(人教A版数学必修一讲义)第4章第06讲4.5.2用二分法求方程的近似解(知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第06讲 4.5.2用二分法求方程的近似解
课程标准 学习目标
①理解运用二分法逼近方程近似解的数 学思想。 ②了解二分法只能用于求变号零点的方法。 ③借助数学工具用二分法求方程的近似解。 ④能解决与方程近似解有关的问题。 通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参数问题的处理。
知识点01：区间中点
对于区间，其中点
知识点02：二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )
【即学即练1】（2024高一·全国·课后作业）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
题型01二分法概念的理解
【典例1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024·四川雅安）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为 ．
【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）下列函数不能用二分法求零点近似值的为
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（多选）（23-24高一·全国·单元测试）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02确定零点（根）所在区间
【典例1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·广西·阶段练习）新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ．
【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．或都可以 B．
C． D．不能确定
【变式2】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 .
题型03用二分法求函数的零点的近似值
【典例1】（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（ ）
A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50
【典例3】（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【变式1】（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【变式2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
【变式3】（23-24高一上·辽宁大连·期中）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为 .
（参考数据：，，，.）
题型04二分法的过程
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ．
【典例3】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
【变式1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .
【变式2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ．
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 .
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（ ）
A．B．C． D．
3．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，，，则方程的解落在区间（　　）
四、解答题
13．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数.
(1)若，判断函数在上是否存在零点.若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出该零点存在的区间；若不存在，请说明理由.
(2)若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围.
14．（23-24高一·全国·课后作业）用二分法证明方程在区间（1，2）内有唯一的实数解，并求出这个实数解的一个近似值（精确度为0.1）.
参考数据：
x 1.125 1.1875 1.25 1.375 1.5
2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
B能力提升
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为（ ）
A．五 B．四 C．三 D．二
2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知.
(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1）
(2)设，求证：.
C新定义题型
1．（23-24高二·全国·课后作业）阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；
若否，则继续判断大于0还是小于0．
第三步：若，则；否则，令．
第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．
方法二：考虑的一种等价形式
变形如下：，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．
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第06讲 4.5.2用二分法求方程的近似解
课程标准 学习目标
①理解运用二分法逼近方程近似解的数 学思想。 ②了解二分法只能用于求变号零点的方法。 ③借助数学工具用二分法求方程的近似解。 ④能解决与方程近似解有关的问题。 通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参数问题的处理。
知识点01：区间中点
对于区间，其中点
知识点02：二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )
【即学即练1】（2024高一·全国·课后作业）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点左右附近，函数值必须改变符号，可以选出答案.
【详解】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.
故选：A．
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
【即学即练2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
【答案】BC
【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案.
【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的近似解在，，，内，又精确度0.1，
所以方程的近似解（精确度0.1）可取为2.52，2.55.
故选：BC
题型01二分法概念的理解
【典例1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
【典例2】（多选）（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据二分法的定义确定图象需满足的条件，依次判断各个选项即可.
【详解】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．
对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A错误．
对于BCD，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故BCD正确；
故选：BCD.
【典例3】（2024·四川雅安）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为 ．
【答案】2或或2
【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值.
【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，
当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意；
当，即时，此时为二次函数，
而有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数的图象与轴有1个交点，
即有两个相等实根，
所以，解得：或.
故答案为：2或.
【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）下列函数不能用二分法求零点近似值的为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：．
【点睛】本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件，属于基础题．
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二或多个小区间，
然后采用二分法逐步得到零点的近似值，
对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，
因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
【变式3】（多选）（23-24高一·全国·单元测试）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．
【详解】对于选项A，当时，，当时，，所以能用二分法求零点的近似值．
对于选项B，当时，，当时，，能用二分法求零点的近似值．
对于选项C，，故不能用二分法求零点的近似值．
对于选项D，，故不能用二分法求零点的近似值．
故选：AB．
题型02确定零点（根）所在区间
【典例1】（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，
由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，
又，所以零点在区间.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·广西·阶段练习）新课程互助学习小组在学习二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，先求出的符号，根据二分法结合零点存在定理，即可得出答案.
【详解】令，可知，.
