(人教A版数学必修一讲义)第4章第07讲4.5.3函数模型的应用(知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第07讲 4.5.3函数模型的应用
课程标准 学习目标
①了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 ②在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 通过本节课的学习，掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．
知识点一：常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异
【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）当a>1时，有下列结论:
①指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快;②指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快;③对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快;④对数函数y=logax，当a越小时，其函数值的增长越快.其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（　　）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ．
题型02根据实际问题增长率选择合适的模型
【典例1】（23-24高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·全国·单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:
x 1 2 3
y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02
在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间/min 0 1 2 3 4
水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．）
【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（ ）
0 4 9 16 36
3 7 9 11 15
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的.
(1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？
(2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？
题型03利用二次函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 .
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
【典例3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元.
(1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）.
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【变式1】（23-24高一上·全国·期中）已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元.
【变式2】（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元．
(1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式；
(2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元
【变式3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米.
(1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围；
(2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？
题型04分段函数模型的应用
【典例1】（23-24高二下·上海·期末）某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式．
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？
【典例3】（23-24高一上·云南昭通·期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为
每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完.
(1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数；
(2)求年盈利额的最大值及相应的年产量.
【变式1】（23-24高一上·山西吕梁·期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完．
(1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
【变式2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.
(1)求出和的解析式；
(2)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【变式3】（23-24高一上·江苏常州·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系；，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
(1)求的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
题型05指数模型的应用
【典例1】（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
【典例2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ）
A．3h B．4h C．5h D．6h
【典例3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【变式1】（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（ ）
A．5% B．3% C．2% D．1%
【变式2】（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式3】（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
题型06对数模型的应用
【典例1】（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯 里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：）
A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级
【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【变式1】（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【变式3】（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（ ）
A． B． C． D．
题型07幂函数模型的应用
【典例1】（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【典例2】（23-24高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
【典例3】（23-24高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求的值；
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？
【变式1】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001)
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
题型08利用给定函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示.
月份 1 2 3 4
产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，）
【典例2】（23-24高一上·河南驻马店·期末）随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的个数如图所示：

(1)依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式；
①，②且，③0且）.
(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
【变式1】（23-24高一上·江西萍乡·期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y（千人） 28 36 52 82
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
【变式2】（23-24高一上·福建漳州·期末）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：
（天） 2 7 14 23
（百个） 4 5 6 7
已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.
(1)给出以下三种函数模型：①，②，③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.
(2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？
题型09建立拟合函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨.
(1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
(2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润.
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；
(2)设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
(1)求参数，和的值以及函数的解析式；
(2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．
【变式2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
4．（23-24高一上·云南红河·期末）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期中）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
8．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.
14．（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份 2008 2009 2010 2011 … 2020
数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80
(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适 （不用说明理由）；
(2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍
B能力提升
1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：）
A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后
2．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）
3．（23-24高一下·上海闵行·期末）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
(1)设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式；
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据，
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第07讲 4.5.3函数模型的应用
课程标准 学习目标
①了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 ②在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 通过本节课的学习，掌握 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．
知识点一：常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异
【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的增长快慢差异判断.
【详解】解：因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，
比幂函数，对数函数，一次函数增长的速度快，
所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是，
故选：A
【典例2】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
【答案】ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，
递减速度越来越慢，故A正确；
递减速度越来越慢，故B正确；
递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度慢于递减速度，故D错误.
故选：ABC.
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．
由图得，若，则，
若，则或．
故答案为：，
【变式1】（23-24高一·全国·课后作业）当a>1时，有下列结论:
①指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快;②指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快;③对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快;④对数函数y=logax，当a越小时，其函数值的增长越快.其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由指数函数的性质可判断①②的真假，根据对数函数的性质可判断③④的真假.
【详解】结合指数函数及对数函数的图象可知，
指数函数，当越大时，其函数值的增长越快，
对数函数，当越小时，其函数值的增长越快，
（也可举例：例如，，可判断①对②错）
①④正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的性质，增长性的问题，属于中档题．
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（　　）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
【答案】AD
【分析】根据函数的单调性，零点存在性定理以及函数的增长速度逐一判断即可.
