2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.北京卷理集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A. B. C. D.
3.定义在上的函数，对任意，，有，则( )
A. B.
C. D.
4.已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.关于函数，下列说法不正确的是( )
A. 有且仅有一个零点
B. 在，上单调递减
C. 的定义域为
D. 的图象关于点对称
6.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. ，或 B.
C. ，或 D.
7.如果，，满足且，那么下列选项中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.函数，其中，为实数集的两个非空子集又规定，下列四个判断其中正确的是( )
若，则；
若，则；
若，则；
若，则．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知集合，若，则实数的值为______．
12.函数的定义域为______．
13.设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
______；
______．
14.设函数若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 ．
15.设是非空数集，若对任意，，都有、，则称具有性质，给出以下命题：
若具有性质，则可以是有限集；
若具有性质，且，则具有性质；
若、具有性质，且，则具有性质；
若、具有性质，则具有性质．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知全集，集合，，．
Ⅰ集合_____；_____；_____；_____；
Ⅱ若，求的取值范围；
Ⅲ若，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数，为上的奇函数且．
求，；
判断在上的单调性并证明；
当时，求的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
Ⅰ求出当时，的解析式；
Ⅱ如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
Ⅲ结合函数图象，讨论函数在上的值域．
19.本小题分
近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内以天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足为常数，且，，，日销售量单位：件与时间单位：天的部分数据如表所示：
已知第天的日销售收入为元．
给出以下三个函数模型：
；；．
Ⅰ请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
Ⅱ设该工艺品的日销售收入为单位：元，求的解析式．
Ⅲ该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
20.本小题分
对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合具有可分性．
Ⅰ分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由；
Ⅱ判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
Ⅲ若集合具有可分性，求集合中元素个数的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一，内的任意值都行
15.
16.解：Ⅰ集合，，
，或，
或；
Ⅱ，，
当时，，，
当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
Ⅲ若，
当时，，，
当时，或，
或，
综上所述，若，则的取值范围为，
故A，则的取值范围
17.解：根据题意，函数，为上的奇函数，
则，即，变形可得，
又由，则；
由的结论，，在区间上单调递减，
证明如下：设，
则，
又由，则，，
则，
故在上单调单调递减．
根据题意，由的结论以及函数是奇函数，可知在上递减，
则在上的最大值为，最小值为．
18.解：Ⅰ依题意，设，则，
于是，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式；
Ⅱ由已知及得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：，；
Ⅲ由可知，，
显然当时，，
当时，令得，，
解得或舍去，
当时，在上单调递减，
所以，，
所以的值域为；
当时，
，，
所以的值域为；
当时，
，，
所以的值域为，
综上所述，当时，的值域为；当时，的值域为；当时，
的值域为．
19.解：Ⅰ由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型：，
由，
可得，解得，
因为，解得，
则日销售量与时间的关系式为；
Ⅱ因为第天的日销售收入为元，
则，解得，所以，
由知，，
则
，；
Ⅲ当，时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当，时，单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值，
所以该工艺品的日销售收入第天最低，最低收入是．
20.解：对于集合，去掉时，剩下三个元素之和为，不是偶数，矛盾，故集合不具有可分性，
对于集合，去掉时，剩下四个元素之和为，不是偶数，矛盾，故集合不具有可分性；
不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集，其中，
则去掉时，可能的情况为或，
若，则去掉时，，
若，则去掉时，，，
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
先证明若集合具有可分性，则集合的元素个数为奇数，
否则为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以为偶数，为偶数，
所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为的倍数，所以为的倍数，所以为的倍数，为的倍数，
所以是一系列的倍数的和，也为的倍数，所以则为的倍数，所以为的倍数，所以为的倍数，为的倍数，
，
依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，为奇数，证毕．
又容易检验时，集合不可分，由知时，集合也不可分，所以，
当时，取，
划去时，；
划去时，；
划去时，；
划去时，；
划去时，；
划去时，；
划去时，，
即具有可分性，
综上可知，集合中元素个数的最小值为．
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