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第二十四章 圆 单元综合测试示范卷
一、选择题
1．已知的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上 D．以上都有可能
3．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
4．在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ， 是⊙ 的半径，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线.点D、E在⊙O上，若∠CBD=110°，则∠E的度数是（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
8．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）
A． cm B．5cm C．6cm D．10cm
9．如图，在矩形 中， ， ，以点D为圆心， 为半径画弧，与矩形的边 交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
二、填空题
11．如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠AOD的度数是 .
12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 .
13．如图， 是 的弦， ，点C是 上的一个动点，且 ，若点M、N分别是 、 的中点，则 长度的最大值是 .
14．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为 .
15．如图，△ABC的周长为24cm，AC=8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为 cm.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为 .
三、综合题
17．如图， 与 交于D，E两点， 是直径且长为12， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的长度．
18．如图， 内接于 和 相交于点 ，点 在 的延长线上，且 ．
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为 ，则 ， 的周长为 ．
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
21．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是边BC上一点，且BE＝6，以点A为圆心，6为半径的圆交AB于点F，DF与AE交于点H，并与⊙A交于点K.
（1）求证：H是FK的中点；
（2）求DK的长.
22．如图，中，，D是边上的一点，且，E是上的一点，以为直径的经过点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若圆心O到弦的距离为1，，求的长．
23．如图，在中，弦与半径形成的夹角 ，点是优弧上的一动点，切线与射线相交于点.
（1）与满足的数量关系是 .
（2）当时，求阴影部分的面积；
（3）当是多少度时，为等腰三角形？通过推理说明理由.
24．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
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第二十四章 圆 单元综合测试示范卷
一、选择题
1．已知的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出答案。
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（ ）
A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外
C．点O在⊙A上 D．以上都有可能
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A（﹣4，﹣3），
∴，
∵⊙A的半径为4，
∴，
∴点O在⊙A外；
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系以及勾股定理即可得出答案。
3．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【答案】A
【解析】【解答】 的直径为 分米，
（分米），
， （分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度 （分米）．
故答案为： ．
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BC的长，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用OD-OC即可。
4．在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：90°的圆心角所对的弧长 ，
故答案为：D．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
5．如图， ， 是⊙ 的半径，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】利用圆周角的性质可知：。
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2 ，如图，
∴CE= CD= ，∠CEO=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积S=S扇形COB= ，
故答案为：D．
【分析】利用轴对称的性质可知：阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形面积计算公式计算即可。
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线.点D、E在⊙O上，若∠CBD=110°，则∠E的度数是（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】 是 的切线.
是 的直径，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质得出∠ABC=90°，从而得出∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而求出∠BAD=70°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠BAD=70°.
8．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）
A． cm B．5cm C．6cm D．10cm
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接MN，
∵∠O=90°，
∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，
∴MN= = =10（cm），
∴该圆玻璃镜的半径是： MN=5cm.
故答案为：B.
【分析】如图，连接MN，根据圆周角定理可以判定MN是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可.
9．如图，在矩形 中， ， ，以点D为圆心， 为半径画弧，与矩形的边 交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DA=BC=4，DC=AB=2 ，
又∵以点D为圆心，DA为半径画弧，
∴DE=DA=4，
在Rt△DCE中，∵DC=AB=2 ，DE=4，
∴ ，
∴ DE，
∴∠EDC=30°，
∴∠ADE=60°，
则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△DEC-S扇形ADE
，
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质可得到DA，DC的长，再根据条件：以点D为圆心，DA为半径画弧，可求出DE的长；再利用勾股定理求出CE的长，从而可求出∠EDC的度数，同时可得到∠ADE的度数；然后利用阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△DEC-S扇形ADE，利用矩形，扇形，三角形的面积公式进行计算，可得答案.
10．题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
当时，如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故答案为：D
【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。
二、填空题
11．如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠AOD的度数是 .
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°.
故答案为：90°.
【分析】根据正n多边形的中心角等于代入计算即可得出答案.
12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：扇形的弧长＝＝，
故答案为：.
【分析】直接根据弧长公式l=进行计算即可.
13．如图， 是 的弦， ，点C是 上的一个动点，且 ，若点M、N分别是 、 的中点，则 长度的最大值是 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵M、N分别是 、 的中点，
∴ ，
当AC为 直径是AC长度最大，此时△ACB 是直角三角形，
又∵ ， ，
∴AC=4，
∴MN=2.
故答案为：2.
【分析】根据中位线的性质可得MN=AC，当AC为的直径时是AC的最大长度，此时△ACB是直角三角形，据此求解.
