2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省大庆中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若直线：与直线：平行，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若圆的圆心为，且被轴截得弦长为，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知点，点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若圆：上存在两个点到直线：的距离为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若与恰好关于的一条渐近线对称，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左右两支分布交于两点，，若，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线与圆相切
B. 若圆上存在两点关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是
10.如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，，，分别为，，的中点，则( )
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离为
D. 过点，，的平面截四棱锥的截面面积为
11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说三体Ⅱ黑暗森林中的“水滴”是三体文明使用新型材料强互作用力材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示水滴角可看作液、固、气三相交点处气液两相界面的切线与液固两相交线所成的角，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆长轴平行于液固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有( )
附：椭圆上一点处的切线方程为．
A. 圆法中圆的半径为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为，则它的标准方程是______．
13.正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ______．
14.已知椭圆的上顶点为，若椭圆上离点最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面内两点，．
求过点且与直线垂直的直线的方程；
若，求的边上的中线所在直线方程；
已知直线过点，且与平行，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆过三点，，．
求圆的方程；
设直线经过点，且与圆相切，求直线的方程．
17.本小题分
已知双曲线：过点．
求双曲线的标准方程；
过的右焦点的直线与交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为．
求椭圆的方程．
若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值．
在的条件下求四边形的的面积的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
则，
因，故直线的斜率为，
直线过点，
则直线的方程为，即；
由，可得边的中点，
，
故直线的斜率为，
则所在直线方程为，即；
由已得，
直线与平行，故其斜率为，
则直线的方程为，即．
16.解：设圆的方程为，
因为圆过三点，，，
所以，解得，
圆的方程为．
由知圆是以为圆心，以为半径的圆，
若直线的斜率不存在，
则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切；
若直线的斜率存在，
则设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得，所以切线方程为．
综上，切线方程为或．
17.解：由题可得：，
解得：，
所以双曲线；
由题，，所以双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，：，
此时，
所以，
又，
所以以为直径的圆不经过坐标原点，
即直线的敘率存在，
设：，，，
联立方程组，化简得，
由题有：，即，
所以，
因为以为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
又，
所以
，
解得：，
所以，
即．
18.解：证明：三棱柱为直三棱柱，面，
，，又，且，面，
又，故A面，
面，，即，
又，四边形为正方形，故AB，
，面；
由题意，可以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，故，
面，可取面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为．
19.解：由长轴长为，
可得，．
因为点上顶点，直线的倾斜角为，
所以中，，
则，
又，
则．
则椭圆的方程为．
证明：设，，，，
则关于原点的对称点，
即，
由，，
所以，，三点共线，
又≌，
，
设：代入椭圆方程得，
则，，．
，
，
．
解：四边形为梯形，，
，
，
令，
则，，
则，当即时等号成立，
即的取值范围．
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