2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
2.某校期中考试后，为分析名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图则下列结论错误的是( )
A. 估计数学成绩的众数为
B.
C. 估计数学成绩的百分位数约为
D. 估计成绩在分及以上的学生的平均分为
3.已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为，，，下列区间是函数的严格减区间的是( )
A. B. C. D.
4.设奇函数的定义域为，且，若对任意，，都有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的定义域为______．
6.不等式的解集为______．
7.已知，则 ______．
8.当时，函数的最小值是______．
9.设等比数列的前项和为，若，，则 ______．
10.若，，则 ______．
11.若，且，则 ______．
12.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为的扇形，则它的体积为______．
13.已知有名男生名女生，若从这人中任选人，则恰有名男生和名女生的概率为______结果用分数表示
14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分如图中虚线所示，称该条抛物线为安全抛物线若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米
15.如图，在边长为的正方形中，，若为线段上的动点，则的最小值为______．
16.设，若实数，满足，且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交，则不等式的解集为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求角；
若的面积为，求．
18.本小题分
在等差数列中，，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式；
令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点．
证明：平面平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于，两点．
求椭圆的标准方程；
若直线的斜率为，求线段中点的轨迹方程；
若直线的斜率为，在椭圆上是否存在定点，使得分别为直线，的斜率恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在请说明理由．
21.本小题分
设且．
若函数是上的严格增函数，求实数的取值范围；
已知数列是等差数列公差，设，若存在数列使得数列也是等差数列，试求满足条件的一个数列；
若，是否存在直线满足：对任意的，都有成立；存在，使得？若存在，求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.且
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：由题意，，
由余弦定理得，故，
又，且，
所以；
由知，所以，，
因为，所以，
由余弦定理得，所以．
18.解：在等差数列中，，设公差为，
由，，构成等比数列，可得，
即有，解得舍去，由于，
则；
，
，
由，，
且为递增数列，
所以时，正整数的最小值为．
19.解：证明：连接，设与相交于点，如图，
因为，且，，
所以四边形为矩形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以为的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，分别为线段，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面．
因为底面，平面，平面，
所以，，因为，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，可得，，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：由题可得：，解得：，
所以椭圆的标准方程为：；
因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，，，
联立 ，化简得，则，解得：，
所以，，设弦中点，
则，，
消去，得，而，
所以点的轨迹方程为；
设，，，
则，
因为直线的斜率为，设直线的方程为，其中，且不过，
椭圆的方程可化为，即，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
，解得，代入，
解得：，所以，
所以存在点或，使得恒成立．
21.解：由且是实数集上的严格增函数，
可得对任意的都成立，
而，可得，
故实数的取值范围为；
，
由于数列是等差数列公差，
若存在数列使得数列也是等差数列，
可得为常数，
即有为常数，即有，或舍去，
可得，且，
则满足条件的一个数列为；
令，
则当，时，，
若，存在，使得，
即存在，使得，与题意不符；
同理，若，存在，使得，与题意不符．
当时，，
当时，显然存在，使得，即存在，使得；
当时，对任意的，都有，
当时，存在，使得，且对任意的，都有，
即对任意的都有．
综上，存在直线满足题意，直线方程为．
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