又，则，
所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.
又，
所以，根据二分法结合零点存在定理可知，近似解所在的区间为.
故选：B.
【典例3】（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ．
【答案】
【分析】令，利用零点存在性定理，满足，即可找到零点所在区间.
【详解】令，因为在定义域内单调递增，
且，，，
因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取.
故答案为：
【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．或都可以 B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】借助二分法定义计算即可得.
【详解】，，
第一次取，有，
故第二次取，有，
故此时可确定近似解所在区间为.
故选：B.
【变式2】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.
【详解】显然函数在上是连续不断的曲线，
由于，所以，
由零点存在性定理可得：的零点所在区间为，
所以方程在区间内一定有根.
故选：C.
【变式3】（23-24高一上·重庆北碚·期末）用二分法求图象是连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到，，，则函数的零点落在区间 .
【答案】
【分析】因函数在给定区间上连续，且，，，故由零点存在定理即可判断零点所在区间.
【详解】因函数是连续不断的，且，又有，，，由，而，
根据零点存在定理知，函数的零点落在区间上.
故答案为：.
题型03用二分法求函数的零点的近似值
【典例1】（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.
【详解】由表格可得，函数的零点在之间．
结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.
故选：C.
【典例2】（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（ ）
A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50
【答案】BC
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值，根据四个选项可知选BC .
故选：BC
【典例3】（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【答案】
【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.
【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间，
结合题设要求，可得方程的一个近似解为.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案.
【详解】因为，所以不必考虑端点；
因为，所以不必考虑端点和；
因为，，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度0.1；
所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值），
根据四个选项可知：.
故选：C.
【变式2】（多选）（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58
【答案】BC
【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案.
【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的近似解在，，，内，又精确度0.1，
所以方程的近似解（精确度0.1）可取为2.52，2.55.
故选：BC
【变式3】（23-24高一上·辽宁大连·期中）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为 .
（参考数据：，，，.）
【答案】1.8/
【分析】根据零点存在性定理结合二分法分析求解.
【详解】由题意可知：，
，
又因为函数在上连续，
所以函数在区间上有零点，约为.
故答案为：1.8.
题型04二分法的过程
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.
【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点，
又由，则，
第一次用二分法，由，
因为，可得，即，可得，所以，
所以确定函数的零点所在区间为；
第二次用二分法，由，
因为，可得，即
所以，所以确定函数的零点所在区间为，
所以第二次求得的区间的中点值为.
故答案为：.
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数在内有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）时，则对区间至少需要的等分次数为 ．
【答案】4
【分析】根据二分法的知识进行分析，根据精确度来求得正确答案.
【详解】设函数的零点为，取区间的中点，
且，，，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
取区间的中点，且，
所以．
又，故至少需要等分4次．
故答案为：
【典例3】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
【答案】8
【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
若，即，故最少为8次.
故答案为：8.
【变式1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .
【答案】
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可.
【详解】设需要计算次，则满足，
即，由于，，
所以将区间等分的次数至少是次.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ．
【答案】/
【分析】根据二分法的定义可得出结论.
【详解】因为，，
取的中点，则，
所以，函数的零点在区间内，
故为区间的中点值，因此，.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度)的近似值，那么将区间等分的次数至少是 .此时规定只要零点的存在区间满足，则可用作为零点的近似值，由此求得 .
【答案】 5
【分析】根据二分法的计算过程可知，则；进而依次计算第一、二、三、四、五次的区间，由即可求解.
【详解】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过次操作后，区间长度变为，故有，即，
因为，所以.
故计算5次就可满足要求，所以将区间等分的次数至少是5次.
因为，所以第一次得到的区间为；
因为，所以第二次得到的区间为；
因为，所以第三次得到的区间为；
因为，所以第四次得到的区间为；
因为，所以第五次得到的区间为，
因为，
所以函数零点为.
故案为：5；.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二分法，可得答案.
【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，
由于，则第二次需计算，
故选：C．
2．（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案.
【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，
对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；
对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；
对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同，
故不可用二分法求交点横坐标；
对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；
故选：C
3．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，精确度为，则终止条件为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步骤即可得出答案.