【详解】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点，
又因为，，且和单调递增，
所以和的图象在区间有一个交点，
当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确；

对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度，
而对数函数增长的速度越来越慢，
由于的增长慢于的增长，
因此总会存在一个，当时，恒有，故错误；
对于选项,当时，和关于对称，
在直线上方, 在直线下方，
所以不存在使，故错误；
对于选项,时，，则和均过点，
所以方程有解，故D正确.
故选：AD.
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性，根据条件求出范围，进而可求出结果.
【详解】令，易知三个函数在区间上均单调递增，
所以，当时，，，，故，
故答案为：.
题型02根据实际问题增长率选择合适的模型
【典例1】（23-24高一上·江苏常州·期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出散点图，对照四个选项即可得出结果.
【详解】由题，作出散点图如下，
由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系，
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·全国·单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:
x 1 2 3
y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02
在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察散点图符合指数型函数图象.
【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，
观察图象，类似于指数函数图象，
对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误，
对于B，是以y轴为对称轴的二次函数，所以B错误，
对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误，
对于D，是指数型函数，所以D正确，
故选：D

【典例3】（23-24高一下·福建·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间/min 0 1 2 3 4
水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．）
【答案】(1)答案见解析
(2)5.54min
【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式，求解方程.
【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型．
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，
解得，
所以函数模型的解析式为：；
（2）由（1）中函数模型，有，
即，所以，
所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感．
【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（ ）
0 4 9 16 36
3 7 9 11 15
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得.
【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是；
若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得，
则，显然当时，；当时，；当时，，
与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是；
模型在处无意义，模型不符合，C不是；
散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判断即可求解.
【详解】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，
结合选项，函数的增长速度越来越缓慢，不符合题意；
函数随着的增大，不断减小，不符合题意；
函数的增长速度越来越快，符合题意；
函数增长速度不变，不符合题意；
所以最接近的一个函数是，
故选：C
【变式3】（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的.
(1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？
(2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？
【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；
（2）由，解不等式即可.
【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，
且对任意恒有且.
①对于函数在上单调递增，
当时，不符合要求；
②对于函数在上单调递减，不符合要求；
③对于函数，在上单调递增，
且当时，
，
因为
而所以当时，恒成立，
因此为符合公司要求的函数模型.
（2）由得，
所以,
所以公司的投资收益至少为万元.
题型03利用二次函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 .
【答案】170
【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋，
所以可获得的利润，
，当或10时，利润最大，最大利润为170元.
故答案为：170.
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·期中）生产某机器的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台机器售价为30万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为 台.
【答案】50
【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，建立关系式，配方出求最大值即可
【详解】设生产台，获得利润（万元），
则，
所以当时，获得的利润最大.
故答案为：50
【典例3】（23-24高一上·湖北恩施·期末）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元.
(1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）.
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额＝盈利总额使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
【答案】(1)（），第3年开始全年盈利
(2)按方案②处理较合理，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得与之间的函数关系式，解一元二次不等式即可求解；
（2）分别求出方案①②下该设备的获利额最大值，比较大小即可求解.
【详解】（1）根据题意：（），
由解得：，，
所以，所以该机床从第3年开始全年盈利.
（2）方案①：（当且仅当时取“＝”）,
所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利万元.
方案②：，所以当时，，
故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获利万元.
所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理.
【变式1】（23-24高一上·全国·期中）已知某种商品在第天的销售价格为元，销售量为件，则在这15天中，第 天该商品日销售额最多，为 元.
【答案】
【分析】先根据题意求出函数解析式，然后根据二次函数的性质求出其最值.
【详解】设第天的日销售额为元，则，
，
∴当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：13，833
【变式2】（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元．
(1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式；
(2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元
【答案】(1)；
(2)2100.
【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可；
（2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，解不等式即可.
【详解】（1）由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为，
所以，且，则，
则
；
（2）由（1）可知，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
由于投入到该休闲场所的资金最多29500元，
所以
解得，当时，符合题意，
所以花坛造价最多投入每平方米2100元．
【变式3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米.
(1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围；
(2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到长方形的长为米，且，从而得到，再根据条件建立不等关系，即可求出结果；
（2）由，利用二次函数的性质即可求出结果.
