在AB的延长线，AB=BC，
∴∠ABD=∠CBE=60°，BC=BE=BD=AB，
∴△BCE是等边三角形，故A不符合题意；
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，
∴∠ABC=∠DBE=120°，
∴∠A=∠D=∠DEB=∠DEB=（180°-120°）=30°，
∴∠AMD=∠A+∠AEM=30°+30°=60°，故B不符合题意；
∵DB=BE，∠DBC=∠CBE=60°，
∴BE垂直平分DE，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∴∠CED=60°-30°=30°，
∴∠CED=∠BED，
∴BD垂直平分BC，故C不符合题意；
∵BC垂直平平分DE，
∴DE=2DN，
但点M不一定是DN的中点，
∴DE不一定等于4MN，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质可证得∠ABD=∠CBE=60°，BC=BE=BD=AB，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可对A作出判断；同时可求出∠DBC的度数，可证得∠A=∠D=∠DEB=∠DEB=30°，利用三角形的外角的性质可求出∠AMD的度数，可对B作出判断；利用等腰三角形的性质和等边三角形的性质可证得BC与DE互相垂直平分，可对C作出判断；然后利用等腰三角形的性质可证得DE=2DN，但点M不一定是DN的中点，可对D作出判断.
6．如图，将给出的四张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的一张扑克牌旋转180°成第二行的样子，那么被旋转过的那张扑克牌应该是从左数（ ）
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
【答案】B
【解析】【解答】解：被旋转过的1张牌是从左数第二张牌． 理由如下：
第一张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，
第二张牌是中心对称图形，
第三张牌，因为最中间只有一张，所以不是中心对称图形，
第四张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，
∵将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，
∴被旋转过的1张牌是从左数第二张．
故答案为：B
【分析】根据将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，求解即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转90°得到点 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，点 ．
故答案为：A．
【分析】根据要求作图形，利用图象法解决问题即可。
8．下列说法正确的是（ ）
A．全等的两个图形成中心对称
B．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
C．成中心对称的两个图形旋转后必重合
D．旋转后的图形对应线段平行
【答案】C
【解析】【解答】A. 全等的两个图形不一定成中心对称，不符合题意；
B. 旋转180°后能够重合的两个图形成中心对称，不符合题意；
C. 成中心对称的两个图形旋转后必重合，符合题意；
D. 旋转180°后的图形对应线段平行，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据中心对称的性质以及旋转的性质逐项分析即可。
9．如图， 与 关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴ ， ，
即B、D符合题意，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即 ，
∴C符合题意，
故答案为：A．
【分析】先求出 ， ，再求出 ，最后判断即可。
10．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转 ，之后所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到 ，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转 ，之后所得到的图形为 ．
故答案为：A
【分析】先将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转 ，则圆在正方形图形的左下角，利用此特征可对各个选项进行判断。
二、填空题
11．点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】（-3，2）
【解析】【解答】解：根据各个象限点的坐标特征可知，点P（3，-2）在第四象限，
再由平面直角坐标系中关于原点对称的点，横坐标、纵坐标互为相反数，
可得它关于原点对称的点的坐标是（-3，2）
故答案为：（3，2）
【分析】平面直角坐标系中关于原点对称的点坐标特征，横坐标、纵坐标互为相反数，据此解答即可.
12．如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 等于 .
【答案】50°
【解析】【解答】∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
由旋转的性质可知，AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠CAB=65°，
∴∠CAD=50°，
∴∠CAE=15°，
∴∠BAE=50°，
故答案为50°．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACD=∠CAB=65°，根据旋转变换的性质计算即可．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，
，
，
又，
，
．
在和中，
，
，
，．
又∵，，
，，
所以点坐标为，
则，．
在中，
．
故答案为：．
【分析】过点作轴的垂线，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据点的坐标可得点坐标为，则，，在中，再根据勾股定理即可求出答案.
