2025届高考数学二轮复习：专题四 平面向量（含解析）

专题四 平面向量
典例分析
考查方式
平面向量在高考中更注重基础，时有创新. 平面向量以选择题、填空题为主，主要考查平面向量的基本概念、线性运算、数量积，其中平面向量的线性运算、数量积、向量共线、向量垂直、向量的模及向量的夹角问题是重点和热点，平面向量大多单独考查，有时也出现平面向量与其他知识的交汇问题，或以平面向量为载体的综合探究题.
高考真题
1．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知向量，，，若，则( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B. C. D.1
3．[2022年 新高考Ⅰ卷]在中，点D在边AB上，.记，，则( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知向量，，若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知向量，.若，则( )
A. B. C. D.
6．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足，，则___________.
参考答案
1．答案：C
解析：，，即，解得，故选C.
2．答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
3．答案：B
解析：如图，因为点D在边AB上，，所以，故选B.
4．答案：D
解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.
解法二：因为，，所以.因为，所以，所以，所以，解得，故选D.
5．答案：D
解析：因为，，所以，，因为，所以，所以，整理得.故选D.
6．答案：
解析：由，得，即①.由，得，整理得，，结合①，得，整理得，，所以.
重难突破
1.在矩形中，，，则向量的长度等于( )
A.4 B. C.3 D.2
2.已知向量，.若a与b反向共线，则的值为( )
A.0 B.48 C. D.
3.在中，点P在上，且，点Q是的中点，若，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B. C. D.1
5.已知点，，，若，点当P在第一、三象限的角平分线上时，的值为( )
A.1 B.2 C. D.
6.已知向量a，b满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知A，B，C是平面内不共线的三个点.若，，则一定是( )
A.直角（非等腰）三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.锐角（非等腰）三角形
8.若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.现已知向量a在基底，下的坐标为，则a在另一组基底，下的坐标为( )
A. B. C. D.
9.在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于( )
A. B. C. D.
10.我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，，，则( )
A. B. C. D.
11.在中，，，所对的边分别为a，b，c，若，，且D是BC边上的动点（不含端点），则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知中，，，，，，则的最小值为( )
A.3 B.5 C. D.
13.（多选）设a，b是两个非零向量.若，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.a在b上的投影向量为b D.
14.（多选）已知，，，，则( )
A.
B.若，则，
C.若点A是BD的中点，则B，C两点重合
D.若点B，C，D共线，则
15.（多选）如图，在中，，，与BE交于点F，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
16.已知，，若，则实数的值为___________.
17.设点O在的内部，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则__________.
18.如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，E为线段BC的中点，若，则________ .
19.已知平面单位向量，，满足.设，，向量a，b的夹角为，则的最小值是__________.
20.如图，在矩形中，M，N分别为线段，的中点，若，，，则的值为___________.
21.已知在平面直角坐标系中，点，，.
（1）求t的值；
（2）若点P，Q满足，，O为坐标原点，求的最小值.
22.如图，在平行四边形中，，垂足为P.
（1）若，求的长；
（2）设，，，，求的值.
23.已知向量以为基底的分解式为，其中，.
（1）求m，n的值；
（2）若，且，求实数k的值.
24.如图，在中，AD是BC边上的中线.
（1）取BD的中点M，试用和表示.
（2）若G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若，（，），求的最小值.
25.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边CD上.
（1）若，F是边CD上靠近C的三等分点，求的值；
（2）若，当时，求CF的长.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在矩形中，由，可得，又因为，故，故，故选：A.
2.答案：C
解析：由题意得，解得，又a与b反向共线，故，此时，故.故选C.
3.答案：B
解析：点Q是的中点，，，，，
，，.
4.答案：B
解析：由，得，所以.将的两边同时平方，得，即，解得，所以，故选B.
5.答案：D
解析：设点P的坐标为，则，
，
又点P在第一、三象限的角平分线上，，即，解得.故选：D.
6.答案：D
解析：由题可得①，②，①②两式联立得，，，而，.故选D.
7.答案：B
解析：设，则根据平行四边形法则知，点P在BC边上的中线所在的直线上.设，，它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以一定是等腰三角形，不能确定是等边三角形.故选B.
8.答案：D
解析：因为a在基底下的坐标为，所以.
令，所以解得所以a在基底下的坐标为.
9.答案：A
解析：因为M是的中点，所以，
又因为点P在上且满足，，所以，，
所以.
故选：A.
10.答案：B
解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，所以，解得，所以.故选B.
11.答案：C
解析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，
所以，，，设，，
则，，，
所以，
因为，所以，所以的取值范围是.故选C.
12.答案：C
解析：设点O为BC上的一点，令，即，当时，取最小值3，此时根据勾股定理可得，由此可知为等边三角形，当点O为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，，，所以，，所以，，所以，故.
因为，所以，则，
.
因为，所以当时取最小值，.故选C.
13.答案：ABC
解析：因为，所以，所以，所以选项A正确；因为，所以，所以，所以选项B正确；a在b上的投影向量为，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选ABC.
14.答案：ACD
解析：因为，，，所以，A正确；
因为，所以，所以，取，则，
B不正确；
因为点A是BD的中点，所以，即，，从而有，所以B，C两点重合，C正确；
因为点B，C，D共线，所以存在实数t，使得，所以，D正确.
综上所述，正确选项为ACD.
15.答案：BCD
解析：，故A错误；
因为B，F，E三点共线，所以存在实数使得，
因为A，F，D三点共线，所以存在实数使得，从而有解得即，所以F为BE的中点，从而有，故B正确；
，，
所以，故C正确；取AB的中点G，BC的中点H，连接GH，如图，则G，F，H三点共线，
所以
，故D正确.故选BCD.
16.答案：-1或
解析：因为，，.
所以，即，解得或.故实数的值为-1或.
17.答案：2
解析：如图所示，易知.
18.答案：/1.25
解析：因为，即，所以.
又E为线段BC的中点，所以，所以，，则.
故答案为：
19.答案：
解析：由题可知
从而
由①②可得
代入③可得，
从而，
所以，故的最小值为.
20.答案：
解析：因为M，N分别为线段，的中点，
所以，
，
，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
21.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，则，
解得.因为，所以.
（2）由题意得，则，
所以，
则，
所以，
即的最小值为.
22.答案：（1）2
（2）
解析：（1）在平行四边形中，，垂足为P，
，
，
解得，故长为2.
（2），且B，P，O三点共线，
①，
又，，，
则，
由可知，
展开，化简得到②，
联立①②解得，，故.
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题得
，
则解得
（2）由（1）得.
由，设，
即，则解得.
24.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，D为BC的中点，所以，
又M为BD的中点，
所以.
（2）由，，（，），得，，
所以.
又因为E，F，G三点共线，设，
则，即，
所以，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
25.答案：（1）
（2）
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）因为E是BC的中点，所以，
又，所以.
因为F是CD上靠近C的三等分点，
所以，所以，
所以.
（2）当，时，，，，
因为E是BC的中点，所以.设，，
则，.
由得，
解得，所以，
所以.