高中数学人教版（2019）第1部分第2节《常用逻辑用语》（含解析）-2025届高考一轮复习-基础摸查 基础夯实 优化提升

第1部分第2节《常用逻辑用语》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2>0 B． x∈R，－1≤sin x≤1
C． x∈R，2x<0 D． x∈R，tan x＝2
2．命题“ x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)
A． x∈R，ex－1≥x B． x∈R，ex－1≤x
C． x∈R，ex－13．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
【知识归纳】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记
否定 x∈M，綈p(x)
常用结论：
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
【题型展示】
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2)“a>b>0”是“>1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1　(1)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．0<< B．a2>b2
C．ln a>ln b D．2a>2b
(2) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二　充分、必要条件的应用
例2　已知集合A＝{x|－2(1)若m＝2，求集合A∩B；
(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
跟踪训练2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词命题真假的判断
例3　(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈R，≤1
B．对于 x∈R，n∈N*且n>1，都有＝x
C． x∈R，ln(x－1)2≥0
D． x∈R，ln x≥x－1
命题点2　含量词命题的否定
例4　命题“ a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　)
A． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B． a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
C． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D． a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
命题点3　含量词命题的应用
例5　若“ x∈，sin xA. B．－ C. D．－
跟踪训练3　(1)(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A． x∈R，－x2－1<0
B． n∈Z， m∈Z，nm＝m
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x，使得＝
(2)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2≥2n＋5
B． n∈N，n2≤2n＋5
C． n∈N，n2<2n＋5
D． n∈N，n2＝2n＋5
(3)若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．
基础夯实
1．“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知命题p： x∈Q，使得x N，则綈p为(　　)
A． x Q，都有x N B． x Q，使得x∈N
C． x∈Q，都有x∈N D． x∈Q，使得x∈N
3.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知命题p： x∈(0，1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a＞1 B.a≥e C.a≥1 D.a＞e
5.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若关于x的不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
7.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
9.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.命题p： x∈R，x2＋＞4，则綈p为(　　)
A. x∈R，x2＋≤4
B. x R，x2＋≤4
C. x∈R，x2＋≤4
D. x R，x2＋＞4
11．已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．命题“ 1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
13．已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
14．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D．命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是“ x∈R，x＋2>0”
15．(多选)若“ x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．3
16.(多选)下列命题中是真命题的有(　　)
A. x∈R，log2x＝0
B. x∈R，cos x＝1
C. x∈R，x2＞0
D. x∈R，2x＞0
17．已知命题“ x∈{x|－218．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．
19.命题“ x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定为__________________________.
20.设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
21.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
22.已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________.
23．命题“ x∈，sin x24．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
优化提升
25．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
27.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
28.(多选)下列四个命题中，为假命题的是(　　)
A. x∈(0，1)，2x＝
B.“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1＜0”
C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件
29．(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0,3]
30.已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
31.已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).
(1)若 x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；
(2)若 x1∈[2，＋∞)， x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.
32．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．BD　2.C　3.(3，＋∞)
【知识归纳】
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2．(1) 　(2)
3． x∈M，p(x)　 x∈M，p(x)　 x∈M，綈p(x)
【题型展示】
例1 (1)B
(2)B
跟踪训练1 (1)AC　(2)A
例2 解　(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，
得x2－4x＋3<0，解得1所以B＝{x|1又A＝{x|－2所以A∩B＝{x|1(2)由x2－2mx＋m2－1<0，
得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，
所以m－1所以B＝{x|m－1由p是q的必要不充分条件，
得集合B是集合A的真子集，
所以 －1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，
所以m的取值范围为[－1,2]．
跟踪训练2 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}
＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若选①A∪B＝B，则A B，
所以解得－1即a∈(－1,1)；
若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，所以
解得－1若选③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则A B，所以
解得－1例3 AD
例4 B
例5 D
跟踪训练3 (1)ABC
(2)C
(3)(－∞，－1)∪(3，＋∞)
基础夯实
1．B　
2.C　
3.A
4.B
5.A
6.D
7.B
8.A
9．B
10.A
11.C　
12.B　
13.B　
14.CD
15．AB
16.ABD
17．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
18.
19. x∈(1，＋∞)，x2＋x＞2
20.充分不必要
21.－1＜k＜3
22.(－∞，－2]
23． x∈，sin x≥cos x
24．x<－1(答案不唯一)
优化提升
25．B
26．C
27.BC
28.BC
29．AB
30.(0，2]
31.(1)[3，＋∞)　(2)(1，]
32．乙