14．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
由旋转可知AE＝AC＝1，
当＝90°时，∠CAE＝90°，
∴
故答案为：90°
【分析】根据旋转的性质可知AE＝AC＝1，结合CE＝，可知只有当∠CAE＝90°时，满足条件。
15．如图，将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
将腰长为3的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB'C'，
∴∠BAB′=15°，∠BAC=45°，AB′=B′C′=AB=3，AC=AC′，
∴∠B′AD=45°-15°=30°，
设B′D=x，则AD=2x，
∴AB′2+BD2=AD2即9+x2=4x2，
解之：（取正值）
∴S阴影部分=S△AB′C′-S△AB′D=.
故答案为：.
【分析】利用旋转的性质可证得∠BAB′=15°，∠BAC=45°，AB′=B′C′=AB=3，AC=AC′，可求出∠B′AD的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设B′D=x，则AD=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到B′D的长，再根据S阴影部分=S△AB′C′-S△AB′D，利用三角形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
16．如图，菱形 的边长为4， ， 是边 的中点， 是边 上的一个动点，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则 的周长的最小值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：取AD的中点M，连接 ，ME，过E点作NE⊥BC于N，
∵菱形 的边长为4， ，
∴∠NCE=∠D=60°，BC=CD=AD，
∵E、M为中点，
∴DE=CE=DM=2，
∴△DEM为等边三角形，
∴ED=EM， ，
∴ ，
∵ ，
∴△EFD≌△ (SAS)，
∴ ，
∴ ，
∵EM=MA=2， ，
∴ ≌ （SAS），
∴ ，
∴ ，
在Rt△NCE中，
∵∠CNE=90°，CE=2，∠NCE=60°，
∴∠CEN=30°，
∴ ，
∴BN=5， ，
∴ 的周长= ，最小为 ，
故答案为： .
【分析】取AD的中点M，连接MF' ，ME，过E点作NE⊥BC于N，先证△EFD≌△ EF'M (SAS)，再证△AMF'≌△EMF' ，得AF'=EF'，从而得BF'+AF'=BF'+EF'≥BE ，在Rt△NCE中，∠CEN=30°，可求出CN、NE的长，再利用勾股定理求BE的长，由于△ABF'的周长=AB+BF'=AF' ，周长最小值为AB+BE的长.
三、综合题
17．如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．
（1）旋转中心是点 ，旋转了 度；
（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．
【答案】（1）D；180
（2）解：由(1)得△ACD≌△EBD
∴AD=ED，BE=AC=4，
在△ABE中，AB-BE
∴7-4<2AD<7+4，
∴ ．
【解析】【解答】（1）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，
∴旋转中心是点D，旋转了180度；
故答案为：D，180；
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）先求出 AD=ED，BE=AC=4， 再求出 7-4<2AD<7+4， 最后计算求解即可。
18．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
（2）解：由图可知，△A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称．
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称和平移的性质作图即可；
（2）根据成中心对称的特点求解即可。
19．如图，在等边 中，点 是 边上一点，连接 将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，连接 ．
（1） 是 三角形；
（2）若 ，求 的周长；
（3）求证： ．
【答案】（1）等边
（2）解：
是等边三角形
是等边三角形
的周长为
（3）解： ， 是等边三角形
，
【解析】【解答】（1）∵将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∴ ，
是等边三角形
故答案为：等边
【分析】（1）先求出 ， ，再求出CD=CE，最后证明求解即可；
（2）利用等边三角形的性质和三角形的周长求解即可；
（3）先求出∠EAC=∠ACB，再证明求解即可。
20．在△ABC中，AB=AC，点D为平面内一点.
（1）观察猜想：如图1，当∠BAC=90°，点D在BC上时，探究BD2、DC2与AD2之间的数量关系，我们可以把△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系： ；
（2）类比探究：如图2，当∠BAC=60°时，点D为△ABC外一点，将△ABD顺时针旋转后得到△BCE若D、E、C三点在一直线上，求∠ADB的度数；
（3）拓展应用：如图3，已知∠BAC=∠BDA=120°，DC=10，AD=2，求BD的长.