【详解】（1）由题知长方形的长为米，
所以，由，得到，
由，得到，即，解得，
所以的取值范围为.
（2）由（1）知，
又，所以当时，有最大值为平方米.
题型04分段函数模型的应用
【典例1】（23-24高二下·上海·期末）某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式．
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
【答案】(1)
(2)产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元
【分析】（1）由分段代入计算即可得；
（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
故；
（2）当时，，
当时，，对称轴，
，
当时，由基本不等式知，当且仅当，
即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元
【分析】（1）由利润，代入即可得；
（2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）；
（2）
当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
由得当时，．
所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元．
【典例3】（23-24高一上·云南昭通·期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为
每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完.
(1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数；
(2)求年盈利额的最大值及相应的年产量.
【答案】(1)
(2)当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元
【分析】（1）分得两种情况进行研究，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年盈利额的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值；当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【详解】（1）∵当时，；
又当时，，
∴
（2）①当时，，
∴当时，L取得最大值，最大值为600；
②当时，
.
当且仅当，即当时，L取得最大值，最大值为800.
综上，当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元.
【变式1】（23-24高一上·山西吕梁·期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完．
(1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
【答案】(1)
(2)当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元．
【分析】（1）由利润=销售额-投入成本-固定成本，列出年利润关于年产量x的函数解析式；
（2）利用配方法和基本不等式分别求两段函数的最大值，得最大值和取最大值时的值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，取得最大值，
综上，当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元．
【变式2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）某加工厂要安装一个可使用25年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后，该加工厂每年额外消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为（为常数）.已知太阳能电池板面积为40平方米时，每年额外消耗的电费为2.5万元，安装这种供电设备的工本费为（单位：万元），记为该加工厂安装这种供电设备的工本费与该加工厂25年额外消耗的电费之和.
(1)求出和的解析式；
(2)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
【答案】(1)，
(2)当为平方米时，取得最小值，最小值为万元
【分析】（1）由时，取得，得到的表达式，再由，求得的表达式.
（2）由（1）中函数的解析式，分类讨论，结合函数的单调性和基本不等式，分别求得的最小值，即可得到答案.
【详解】（1）解：根据题意，当时，可得，
当时，，可得，解得，
所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，当时，为单调递减函数，
所以
当时，，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
综上所述，，此时，
所以当为平方米时，取得最小值，最小值为万元.
【变式3】（23-24高一上·江苏常州·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系；，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
(1)求的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为千克时，该水果单株最大利润，最大利润为元
【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；
（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可得解.
【详解】（1）依题意，当时，
；
当时，
；
所以；
（2）当时，，
此时由二次函数的性质可知；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立；
综上，当施用肥料为千克时，该水果单株最大利润，最大利润为元.
题型05指数模型的应用
【典例1】（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
【答案】C
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
【详解】根据题意由可得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即.
故选：C
【典例2】（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ）
A．3h B．4h C．5h D．6h
【答案】B
【分析】由已知有，可得，当时，解得，可求还需的时间.
【详解】由题意知，时，，可得．
设，则，解得，
因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h．
故选：B.
【典例3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【分析】依题运用特殊值求得函数模型中t的值，然后运用函数模型得到关于n的不等式，通过指、对运算求得n的取值范围，即可得解．
【详解】依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：C.
【变式1】（23-24高一下·湖南·期中）水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足，其中为正常数，为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（ ）
A．5% B．3% C．2% D．1%
【答案】D
【分析】根据给定的函数模型，由，，求出，再求出时的值即可.
【详解】依题意，当时，，则，解得，即，
因此，再过滤4小时有害物质的残留量，
即当时，
所以有害物质的残留量为原来的．
故选：D
【变式2】（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%．刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据题意，列出不等式，解之并取近似值，即得的值.
【详解】依题意，，解得，
则，又，则.
故选：C.
【变式3】（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.
【详解】依题意，，则，即，显然，
设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是，
解得，因此，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.
故选：A
题型06对数模型的应用
【典例1】（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯 里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（ ）（参考数据：）
A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级
【答案】B
【分析】根据题意，得到，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为，且这次地震的标准地震振幅为，
可得.