14．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为 .
【答案】 cm
【解析】【解答】解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA.
根据题意得：OD＝ OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ cm，
由垂径定理得：AB＝2 cm.
故答案为： cm.
【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，根据折叠的性质得：OD=OA＝1cm，由勾股定理求出AD，然后根据垂径定理就可得到AB.
15．如图，△ABC的周长为24cm，AC=8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为 cm.
【答案】8
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，
∴ AF=AD，DM=MG，GN=NE，AF=AD，CE=CF，BE=BD
∵△ABC的周长为24cm，AC=8cm
∴BD+BE=24-AD-AF-FC-CE=24-（AD+EC） -（AF+FC） =24-2AC=8
∴△BMN的周长为BM+MG+GN+BN=（ BM+MD） +（BN+NE）=BD+BE=8.
故答案为8.
【分析】根据切线定理可得AF=AD，DM=MG，GN=NE，AF=AD，CE=CF，BE=BD，根据三角形的周长可得BD+BE=8，据此求解.
16．如图所示，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，
∵垂线段最短，
∴此时OD的值最小，BC的长最小，
∵直线y=kx-3k+4经过点B，C两点，
y=k（x-3）+4，
当x-3=0时，y=4即x=3，
∴直线y=kx-3k+4必经过定点D（3，4），
∴，
∵点，
∴，
∴，
∵OD⊥BC，
∴，
∴弦BC的长的最小值为.
【分析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，利用垂线段最短可知此时OD的值最小，BC的长最小，利用函数解析式可得到直线y=kx-3k+4必经过定点D（3，4），利用勾股定理求出OD的长，利用点A的坐标可求出OB的长；再利用勾股定理求出BD的长，然后利用垂径定理可求出BC的长.
三、综合题
17．如图， 与 交于D，E两点， 是直径且长为12， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接OE，AE，
由（2）得AB=BC=12
∴∠AOE = 2∠B，∠B= ∠AOD
∴∠AOE = 2∠AOD
∴∠AOD =∠DOE
∴AD = DE
∴AC=2AD=8
∵AB是直径：∠AEB=90°
在 与 中，
设CE=x，则BE=12-x
AC2-CE2=AB2-BE2
即 ．
解得： ．
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后求解即可；
（2）先求出∠AOD =∠DOE ，再求出 AC=2AD=8 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
18．如图， 内接于 和 相交于点 ，点 在 的延长线上，且 ．
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为 ，则 ， 的周长为 ．
【答案】（1）解：直线AD与 相切，理由如下：
如图，连结OA，
∵
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是 的切线；
（2）；
【解析】【解答】解：（2）∵OA=OC=12，
∵ ，
∴OD=2OA=24，
∴ ，
∵OA=OC=12，∠AOC=60°，
∴ 是等边三角形，
∴AC=OC=OA=12，∠ACO=60°，
∵ ，
∴弧AC=弧BC，∠AED=90°，
∴OC⊥AB，AC=BC=12，
∴ ，
∴ ，
∵OC是 的半径，
∴AB=2AE= ，
∴ 的周长为12+12+ = ．
【分析】（1）先求出 ∠AOC=2∠B=60°， 再求出 OA⊥AD， 最后证明求解即可；
（2）先求出 是等边三角形，再利用勾股定理和三角形的周长计算求解即可。
19．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
【答案】（1）解：设圆心为O，连接OC，OB，
∴OC⊥AB，
∴BD=AB=6，
设拱桥的半径r米，则OD=r-4，
在Rt△OBD中
OD2+BD2=OB2即（r-4）2+62=r2
解之：r=.6.5.
（2）解：此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥，理由如下，
如图，连接OE
∵船舱顶部为长方形，并高出水面3m，
∴DF=3，
∴CF=4-3=1，
∴OF=OC-CF=6.5-1=5.5，
在Rt△EOF中
，
∴NE=2EF=2×3.46=6.92＜7.8，
∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥.
【解析】【分析】（1）设圆心为O，连接OC，OB，利用垂径定理求出BD的长，设拱桥的半径r米，可表示出OD的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）连接OE，利用已知船舱顶部为长方形，并高出水面3m，可得到DF的长，根据CF=CD=DF，可求出CF的长，从而可求出OF的长，利用勾股定理可求出EF的长，根据NE=2EF，可求出NE的长，再根据货船宽为7.8m，将NE与7.8比较大小，可作出判断.