【答案】（1）
（2）解：如图，连接，
将顺时针旋转后得到，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的度数为；
（3）解：将绕点逆时针旋转得，连接，作于，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
，
的长为8.
【解析】【解答】（1）解：将绕着点逆时针旋转得，连接，
则，，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）由旋转知AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠ACE，BD＝CE，由等腰三角形的性质可证∠DCE＝90°，然后由勾股定理可得CD2＋CE2＝DE2＝2AD2；
（2）连接DE，由（1）同理可得△BDE是等边三角形，得∠BED＝60°，则有∠BEC＝∠ADB＝120°；
（3）将△ADB绕点A逆时针旋转120°得△ACE，连接DE，作AH⊥DE于H，可得△ADE是顶角为120°的等腰三角形，则∠DEC＝90°，再求出DH的长，从而得出DE，再利用勾股定理即可求解．
21．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：∠EAM=45°；
（2）求证：△AEM≌△ANM；
（3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°
（2）证明：由（1）可知AE=AN，∠MAE=∠MAN，MA=MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）
（3）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN，
∵BE=DN，
∴MN=BM+DN=5，
∵∠C=90°，
∴MN2=CM2+CN2，
∴25=（x-2）2+（x-3）2，
解得，x=6或-1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可证明△ADN≌△ABE，进一步证明点E，点B，点C三点共线，从而可得结论；
（2）根据SAS证明三角形全等即可；
（3）设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程求解即可。
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E.
（1）求证：；
（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：由旋转得，.
又∵，
∴.
∴
在与中
∵
∴
（2）解：与x轴、y轴相交于A、B两点，
令，得，则，
令，得，则
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
，
设直线的解析式为
将点，代入得：
解得
直线的解析式为
（3）解：设点P的坐标为（m ，0），点Q的坐标为，分两种情况考虑：
①若CD为边时，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
②若CD为对角线，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，或.
【解析】【分析】（1）由旋转得CB=CD，∠BCD=90°，由垂直的概念可得∠BOC=∠DEC=90°，由同角的余角相等可得∠OBC=∠ECD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）易得A（6，0）、B（0，3），根据全等三角形的性质可得CO=DE，设CO=DE=m，则D（m+3，m），将点D坐标代入直线解析式中可得m的值，进而得到点C、D的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（3）设P（m ，0），Q（n，-3n+3），①若CD为边，根据平行四边形的对角线互相平分可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，进而可得点P的坐标；②若CD为对角线， 同理可得点P的坐标.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6.以点A为中心，逆时针旋转矩形ABCD，得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G.
（1）如图1，当点E落在边CD上时，求线段CE的长；
（2）如图2，当点E落在线段CF上时，求证：∠EAC＝∠BAC；
（3）在（2）的条件下，CD与AE交于点H，求线段DH的长.
【答案】（1）解：由旋转的性质知：AB＝AE＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝8，
∵CD＝AB＝10，
∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2
（2）证明：由旋转的性质知：∠AEF＝∠BAD＝90°，AE＝AB，
∵点E落在线段CF上，
∴∠AEC＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴∠EAC＝∠BAC
（3）解：设DH＝x，
在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝10，
∴CH＝CD﹣DH＝10﹣x，∠DCA＝∠BAC，
又∵∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AH＝CH＝10﹣x，
在Rt△ADH中，∵DH2+AD2＝AH2，
∴x2+62＝（10﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴DH＝
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可求出AE的长，利用矩形的性质可证得AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，利用勾股定理可求出DE的长，然后根据CE=DC-DE，可求出CE的长.
（2）利用旋转的性质，可证得∠AEF＝∠BAD＝90°，AE＝AB，；利用HL证明Rt△ABC≌Rt△AEC，然后利用全等三角形的性质可证得结论.
