2025届高考数学二轮复习：专题六 不等式（含解析）

专题六 不等式
典例分析
考查方式
不等式在高考中的考查方式非常灵活，既会单独考查不等式的性质和解法、基本不等式的应用等，又会作为解决问题的工具与高中数学所有知识点交汇命题. 命题的重点在于运用基本不等式确定最值、证明不等式、解答恒成立问题等，试题难度涵盖简单题和难题，体现了其基础性、工具性、适应性和创新性的特点. 在复习过程中，在掌握基础运算的同时还要能够在其他知识中灵活运用.
高考真题
1．[2022年 新高考Ⅱ卷]（多选）若x，y满足，则( )
A. B. C. D.
2．[2020年 新高考Ⅱ卷]（多选）已知，且，则( )
A. B.
C. D.
参考答案
1．答案：BC
解析：由基本不等式可得，，从而.结合题设条件，可得，以及，即，所以选项B和C正确.取，则，且，因此选项A不正确.取，，则，且，因此选项D不正确.故正确选项为B和C.
2．答案：ABD
解析：A项，，故A项正确；
B项，，因为，所以，所以，所以，故B项正确；
C项，，故C项错误；
D项，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，故D项正确.故本题正确答案为ABD.
重难突破
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，，若，则的最小值为( )
A.4 B. C.2 D.
3.设a，b为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
4.设，若，使得关于x的不等式有解，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
6.已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是( )
A. B.或
C.或 D.
7.已知，且，，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知满足的x使得恒成立，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元 B.260元 C.270元 D.280元
10.若，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，设矩形的周长为8cm，把沿向折叠，折过去后交于点P，记的周长为l，面积为S，则的最大值为( )
A. B. C. D.
13.（多选）已知，，若，则( )
A.的最大值为 B.的最小值为10
C.的最大值为2 D.的最小值为8
14.（多选）已知表示不超过x的最大整数，例如，，则下列说法正确的是( )
A.
B.若，则或或
C.，
D.不等式的解集为
15.（多选）已知，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
16.若，，则的取值范围为________.
17.已知，，且，则的最小值为________.
18.如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为_________m.
19.设为实数a，b，c中最大的数.若，，，，则的最小值为________________.
20.对于，满足恒成立，则a的取值范围为____________.
21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当时，地铁为满载状态，载客量为400人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为.
(1)求的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？
22.已知函数.
（1）若关于x的不等式的解集为或，求关于x的不等式的解集；
（2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数t的值.
23.某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.
24.已知a，b，，关于x的一元二次不等式的解集为.
（1）求b，c的值；
（2）解关于x的不等式.
25.中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2024年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年每产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，且知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
（1）记2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），求的函数解析式；
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，或，.故选：B.
2.答案：A
解析：由，可得，所以，所以，
当且仅当取等号，所以的最小值为4.故选：A.
3.答案：B
解析：由题意可知，，即A错误，B正确；
若，，即C、D错误.故选：B
4.答案：B
解析：关于x的不等式有解等价于在上有解，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，即，
所以.故选：B
5.答案：D
解析：令，，，满足，不满足，故A错误，
当，，时，，，不满足，故B错误，
当，时，满足，不满足，故C错误，
若，，则一定成立，又，所以，故D正确.
故选：D
6.答案：A
解析：关于x的一元二次不等式的解集为，则，且-2，7是一元二次方程的两根，于是解得则不等式化为，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A.
7.答案：C
解析：因为，所以，
又因为，
当且仅当时取最小值9，
所以的最小值为5.故选：C.
8.答案：A
解析：由，求出，在上恒成立，
，当时，，，
当时，，
其中，当且仅当时，等号成立，故，
综上，a的取值范围为.故选：A.
9.答案：C
解析：依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
.
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，
所以，即，解得.
因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.
故选：C.
10.答案：C
解析：设，其中m、，
则，
所以，，解得，
所以，，
因为，，
所以，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是.
故选：C.
11.答案：C
解析：对于A ，由可得，
又， 所以，即，
当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B， 由可得， 即，所以，
当且仅当时等号成立，即B错误；
对于C， 由可得，
所以可得， 即，
当且仅当时等号成立，即C正确；
对于D ，易知，
即；当且仅当时等号成立，可得D错误；
故选：C.
12.答案：A
解析：因为矩形的周长为8cm，
设，则，故，得，
因为，，，
所以，设，则，，
所以的周长为，
在直角中，由勾股定理得，解得，
则，所以，
令，则，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
13.答案：AD
解析：对于A，，，，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
14.答案：ACD
解析：对于A，，所以，故A正确；
对于B，由，得且.
因为为整数，所以或或或，故B错误；
对于C，由于，则，设，则，
若，则，
若，则，
所以，，故C正确；
对于D，得，解得，
由，得；由，得，所以不等式的解集为，
故D正确.
故选：ACD
15.答案：AB
解析：由，得，
即，又，
则，即，故A正确；
因为，
所以，
即，
又因为，，
所以，故B正确；
假设，，满足，，
此时，，不成立，故C错误；
假设，，，
满足，，，
此时，，不成立，故D错误；
故选：AB.
16.答案：
解析：因为，，所以，则.
17.答案：或2.25
解析：因为，，且，
所以
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
18.答案：4
解析：设正方形的边长为xm，则正方形的面积为，
四个相同的矩形（即阴影部分）的面积为，
四个空角的面积为.
设总造价为W元，
则.
，即，即，解得，
故正方形周长的最小值为4m.故答案为4.
19.答案：2
解析：设，
则，，，
因为 ，当时，只需考虑，，
又因为，，
两式相乘得，可得，当且仅当时取等号，
当时，，只需考虑，，
两式相乘得，
则，当且仅当时取等号，
因为，故，综上所述，A的最小值为2.
故答案为：2.
20.答案：
解析：因为，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立；
当时，的图象恒在的图象下方，
又，
则由，得，
则，即，解得或，
则由，得，
则，即，解得或，
因为，所以，
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
21.答案：(1)，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368人.
(2)当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.
解析：(1)当时，设，则，解得.
由题意可得.
所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为（人）.
(2)当时，
（元），
当且仅当时，等号成立；
当时，，此时函数单调递减，
则，当且仅当时，等号成立.
综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大.
22.答案：（1）；
（2）或3.
解析：（1）由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得，，，
故变形为，
解得，故不等式的解为
（2）当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或，
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得，
综上：或3.
23.答案：(1)左面墙的长度为10米
(2)
解析：(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为米，
则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当时，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元.
(2)由题意可知，，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
当且仅当时，即时，取最小值，
则，即a的取值范围是.
24.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两解为和，
所以解得
（2）由（1）得关于x的不等式，即，
因式分解得.
①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
②当时，原不等式为，解得或，所以不等式的解集为；
③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
④当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
⑤当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为.
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
25.答案：（1）；
（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
解析：（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.