2024-2025学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市平谷中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂有，，，，共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间，车间，车间，车间现采用分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，并且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根据频率分布直方图，下列结论正确的是( )
A. 中位数估计为 B. 众数估计为
C. 平均数估计为 D. 第百分位数估计为
5.圆的圆心到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.设直线：，：则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图所示四面体小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：平面；平面；平面平面；平面平面其中判断正确的个数是( )
图 图
A. B. C. D.
8.从甲袋中摸出个红球的概率是，从乙袋中摸出个红球的概率是，从甲、乙两袋中各摸出个球，则可能是( )
A. 个球不都是红球的概率 B. 个球都是红球的概率
C. 至少有个红球的概率 D. 个球中恰有个红球的概率
9.已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数，使其成立的是( )
A. B. C. D.
10.如图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，现将该卡片沿轴折成如图所示的直二面角，在图中，则下列结果不正确的是( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 点到直线的距离为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线为实常数的倾斜角的大小是______
12.经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是______．
13.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元不足小时的部分按小时计算现有甲在该商区临时停车不超过小时，若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，则甲停车付费恰好元的概率为______．
14.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面米，水面宽米，当水面下降米后，水面宽为______米．
15.如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，给出下列四个结论：
存在点，，使得平面；
当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；
当为线段的中点时，，两点之间距离的最小值为；
当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
求下列直线方程：
已知，，，在中；
(ⅰ)求边所在的直线方程；
(ⅱ)求边上的垂直平分线所在直线的方程；
已知点，求过点且与原点距离为的直线的方程．
17.本小题分
已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求顶点和的坐标；
求外接圆的一般方程．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，的面积为．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求边长．
19.本小题分
已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级名学生进行一次测试，共道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
考前预估难度
测试后，从中随机抽取了名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示“”表示答对，“”表示答错：
题号
学生编号
根据题中数据，将被抽取的名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这名学生中第题的实测答对人数．
题号
实测答对人数
实测难度
从编号为到的人中随机抽取人，求恰好有人答对第题的概率．
定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
设为正整数，集合，，，，，，对于集合中的任意元素和，记．
Ⅰ当时，若，，求和的值；
Ⅱ当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当，不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
Ⅲ给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.根据题意，可得，
则边所在的直线方程为，即；
线段的中点坐标为，即，
由知，垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即．
当直线的斜率不存在时，此时：，符合题意；
若直线的斜率存在，设：，即，
由，解得，此时方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
17.解：由，解得，可得顶点，
又因为，，
所以设的方程为，
将代入得，
由，解得，可得顶点，
顶点和的坐标分别为和．
设的外接圆方程为，
将、和三点的坐标分别代入得：
，解得
所以的外接圆的一般方程为．
18.解：Ⅰ由正弦定理及，得，
所以，
因为，所以，所以，即．
Ⅱ因为的面积为，且，
所以，解得，
由余弦定理得，，
所以．
19.解：每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
实测答对人数
实测难度
估计人中有人答对第题．
记编号为的学生为，，
从编号为到的人中随机抽取人，基本事件总数，
恰好有人答对第题包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，
恰好有人答对第题的概率．
定义统计量，其中为第题的实测难度，
为第题的预估难度．
，
，该次测试的难度预估合理．
20.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
21.解：Ⅰ由题意，当时，若，，
则，
．
Ⅱ考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为上下对应的两个元素称之为互补元素：
、、、，
、、、，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，
所以四元集合、、、满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
若除了这对互补元素之外还有个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故B中元素个数的最大值为．
Ⅲ ，，，，，
此时中有个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素，，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，
由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，
故B中最多有个元素．
第1页，共1页