故选：B.
【典例2】（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，，两式相减得，
解得，所以.
故选：D
【典例3】（多选）（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
【分析】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，利用公式，结合对数的运算性质可求出的值，从而得到的值．
【详解】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，
由，于是，则，因此，
所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍.
故选：C
【变式1】（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用给定的函数关系式，分别求得，结合对数的运算性质，求得的值，即可求解.
【详解】由火箭的最大速度和燃料的质量、火箭的质量的函数关系是，当时，有，所以；
当时，有，所以，
可得．
故选：A．
【变式2】（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，以开头的数出现的概率为，
可得，
所以.
故选：C.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到方程组，求出，根据得到.
【详解】依题意，，两式相减可得，，
故，而，故.
故选：C．
题型07幂函数模型的应用
【典例1】（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【详解】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B
【典例2】（23-24高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即．
故选：A.
【典例3】（23-24高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求的值；
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？
【答案】（1）；（2）年.
【解析】（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值；
（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案
【详解】解：设今年碳排放量为.
（1）由题意得，
所以，得.
（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，
则，
将代入得，
即，得.
故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.
【变式1】（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001)
【答案】/
【分析】翻两翻就是变成原来的4倍，再利用增长率公式即可得到方程，然后借助指数、对数运算及利用计算器辅助求解.
【详解】设该企业的年平均增长率为，则依题意得：，
则，
即，
所以，
即，
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
【答案】125
【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可.
【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
所以，即
当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为，
故答案为：
题型08利用给定函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别如下表所示.
月份 1 2 3 4
产量（万双） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.如果用表示月份，用表示产量，试比较和哪一个更好一些？（函数模型，要求用第1，4月份的数据确定，；函数模型，要求用第1，2，3月份的数据确定，，，精确到0.01，，）
【答案】更好些
【分析】通过计算可知：采取模型可知有两个数据有误差，采取模型可知只有一个数据有误差，由此即可得解.
【详解】（函数模拟）设，
将1，4月份的数据代入，则，
解得，所以.
把和3代入，分别得到和1.14，
又，.
（函数模拟）设，将1，2，3月份的数据代入，
得，解得，所以.
把代入，得，
又.
相比两个函数的模拟结果，可知由模型计算得更好些.
【典例2】（23-24高一上·河南驻马店·期末）随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习．已知前四年，平台会员的个数如图所示：

(1)依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式；
①，②且，③0且）.
(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
【答案】(1)选择③，
(2)
【分析】（1）根据函数的单调性、增长快慢等知识作出选择，利用待定系数法求得相应的解析式.
（2）根据已知条件列不等式，由此分离常数，利用换元法，结合二次函数的性质求得的最小值.
【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
∵函数增长的速度越来越快不选②，
选择③且，
代入表格中的三个点可得：，解得：，将代入符合，
．
（2）由（1）可知：，
故不等式对且恒成立，
对且恒成立．
令，则，
在单调递增，
的最小值为.
【变式1】（23-24高一上·江西萍乡·期末）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示（注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据）．
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y（千人） 28 36 52 82
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立年后会员人数y（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数；
①；②（且）；③（且）；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求k的最小值．
【答案】(1)选择模型③，，84
(2)7
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值.
【详解】（1）由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型③，
由表格中的数据可得，，，解得，，，
故函数模型的解析式为，
当时，预测2023年年末的会员人数为千人；
（2）由题知，对，都有，令，则，
令，则不等式右边等价于函数，
因为函数在区间上单调递增，所以，
故，即k的最小值为7．
【变式2】（23-24高一上·福建漳州·期末）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：
（天） 2 7 14 23
（百个） 4 5 6 7
已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.
(1)给出以下三种函数模型：①，②，③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.
(2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？
【答案】(1)选择模型③，理由见解析
(2)第13天最低.
【分析】
（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案.
（2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）
选择模型③，理由如下：
表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，模型①不满足题意；
因为表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意；
对于模型③，将，代入模型③，有，解得，
此时，
经验证，，均满足，所以模型③满足题意.
故选择模型③.
（2）
，故，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第13天最低.
