2025届高考数学二轮复习：专题五 数列（含解析）

专题五 数列
典例分析
考查方式
数列是每年高考的必考内容，考查重点是等差数列、等比数列的基本运算，数列的通项与数列求和. 新高考数学比起把数列内容作为独立知识板块考查，更呈现出将其融入函数主线的趋势，重视函数内容与数列内容的融合应用和数列模型的实际应用，体现了高考命题的基础性、创新性与综合性. 由此，在复习过程中学生必须深刻理解基础知识，掌握基本方法，灵活运用所学知识解题，更要注重函数思想、等价转化思想、分类讨论思想等数学思想在解题时的应用.
高考真题
1．[2023年 新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
2．[2023年 新课标Ⅰ卷]记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．[2024年 新课标Ⅱ卷]记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
4．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，.
5．[2023年 新课标Ⅰ卷]设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求d.
6.[2024年 新课标Ⅰ卷]设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分数列.
（1）写出所有的，，使得数列，，…，是可分数列；
（2）当时，证明：数列，，…，是可分数列；
（3）从1，2，…，中一次任取两个数i和，记数列，，…，是可分数列的概率为，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：解法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
解法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
2．答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.
3．答案：95
解析：法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
4．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为，
所以，，.
因为，，
所以，
整理得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以.
当n为奇数时，
.
当时，，
所以.
当n为偶数时，
.
当时，，
所以.
综上可知，当时，.
5．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
所以，所以，所以.
因为，所以，
所以，
.
因为，所以，解得或，
因为，所以.所以的通项公式为.
（2）因为，且为等差数列，所以，即，
所以，所以，
解得或.
①当时，，所以，
，
.
因为，所以，即，
解得或（舍去）.
②当时，，所以，
，
.
因为，所以，即，
解得（舍去）或（舍去）.
综上，.
6.答案：（1），，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（2）证明：当时，删去，，其余项可分为以下3组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，
当时，删去，，其余项可分为以下m组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，，，，为第4组，，，，为第5组，……，，，，为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列，，…，是可分数列.
（3）证明：易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.
当时，删去，，
其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，
故数列1，2，…，是可分数列，可分为，…，，…，，…，.p，q的可能取值方法数为.
易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.
当时，删去，，
将与从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列.
考虑，，，…，，是否可分，等同于考虑1，3，4，…，，是否可分，其中，可分为，，，…，，，每组4个数都能构成等差数列.
故数列1，2，…，是可分数列，p，q且的可能取值方法数为.
从而.
重难突破
1.已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则( )
A.60 B.54 C.42 D.36
2.在各项均为正数的等比数列中，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知数列满足，，则( )
A.-1 B. C.2 D.3
4.在等比数列中，，，则( )
A.64 B.128 C. D.
5.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式.已知该报告厅共有15排座位，共有390个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为( )
A.12 B.26 C.40 D.50
6.已知数列为有穷整数数列，具有性质p：若对任意的，中存在，，，…，（，，），使得，则称为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是( )
A.1，1，1 B.1，1，2 C.1，3，1 D.2，3，6
7.已知数列是正项数列，且，则( )
A.216 B.260 C.290 D.316
8.已知等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.51 B.34 C.17 D.1
9.记为正项等比数列的前n项和，若，，则( )
A.6 B.9 C.12 D.15
10.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为( )
A. B. C. D.
11.若函数的定义域为，且，则( )
A. B. C. D.
12.已知在无穷数列中，，，…，是首项为10，公差为-2的等差数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列（，），对任意，均有成立.若，则m的所有可能取值的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.（多选）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
14.（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的有( )
A.为等比数列 B.的通项公式为
C.为递增数列 D.的前n项和
15.（多选）对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，数列的前n项和为，则
D.若，，则
16.已知数列的前n项和，，则_________.
17.已知是等差数列的前n项和，且，，则_________.
18.对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______.（结果保留指数形式）
19.设为数列的前n项积，若，其中常数，数列为等差数列，则_____.
20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为________.
21.设数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
22.已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前n项和.
23.已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
24.已知数列满足：，，数列的前n项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数t的取值范围.
25.给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”；若对任意m，且，是中的项，则称为“J数列”.
(1)设数列的前n项和为，若，试判断数列是否为“J数列”，并说明理由；
(2)设数列既是等比数列又是“J数列”，且，，求公比q的所有可能值；
(3)设等差数列的前n项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“H数列”.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由等比数列的性质可知，因为，所以，，
所以.
