2024-2025学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
2.若，，，，下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
5.如果，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是位数参考数据：，
A. B. C. D.
7.若关于的不等式有个负整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 满足的集合的个数是个
B. 已知，且，则
C. 若，，且，则的最小值为
D. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围为
11.已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有( )
A.
B. 若为一次函数，则存在且不唯一
C. 若为二次函数，则存在且唯一
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是奇函数，当时，，则 ______．
13.已知，则的最小值为______．
14.已知函数，若有三个不同的解，，，则的取值范围为______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设二次函数，不等式的解集为．
求的值；
若集合为在上的值域，，求．
16.本小题分
求值：；
化简：；
已知，求的值．
17.本小题分
设函数．
求函数在区间上的值域；
若函数在区间上的最大值为，求实数的值．
18.本小题分
若函数在区间上同时满足：在区间上是单调函数，当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间．
下列函数；；；中，哪些存在“保值”区间，在答题纸上直接写出序号；
若一次函数存在“保值”区间，求实数的取值范围；
若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若函数是奇函数．
用定义证明：函数在上是增函数；
若函数，求不等式解集．
若在上恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
则，解得，
所以；
由可知：，
当且仅当时，等号成立，
所以集合，
由，等价于，
等价于，
解得，
所以
所以．
16.解：原式
；
；
由可得，
故．
17.解：由可得，开口向上，对称轴为，
故在单调递增，在单调递减，
故，因为，又，
故在区间上的值域为；
法因为的中点，当，即时，则离对称轴较远，
在上，，即，解得，或舍，
当，则离对称轴较远，
在上，，解得，
综上所述：满足条件的的值为或；
法时，在单调递减，
故，解得，不符合，故舍去，
当时，此时，所以函数在单调递减，在单调递增，
且，解得，符合，故，
当时，此时，所以在单调递减，在单调递增，
且，解得或舍去，故，
综上可得或．
18.解：对于：因为在区间上单调递增，
若函数的值域为，
则，无解，
所以不存在“保值”区间；
对于：因为在区间上单调递减，
若函数的值域为，
则，可得，
所以存在“保值”区间；
对于：因为的值域为，
则，
可知在上单调递增，
若函数的值域为，
可得，解得，
所以存在“保值”区间；
对于：因为在，内单调递增，
若，函数的值域为，
则，无解；
若，函数的值域为，
则，解得，
所以存在“保值”区间，
综上所述：不存在“保值”区间，存在“保值”区间；
若一次函数存在“保值”区间，
当时，可知在上单调递增，
若函数的值域为，
则，
可得，
解得；
当时，可知在上单调递减，
若函数的值域为，
则，
可得，
解得，
综上所述：实数的取值范围；
函数在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
由，，即函数在有两个不等的实数根，
设，
所以，即，
解得，
若，则，
由，
两式相减可得，所以，
从而，即，
同理可得，
设，
所以，
解得，
综上可得，实数的取值范围为．
19.解：由题意可知：的定义域为，
若函数是奇函数，则，
即，
且，
即是奇函数，
所以符合题意，．
若，则，
任取，，且，
则，
因为，则，，，
可得，
即，
所以函数在上是增函数；
因为，
可知的定义域为，
且，
所以为偶函数，
当时，则，
因为在上是增函数，
则在上是增函数，
且函数在上是增函数，
可知函数在上是增函数，
又因为，
若，即，
可得，即，
平方得，，
整理可得，，
解得，
所以不等式解集为；
因为，
即，
可得，
原题意等价于在上恒成立，
构建，
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增；
且在内连续不断，则在内单调递增，
则，可得，解得，
所以的取值范围为．
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