题型09建立拟合函数模型解决实际问题
【典例1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨.
(1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
(2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润.
【答案】(1)年产量200吨时，年利润为3840万元
(2)年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元
【分析】（1）设年利润为（万元），则，再由二次函数的性质计算可得；
（2）由药品平均利润为，利用基本不等式求出平均利润取最大值时的值，再代入（1）中解析式计算可得.
【详解】（1）设年利润为（万元），
则
，
所以当时，取最大值，
即年产量吨时，年利润为万元
（2）药品平均利润为
，
当且仅当，即时取等号，
此时，
即年产量吨时，药品平均利润最大，年利润为万元
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；
(2)设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；
（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.
【详解】（1）依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，.
（2）如图所示：作交于，交于，连接．
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
(1)求参数，和的值以及函数的解析式；
(2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．
【答案】(1)，，，
(2)10个小时
【分析】（1）根据求出，再根据和分别求出，即可得出函数解析式；
（2）分和两种情况解不等式即可.
【详解】（1）根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，，
在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：，
当时，分泌量达到峰值即，即，
解得：，
因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为，
在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：，
所以，解得，
所以荷尔蒙分泌量为，
综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为；
（2）①当时，，
解得，所以，
②当时，，
，，
，，
综上所述，
该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时.
【变式2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)70台，最大利润是1760万元.
【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解.
【详解】（1）由题意可得：当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，
所以当时（万元）；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时万元.
综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得为指数型函数，即可判断.
【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，
根据时间以年为单位，以及，得.
故选：C．
2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】利用题中的条件，第1天有15人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【详解】由题意可设比例系数为，所以，
，，
当时，，
故选：D．
3．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，
则，，且
得： ，
所以，，即：.
故选：B．
4．（23-24高一上·云南红河·期末）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得.
【详解】将对应得在坐标系中点出，得：

根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近.
故选：A.
5．（23-24高三上·湖北·期中）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得.
【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，
由题意知，
所以，
即，
所以，
故选：B.
6．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得.
【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．
由题意得，即，两边取常用对数，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．
故选：C.
7．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，再由指数函数的性质以及对数运算，即可求解.
【详解】设此人休息小时才能驾驶，由题意可得，即，
由于函数再定义域内单调递减，
所以，
所以此人至少要休息小时.
故选：C
8．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可.
【详解】由，得到，
当时，；
当时，.
依题意，明年的产量将是今年的倍，得：，
，即，解得.
，.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是（ ）
A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案②
C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③
【答案】ACD
【分析】根据给定的信息，逐项计算判断即得.
【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元，
方案③需：元，若体验7天，则选择方案①薪资最多，A正确；
对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元，
方案③需：元，若体验8天，则选择方案①薪资最多，B错误；
对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元；
方案③需：元，若体验9天，则选择方案③薪资最多，C正确；
对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元，
方案③需：元，若体验10天，则选择方案③薪资最多，D正确；
故选：ACD
10．（2024高一上·江苏·专题练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报)．根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（ ）
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资8天，采用方案二
D．投资12天，采用方案二
【答案】ABC
【分析】根据图象逐个分析判断即可.
【详解】对于A，若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一，所以A正确；
对于B，投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案，所以B正确；
对于C，投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为元；
方案二的总回报为元，故采用方案二，所以C正确；
对于D，根据图象的变化可知，方案三从第11天开始回报远超过140元，
可知方案三回报高很多，所以采用方案三，所以D错误．
故选：ABC．
三、填空题
11．（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据：，）
【答案】
【分析】设至少需要过滤次，得到，结合对数的运算和参考数据，求得，即可求解.
【详解】设至少需要过滤次，可得，即，
两边取对数，可得，所以，
又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次．
故答案为：.
12．（2024高一·全国）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是，要使火箭的最大速度可达，则燃料质量与火箭质量的比值是 ．
【答案】
【分析】
根据题意，列出方程，结合对数的运算法则，得到，进而得到答案.
【详解】
根据题意，可得，
所以，即，可得，
而，则，所以，即燃料质量与火箭质量的比值是.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一下·江西景德镇·期中）杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元
【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得；
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时