（3）设DH＝x，利用矩形的性质，可证得AB∥CD，AB＝CD＝10，可推出CH＝CD﹣DH＝10﹣x，再表示出AH，在Rt△ADH中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
24．在中，，，为线段上一点（点不与，重合），连接．
（1）如图，，，求的长度；
（2）如图，为中点，为平面内一点，连接，，，，将线段绕顺时针旋转得到线段，连接，，为线段上一点，，求证：；
（3）如图，，为射线上两个点，，，将沿直线翻折至所在平面内得到，直线与直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：作于，如图1，
∵，
∴
∵
∴在中，由勾股定理得：
∵
∴
∵∠ADB=∠C＋∠DAC
∴
在中，根据勾股定理可得：DE=
∵
∴
∴
在中，
∴，
∴
（2）证明：如图，
设和交于点
∴，是的中点，
∴，
∴∠BDE＋∠ADE=90°
∵线段绕顺时针旋转得到线段，
∴∠ADF＋∠ADE=90°，DE=DF
∴
∵BD=AD
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴点共圆
∴
∴，，，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）．
【解析】【解答】解：（3）如图3，作于
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，设交于点，
∴当点运动在处时，最小，如图，
作于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）这道题主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质；解题关键在于作辅助线DE⊥AC，通过这条辅助线将问题转化为在多个直角三角形中求解线段长度的问题；需要注意的是要灵活运用等腰直角三角形中斜边与直角边的关系(斜边是直角边的倍)以及含30°角的直角三角形中边的关系(30°所对直角边是斜边的一半)；在求解过程中，要逐步推导，利用已知条件求出中间量，最终得出所求线段的长度。
（2）本题重点考查了三角形全等的判定与性质、四点共圆的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及圆的相关性质等知识点。解题方法是通过旋转构造全等三角形，进而得到一系列角度和线段的等量关系，再结合四点共圆和圆的性质进行推导.首先从已知条件出发，考虑通过证明三角形全等得到一些关键的角度和线段关系；通过旋转操作构造出△ADF和△BDE，尝试证明它们全等；证明后，得到∠EBD=∠FAB和BE=AF等重要结论，这些结论为后续推理提供了基础；根据得到的角度关系∠EBA=∠AOE，推断出点E、B、O、A共圆，利用圆内的角度性质进一步推导；从共圆关系得出∠BEC=∠BAD=45°，再结合等腰直角三角形的性质和线段关系，逐步推导出EH=BH以及点E在以A为圆心、AB为半径的圆上；最后利用这些关系进一步推导得出AG=GH等结论，最终完成整个证明。
（3）从已知条件出发，因为∠BAC=90°且AB=AC，所以△ABC是等腰直角三角形，这一特性为后续的计算和推导提供了基础；在图3中，已知∠BHA=90°和AP=2BH，首先观察角度关系；由于∠AEC=∠AHB=90°，且∠BAC=90°，通过同角的余角相等得到∠BAH=∠ACE，再结合AB=AC，利用AAS(角角边)定理证明，从而得出AE=BH；这里的逻辑是通过寻找角度和边的对应关系来证明全等；由AP=2BH和AE=BH，得出AP=2AE，进而推出CP=，这是简单的线段等量代换和计算；对于点P在以C为圆心，为半径的圆上运动这一条件，当考虑BP最小时，其逻辑是圆外一点到圆上一点的距离，当这点与圆心和圆上点共线且圆上点在圆心与圆外点连线上时距离最小，即BP与圆相切时BP最小；作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形ABC的性质，BC=AC，且AH=2BC，通过这些线段关系来计算BC、AH等长度，进而求出△ABC的面积；最后证明时，根据已知条件寻找对应角相等的关系，进而得出相似；利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算相关三角形面积；
整个解题过程是从已知条件逐步推导，通过不断挖掘图形中的角度、线段关系，利用全等、相似以及特殊三角形的性质来解决问题；解题技巧在于善于发现角度的等量关系来证明三角形全等，利用线段之间的倍数关系进行计算，同时结合圆的性质和等腰直角三角形的特性来处理相关问题；
（1）如图，
作于，
∴，，
∴，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
在中， ，，
∴
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
设和交于点
∴，是的中点，
∴，
∵
∴，
∵线段绕顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点共圆，
∴，
∴，，，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，设交于点，
∴当点运动在处时，最小，如图，
作于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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