高中数学人教版（2019）第1部分第4节《基本不等式》（含解析）-2025届高考一轮复习-基础摸查 基础夯实 优化提升

第1部分第4节《基本不等式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
3．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
【知识归纳】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立．
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)＋≥ (a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【题型展示】
题型一　利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1　(1)设0(2)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)
A．2 B．2＋2
C．2 D.＋2
命题点2　消元法
例2　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
命题点3　常数代换法
例3　已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　)
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
跟踪训练1　(1)已知x>1，则y＝的最大值为________．
(2)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是(　　)
A．ab有最小值
B．8＋8有最大值8
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
题型二　基本不等式的常见变形应用
例4　(1)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
(2)若0A．b>>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
跟踪训练2　已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
题型三　基本不等式的实际应用
例5　某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
跟踪训练3　中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
___________________________________________________________
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
___________________________________________________________
基础夯实
1．下列函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝
C．y＝ex＋e－x
D．y＝sin x＋
2.已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.2
3.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
4.设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　)
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
5.下列等式中最小值为4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋
6．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lg a＋lg b的最大值为(　　)
A．0 B. C. D．1
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12 C．9 D．6
8．已知a，b为正实数，a＋b＝3，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
9.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是(　　)
A.6 B. C.4 D.
10．(多选)设a＝log23，b＝log2，则下列关系正确的是(　　)
A．ab> B．ab<
C.> D．ab>
11．(多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．0<≤ B.＋≥1
C．log2a＋log2b<2 D.≤
12.(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　)
A.y＝sin x＋
B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1)
C.y＝
D.y＝4x＋4－x
13.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________.
14.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
15.命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
16．已知a，b为正实数，且2a＋b＝1，则＋的最小值为________．
17．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
18.(1)当x＞1时，求2x＋的最小值；
(2)当x＞1时，求的最小值.
19.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
20．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)已知021．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
优化提升
22.已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.2＋
C.4 D.2＋2
23.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
24.已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tan α的最大值为(　　)
A. B. C. D.
25.(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
26．(多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
27．若a>0，b>0，则(a＋b)2＋的最小值为________．
28.(1)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.25　3.1
【知识归纳】
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b
(3)　
2．(1)2ab　(2)2　(3)2
(4)2
3．(1)2　(2)S2
【题型展示】
例1 (1)　(2)D
例2 6
例3 A
跟踪训练1 (1)
(2)AD
例4 (1)D
(2)C
跟踪训练2 B
例5 12
跟踪训练3 解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为
15－0.1×100＝5(万套)，
供货单价为50＋＝52(元)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元)．
(2)设售价为x元，
则销售量为(15－0.1x)万套，
供货单价为元，
单套利润为x－50－＝元，
因为15－0.1x>0，所以0所以单套利润为
y＝x－50－
＝－＋100
≤100－2
＝80，
当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号，
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．
基础夯实
1．C　
2.D
3.C
4.D
5.C
6.A　
7.C　
8.A　
9.B
10.BCD
11．BD
12.AD
13.4＋2
14.8
15.(－∞，2＋2)
16.6
17．0　
18.解　(1)2x＋＝2＋2，
∵x＞1，∴x－1＞0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号.
(2)令y＝＝＝(x－1)＋＋2.
因为x－1＞0，所以y≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值为8.
19.解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2，
即xy≥8，即xy≥64，
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，
∴xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
20．解　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋
≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时，取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)因为0所以4－x2>0，
则y＝x＝≤＝2，
当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号，
所以y＝x的最大值为2.
21．解　(1)当0当x≥40时，W(x)＝700x－－300＝－＋9 150，
∴W(x)＝
(2)若0W(x)＝－10(x－30)2＋8 700，
当x＝30时，W(x)max＝8 700(万元)．
若x≥40，W(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950，
当且仅当x＝时，即x＝100时，取等号．
∴W(x)max＝8 950(万元)．
∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．
优化提升
22.D
23．C
24．A
25.BD
26．BC
27．4
28.解　(1)因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.
故＋＋的最小值为4.
(2)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋
≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.