2024-2025学年河北省邯郸市名校联考高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市名校联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，梯形的腰的中点为，且，记，则( )
A.
B.
C.
D.
3.设等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
4.若两个正实数，满足，且存在这样的，，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.若为函数图象上的一点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点在同一个平面内，在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为米．
A. B. C. D.
7.已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程、不同时为可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程、、不同时为可以表示坐标空间内的平面过点且一个法向量为的平面的方程可表示为阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法正确的是( )
A. 若是关于的方程的一个根，则
B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
C. 若是复数，则一定有
D. 若，，则
10.如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则( )
A. B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面 D. 直线与平面所成角为
11.已知函数的导函数的部分图象如图所示，其中点，分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，则( )
A.
B. 图象的对称轴为直线
C. 函数在上单调递增
D. 将的图象向右平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的倍，即可得到的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在长方体中，若，，则直线到平面的距离是______．
13.已知平面向量，，，，则的最小值为______．
14.已知函数有两个零点，，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
设数列的前项和为，已知，数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
求数列和的通项公式；
若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间和极值；
若，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，，分别为，的中点在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若底面，且，直线与平面所成角为．
确定点的位置，并说明理由；
求线段的长．
19.本小题分
定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为，则称数列具有“性质”已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质”．
若，且，，写出所有可能的的值；
若，，证明：“”是“”的充要条件；
若，，，证明：或，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意，可得，即，
所以，结合，可知．
若的面积为，则，即，解得．
由余弦定理得，可得舍负．
所以的周长．
16.解：又，
所以，
得；由得，，两式联立得，，满足，
所以数列为首项为，公比均为的等比数列，即有，；
数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
可得，即为，解得，
又，可得，；
若，
则，
，
两式相减可得
，
化简可得，
恒成立．
即的范围是．
17.解：当时，，
，
令，则，
故在上单调递减，而，
因此是在上的唯一零点，即是在上的唯一零点，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，递减区间为，
所以的极大值为，无极小值；
由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.Ⅰ证明：在正方形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
则；
Ⅱ解：当为中点时，有直线与平面所成角为，
证明如下：由平面，可得，，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
又为中点，则，，，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，令，则，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
故当为中点时，直线与平面所成角的大小为．
设点的坐标为，
因为点在棱上，所以可设，
即，所以，，，
因为是平面的法向量，
所以，即，
解得，故H，则，
所以．
19.解：依题意可知有如下三种情况：
若：，，，，此时，
若：，，，，此时，
若：，，，，此时．
证明：
必要性：因为，
故数列为等差数列，
所以，，公差为，
所以，必要性成立；
充分性：由于，，，，
累加可得，，即，
因为，故上述不等式的每个等号都取到，
所以，，所以，，充分性成立；
综上所述，““是，”的充要条件；
证明：令，依题意，，
因为，，，．
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数；
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或，
当时，
比如，，，或，，时，有，；
当时，
比如，，，，
或，，，，有，；
当或时，不能被整除，
第1页，共1页