2025届高考数学二轮复习：专题二 函数与导数（含解析）

专题二 函数与导数
典例分析
考查方式
函数在高考中有举足轻重的地位，是高中阶段的重点内容，更是每年高考的热点，试题考查形式新颖，难度以中到难题为主，主要考查函数的概念及其表示，基本初等函数比大小，函数图象的识别与应用，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用（高频考法）. 复习过程中，要深化理解函数的概念、图象、性质等内容，能够利用函数性质灵活解题，应用数形结合法提高解题效率.
导数一直是高考中的热点，简单题主要考查利用导数求值、导数的几何意义，中、难题主要考查利用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）、利用导数解决函数的零点问题、构造函数并利用导数比较大小、利用导数解决恒成立及存在性问题等，试题有一定的综合性，在解答题中往往作为压轴题出现，与数学思想方法紧密结合，能够较好地体现考生的区分度. 复习过程中，要加强数形结合思想和分类讨论思想在解决导数问题时的应用.
高考真题
1．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.1
2．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( )
A.-1 B. C.1 D.2
5．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设函数，则( )
A.是的极小值点 B.当时，
C.当时， D.当时，
6．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
7．[2024年 新课标Ⅰ卷]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.
8．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
9．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则
，故选C.
2．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.
3．答案：B
解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.
4．答案：D
解析：解法一：令，即，可得，令，，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.
解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，，又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
5．答案：ACD
解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.
当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.
当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.
当时，，所以，所以D正确.综上，选ACD.
6．答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
7．答案：
解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，则，
则.
，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）易知函数的定义域为R，.
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的极小值为.
由题意知，等价于.
法一：令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，故当时，；当时，.
故实数a的取值范围为.
法二：由，得.
如图为函数与在区间上的大致图象，
由图易知当时，，即.
所以实数a的取值范围为.
9．答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2）
，
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，
此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，
令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.
综上，b的取值范围为.
重难突破
1.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.若是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物.如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )
A.4h B.6h C.8h D.12h
6.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
9.若对任意的，且，都有，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.记表示a，b二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知可导函数的定义域为R， 为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A.-1012 B.-506 C.506 D.1012
12.已知，，，当时，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
13.（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则( )
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C. D.
14.（多选）星形线（如图）又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，是它的一种表达式，下列有关说法正确的是( )
A.星形线关于直线对称
B.星形线围成的区域面积小于2
C.星形线上的点到x轴，y轴距离乘积的最大值为
D.星形线上的点到原点距离的最小值为
15.（多选）已知函数与的导函数分别为与，且，，，的定义域均为R，，，为奇函数，则( )
A. B.为偶函数
C. D.
16.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为________.
17.定义域为R的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为__________.（从大到小排列）
18.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是__________.
19.设若不等式对任意恒成立，则k的取值范围是_________.
20.若对任意，都有（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为__________.
21.已知函数且.
（1）若，求的值；
（2）若在上的最大值为，求a的值.
22.为了做好流感预防工作，某学校要求全校各班级每天利用室外课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系为（a，b为常数），其图象经过点，，根据图中提供的信息，解决下面的问题.
（1）求从药物释放开始，y与x的函数关系式.
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，才能保证对人身无害，若该校室外课间操时间为，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.
23.对于函数，若其定义域内存在实数x满足，则称为“伪奇函数”.
（1）若函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由.
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围.
（3）是否存在实数m，使得是定义在R上的“伪奇函数”？若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
24.已知函数与函数有相同的最小值.
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集.
25.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由.
（3）若在上存在极值，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，，可得，即或.即.故选：C.
2.答案：A
解析：由题知，，，
则，因为在上单调递增，所以解得或.故选：A.
3.答案：D
解析：因为在R上单调递减，则，即；
又因为在上单调递减，则，即；
可得，且在上单调递增，
则，即；综上所述：.故选：D.
4.答案：A
解析：当时，为增函数，
又是定义在R上的奇函数，当时，，故在R上为增函数.
故则，
故，即，解得.故选；A
5.答案：C
解析：依题意得，当时，，
当时，，则，
可得，即，所以，
当时，解得，
故至少需要过滤8h才能达到排放标准.
6.答案：B
解析：函数的定义域为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
且，，
因为，
所以，所以只有B符合.
故选：B.
7.答案：C
解析：由在上单调递减，得，
又由且在R上单调递减，
得，
解得，所以，
作出函数且在R上的大致图象，
由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当，即时，
联立，即，
则，解得：，
当时，即，由图象可知，符合条件.
综上：.
故选：C
8.答案：A
解析：由函数，可得，
所以
且
曲线在点处的切线方程
因为曲线在点处的切线方程为
所以，可得，，
令，可得，
即，解得，
所以函数在内的单调递减区间是.
故选：A
9.答案：D
解析：由题可知，，因为，且，所以，两边同时除以得，，即，设函数，其中.因为当时，，所以在上单调递减.，令，得，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以.
10.答案：A
解析：在R上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，即在区间上的值域为.
，
令，得，
解得或，
画出，的图象如图所示，
若，，使得成立，
则需要在上的值域包含在上的值域，
则，解得，即a的取值范围是.
故选：A.