故选：C.
2.答案：C
解析：因为数列为等比数列，且，
所以，
所以.
故选：C
3.答案：B
解析：因为数列满足，，所以，
所以，，，，
所以是周期为3的周期数列，又，所以.
故选：B.
4.答案：B
解析：由题意得，得，则.
由，得.
所以.
故选：B.
5.答案：C
解析：根据题意，把各排座位数看作等差数列，
设等差数列通项为，首项为，公差为d，前n项和为，则，
，
所以，即得，
故选：
6.答案：B
解析：选项A中，，和不可能为4，A不是4-连续可表数列；
选项B中，，，，，B是4-连续可表数列；
选项C中，没有连续项的和为2，C不是4-连续可表数列；
选项D中，没有连续项的和为1，D不是4-连续可表数列．
故选：B．
7.答案：A
解析：令，得， .
当时，.
与已知式相减，得.
，又时，满足上式，
.
， .
故选：A
8.答案：C
解析：设等差数列的首项为，公差为d，
所以由，可得：，
解得：，
所以.
故选：C.
9.答案：B
解析：设正项等比数列的公比为q，
由题意知，，
所以，，成等比数列，
所以，即，
解得（舍负）.
故选：B.
10.答案：C
解析：设经过n小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.
又，，所以，，则，，
所以，所以.
11.答案：C
解析：由，
可得，
当时，数列是公差为2的等差数列，首项为，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
12.答案：A
解析：因为，，…，是首项为10，公差为的等差数列，所以，.，，…，是首项为，公比为的等比数列，所以，.因为，且只可能是等比数列中的项，所以，所以，所以，且.因为对任意，均有成立，所以数列是以2m为周期的数列，所以，即.当时，，即m的所有可能取值有4个.故选A.
13.答案：AB
解析：若公比有，，，
此时，故公比，
由题意，
化简有，两边同时乘以，可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
选选：AB.
14.答案：ABD
解析：因为，，所以，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B正确；，因为，所以，，，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.
15.答案：ABD
解析：A.，；
B.，，；
C.，，又时，，
D.，，，…，，
，，，
，
，，.又时也成立，
，.又，
，
综上，故选：ABD.
16.答案：9
解析：因为数列的前n项和，
所以，
所以.
故答案为：9
17.答案：145
解析：由，及，，
可得：，，
所以，即，
所以，
所以，
故答案为：145
18.答案：.
解析：因为，数列的“和数列”的通项公式为，
所以数列，
，
故答案为：.
19.答案：1或2
解析：当时，，，
所以.
由数列为等差数列，则为常数d，
①若，则恒成立，即恒成立，；
②若，则，解得
综上所述，或.
20.答案：5
解析：由，，
得，，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则，
因为数列为“数列”，设公比为q，所以，，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
当，，单调递增；
当，，单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，经检验知也成立，
因此所求m的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，
从而且，所以q不存在，所以，
综上，所求m的最大值为5.
故答案为：5
21.答案：(1)，
(2)，
解析：(1)由，得，
两式相减得，即.
因为，所以，得，满足.
所以是首项为8，公比为4的等比数列，，.
(2)因为，
所以.
所以.
故数列的前n项和为，.
22.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q，，
因为，，成等差数列，
所以，即，
化简可得，解得.
又，所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
则，①，
，②
①-②得，
所以.
23.答案：(1)，
(2)证明见解析
解析：(1)，故当时，；
当时，，满足上式，
所以，.
又，，
数列为等差数列，令其前n项和为，
则，
，
公差，
，.
(2)由(1)知：，
故，；
.
24.答案：（1），；
（2）或
解析：（1）对：由，且，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.
所以.
对：前n项和为.
当时，；
当时，，
时，上式亦成立.
所以.
（2）因为.
所以
.
由已知或.
25.答案：(1)是，理由见解析
(2)q的所有可能值为2，，.
(3)证明见解析
解析：(1)因为，
当时，，
当时，也成立，
所以，
所以对任意m，且，，
是“J数列”
(2)因为，，数列是等比数列
所以，且，
由已知得也为数列中的项，
令，得，
即，
即得，
所以，
因为且
故q的所有可能值为2，，8.
(3)设数列的公差为d，
所以存在，对任意，，
即，
当时，则，故，此时数列为“H数列”；
当时，，
取，则，
所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，
即，
所以任意m，且，，
显然，
所以为数列中的项，
所以是“H数列”.