【详解】根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为，
当时，即表示满足精度要求，可以确定近似解．
故选：B
4．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据二分法分析运算.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，
令，即，计算中点函数值的次数最少为7.
故选：B．
5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，用二分法求方程在区间内的近似解的过程中得到，，，则方程的解落在区间（　　）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】由题意可得为增函数，且，，故方程的解落在区间.
故选：B
6．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，
由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，
又，所以零点在区间.
故选：B.
8．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ）
A． B．2，3 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二分法的定义和题设条件，得出方程组，即可求解.
【详解】由函数，
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以函数在至多有一个零点，
又由依次确定了零点所在区间为，
可得，即，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用二分法的定义得到答案.
【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值，
则第二次所取区间可能是或.
故选：BD.
10．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（ ）
A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50
【答案】BC
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值，根据四个选项可知选BC .
故选：BC
三、填空题
11．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应取为 ．
【答案】
【分析】令，利用零点存在性定理，满足，即可找到零点所在区间.
【详解】令，因为在定义域内单调递增，
且，，，
因为，所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取.
故答案为：
12．（23-24高一上·湖南岳阳·阶段练习）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：
则精度为0.1的条件下方程的一个近似根为 .
【答案】0.625（答案不唯一，在范围内即可）
【分析】确定函数单调递增，根据，得到答案.
【详解】在上单调递增，根据题意，，
，满足精度要求.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数.
(1)若，判断函数在上是否存在零点.若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出该零点存在的区间；若不存在，请说明理由.
(2)若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)存在，区间为
(2)
【分析】（1）当时，可得，得到在上为单调递减函数，结合零点的存在定理和二分法，即可求解.
（2）由函数在上为单调递减函数，结合零点的存在定理，得到，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得，
则函数开口向上，对称轴为，所以函数在上为单调递减函数，
由，，可得，
所以函数在区间上存在唯一零点，
因为，所以，可得；
因为，所以，可得；
因为，所以，可得；
因为，所以，可得，
又因为，所以所求区间为.
（2）解：由函数在上为单调递减函数，
因为在区间上存在零点，所以，即，
解得，所以实数m的取值范围是.
14．（23-24高一·全国·课后作业）用二分法证明方程在区间（1，2）内有唯一的实数解，并求出这个实数解的一个近似值（精确度为0.1）.
参考数据：
x 1.125 1.1875 1.25 1.375 1.5
2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
【答案】证明见解析，近似值为1.2
【分析】设函数，则由零点存在性定理可得函数在区间（1，2）内有唯一的零点，即方程在区间（1，2）内有唯一的实数解，再根据二分法结合表中的数据可求得其解的近似值
【详解】设函数.
∵，，函数f（x）在其定义域内是增函数，
∴函数在区间（1，2）内有唯一的零点，
即方程在区间（1，2）内有唯一的实数解.
设方程的实数解为，则，
∵，∴，∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴.
∵，
∴，∴.
∵，∴可取，
∴方程的实数解的一个近似值为1.2.
B能力提升
1．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为（ ）
A．五 B．四 C．三 D．二
【答案】A
【分析】根据定义逐次求算，直到满足近似分数与实际值误差小于0.01即可.
【详解】第一次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意；
由，第二次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意；
由，第三次用“调日法”后得过剩近似值，不合题意；
由，第四次用“调日法”后得过剩近似值，不合乎题意，
由，第四次用“调日法”后得过剩近似值，合乎题意
即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五次，
故选：A.
2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知.
(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1）
(2)设，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解；
（2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论.
【详解】（1）由解析式知：在上递增，
，，
，则，
，则，
又，且，，
所以更接近于零点，故方程的近似解为.
（2）由题设，
故，且，
要证，只需，即，
由（1）知，显然成立，
综上，，得证.
C新定义题型
1．（23-24高二·全国·课后作业）阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，
则之间的任意值均为满足条件的近似值，其中，
取可取1.414
方法二：，，1，2，…，
不妨取，则，
，
，
其中，
显然，方法二的迭代速度更快
（2）考虑的一种等价形式，
，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
则，，1，2，…，
计算过程如下：，
，
.
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