11.答案：D
解析： 为奇函数，，两边求导得，
，可知关于直线对称，
又为奇函数，则，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8为的周期，
可知，，，
所以
.故选：D
12.答案：D
解析：当时，不等式恒成立，
设，，则，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，时，时，
故在上有两个零点，记为，，
显然或时，时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
故，，
又，所以，所以，所以，
令，则，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选：D.
13.答案：BC
解析：由，，得，即，所以在上单调递减.又，是定义在上的奇函数，所以是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，故A错误；因为，所以，所以，所以在上单调递减，故B正确；因为时，恒成立，所以令，代入上式得，即，故C正确.又是定义在上的奇函数，所以，所以，故D错误.
14.答案：ABD
解析：对于A，把方程中的x与y互换，方程不变，所以星形线关于直线对称，故A正确；对于B，曲线围成的区域面积为2，星形线围成的区域除点，，，外，均在曲线围成的区域内部，所以星形线围成的区域面积小于2，故B正确；对于C，由，当且仅当时等号成立，得，即星形线上的点到x轴，y轴距离乘积的最大值为，故C错误；对于D，，当且仅当时取等号，所以星形线上的点到原点距离的最小值为，故D正确.故选ABD.
15.答案：ACD
解析：对于A，因为为奇函数，所以，
令，得，故A正确；
对于B，由，得，又，
，即，
，
又的定义域为R，故为奇函数，故B错误；
对于C，由，，可得为常数），
，又，
，
，，
，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；
对于D，，令，得，则，
再令，得，又是周期为8的函数，所以，
，，又，
，故D正确.
故选：ACD.
16.答案：
解析：因为是R上的减函数，所以，解得，
所以a的取值范围是，
故答案为：.
17.答案：
解析：因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，则，即，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
由，
由，根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在R上单调递增，则.
由函数在上单调递减，则，即.
18.答案：
解析：由，得.令，，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.故在上有最大值，为，且，.令，，则在上单调递减，故的值域为.由题意得对任意的，总存在唯一的，使得成立，故，因此解得.所以实数a的取值范围是.
19.答案：
解析：对任意时恒成立，
即对任意时恒成立，
对任意时恒成立，只需，
令，由得，设
当即时，取得最小值，，
的取值范围为.
20.答案：
解析：因为对任意，恒成立，所以有恒成立.令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.
21.答案：（1）
（2）或3
解析：（1）因为的定义域为R，
，
所以为奇函数，故.
（2）.
若，则在R上为减函数，在R上为增函数，可得在R上为减函数，
当时，，解得，符合题意.
若，则在R上为增函数，在R上为减函数，可得在R上为增函数，
当时，，
解得，符合题意.
综上，a的值为或3.
22.答案：（1）
（2）学校可以选用这种药物用于教室消毒
解析：（1）依题意，当时，设.
因为函数的图象经过点A，所以，解得.
又当时，，所以.
又图象过点B，则，
因此，
所以
（2）由（1）知，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，
有，即，所以，解得.
因此至少需要后才能保证对人身无害，而室外课间操时间为，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.
23.答案：（1）不是“伪奇函数”，理由见解析
（2）
（3）实数m的取值范围为
解析：（1）因为，所以，
则，
因为恒成立，故不存在x使得，即不存在x使得，
所以不是“伪奇函数”.
（2）因为是幂函数，则，所以，故，
所以，则，
所以在上有解，
则在上有解.
因为，所以.
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值2，
又当和时，，所以，
故当时，，
所以实数m的取值范围为.
（3）由定义可得，有解，
则关于x的方程有解，
所以关于x的方程有解，
令，则，则关于t的方程在上有解.
令，其图象的对称轴为直线.
①当时，有，得；
②当时，有即
解得.
综上，实数m的取值范围为.
24.答案：（1）
（2）
解析：（1），定义域为，.
若，则恒成立，在上单调递减，
所以没有最小值，不满足题意，所以.
由可得.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
，定义域为R，.
由，可得.
当时，有，所以在上单调递减；当时，有，所以在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，.
由已知可得，，
即.
设，，
则.
设，则，
由，可得.
当时，有，所以，即在上单调递减；当时，有，所以，即在上单调递增.
所以在处取得唯一极小值，也是最小值，
，
所以恒成立，在上单调递增.
又，
所以在上有唯一解，
即解方程，可得.
（2）由（1）知，，则不等式可化为.
令，则.
①当时，有，
所以，所以恒成立，不满足题意；
②当时，由（1）可知，的最小值为0，
所以，即，
所以，
所以在上单调递增.
又，所以的解集为.
综上所述，的解集为，
所以不等式的解集为.
25.答案：（1）
（2）存在，，
（3）
解析：（1）当时，，
则，
所以，
又，所以所求切线方程为，即.
（2）假设存在a，b，使得曲线关于直线对称.
令.
因为曲线关于直线对称，所以，
即，
于是得
当，时，，
，
所以曲线关于直线对称，满足题意.
故存在a，b，使得曲线关于直线对称，且，.
（3）
.
设，则，
①当时，，当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即，
所以在上单调递减，无极值，不满足题意.
②当时，，当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以在上单调递增，无极值，不满足题意.
③当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，所以存在，使得，
即当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时有极小值点.
综上所述，a的取值范围为.