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，
∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）解：∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，根据三角形的内角和求解，即可得到结论；
（2）连接OC，OD，根据三角形的内角和得到∠DAC=45°，由圆周角定理求出∠DOC=90°，再根据勾股定理求DC长即可；
（3）根据扇形面积公式求扇形OCD的面积，然后根据S阴影=S扇形OCD－S△OCD ，进行计算即可.
21．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是边BC上一点，且BE＝6，以点A为圆心，6为半径的圆交AB于点F，DF与AE交于点H，并与⊙A交于点K.
（1）求证：H是FK的中点；
（2）求DK的长.
【答案】（1）证明：在△ABE与△DAF中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴∠AFD＝∠BEA，
∴∠AFD+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；
（2）解：在Rt△DAF中， ，
且 ，
∴ ，
在Rt△AHF中， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先利用SAS证出△DAF≌△ABE，得出∠AFD＝∠BEA，从而得出∠AFD+∠BAE=90°，得出AH⊥FK，再根据垂径定理，得出FH＝HK，即可得出H是FK的中点；
（2）先根据勾股定理求出DF的长，利用等积法求出AH的长，从而利用勾股定理求出FH的长，从而求出FK的长，利用DK=DF-FK，即可求出DK的长.
22．如图，中，，D是边上的一点，且，E是上的一点，以为直径的经过点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若圆心O到弦的距离为1，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OC，
∴∠DCB＝∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB＝∠DCB+∠ODC＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，
∴∠A＝∠DOB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠DOB+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：过点O作，垂足为M，如图2所示：
∴
∵，
∴，
∵是的切线
∴
∵，
∴
∴，
在Rt△OBD中，由勾股定理得到
【解析】【分析】（1）连接OD，由OD=OC，利用等边对等角可得∠DCB＝∠ODC，根据三角形外角的性质可得∠DOB＝∠DCB+∠ODC＝2∠DCB， 利用等量代换可得∠A＝∠DOB，根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B= ∠DOB+∠B＝90°， 从而得出∠BDO＝90°， 根据切线的判定定理即证；
（2）过点O作，垂足为M， 根据直角三角形的性质可得OD=OC=2OM=1，由切线的性质可得∠BDO=90°，利用圆周角定理可得 ，从而求出∠B=30°，可得OB=2OD=4，在Rt△OBD中，由勾股定理可求出BD的长.
23．如图，在中，弦与半径形成的夹角 ，点是优弧上的一动点，切线与射线相交于点.
（1）与满足的数量关系是 .
（2）当时，求阴影部分的面积；
（3）当是多少度时，为等腰三角形？通过推理说明理由.
【答案】（1）
（2）解：连接OB，如图1.
∵∠D=90°，∠AOC+∠D=210°，
∴∠AOC=120°.
∵∠A =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∴S扇形OBC=，
连接BC，则△BOC是等边三角形，
∴∠BCD=30°.
在Rt△BCD中，BD=，
则CD=，
.
，
∴S四边形BOCD=，
∴S阴=；
（3）解：当∠AOC为140°或160时，△BCD是等腰三角形.
理由如下：
设∠AOC=x，
由（1）可得∠D=210°-x，
∠ABC=（360°-x）=180°-，
∴∠DBC=180°-∠ABC=，
当BD=BC时，2∠D+∠DBC=180°，
∴2（210°-x）+=180°，
∴x=160°，
当CD=BC时，∠D=∠DBC，
∴210°-x=，
∴x=140°，
当BD=BC时，2∠DBC+∠D=180°，
∴2+（210°-x）=180°，
∴不存在，
反之，当∠AOC为140°或160时，△BCD是等腰三角形.
综上所述，∠AOC为140°或160°.
【解析】【解答】（1）解：是的切线，
.
，
，
.
故答案为：；
【分析】（1）由切线的性质可得∠C=90°，利用四边形内角和即可求解；
（2）连接OB， 先求出S扇形OBC的面积，再求出S四边形BOCD=，根据 S阴=进行求解；
（3）设∠AOC=x，由（1）可得∠D=210°-x，从而求出∠ABC=180°-，∠DBC=180°-∠ABC=，分两种情况： ①当BD=BC时，2∠D+∠DBC=180°， ②当BD=BC时，2∠DBC+∠D=180°，据此分别求解即可.
24．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
（1）求证：点B在上．
（2）当点D移动到使时，求的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：．
【答案】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得， 即得CM=DM=BM，根据点和圆的位置关系即可判断；
（2）由垂径定理可得BD=DE，易求△ADE为等腰直角三角形，可得， 从而得出AD+BD=AB=（）BD，继而得解；
（3） 过点B作，过点A作，交于点N，连接， 先证 ， 可得， 再证，可得NE=EF， 在中，由即可求解.
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