(人教A版数学必修一讲义)第4章第08讲第四章指数函数与对数函数(含函数零点)拓展提升(11类热点题型讲练)(学生版+解析)

第08讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升
题型01指数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；
(2)求 时， 的值域.
【典例3】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
【变式1】（23-24高一·全国）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点．
(1)求的表达式；
(2)求的最小值；
(3)设，若恒成立，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
题型02指数（型）函数的单调性
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的值的范围是 ．
【典例3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·四川·期中）已知且，函数满足对任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 ．
【变式3】（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
题型03对数（型）函数的定义域
【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为 .
【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)若该函数的定义域为，求实数的范围；
(2)若该函数的值域为，求实数的范围．
【典例3】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，其中
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值.
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【变式2】（23-24高一上·安徽六安·阶段练习）（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明.
题型04对数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在内有意义，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的值．
【典例3】（23-24高一上·天津·期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的最小值．
【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数.
(1)求实数a的值；并方程的解集M.
(2)当，求的最小值、最大值及对应的x的值.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
题型05对数（型）函数的单调性
【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ．
题型06指数（型）对数（型）函数的实际应用
【典例1】（北京市昌平区2023-2024学年高二下学期期末质量抽测数学试卷）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ）
（参考数据）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
【典例2】（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C．8min D．
【变式1】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
【变式2】（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
题型07指数（型）对数（型）函数的综合应用
【典例1】（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数，为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)写出的单调区间（不需要说明理由）；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【典例2】（23-24高一下·云南大理·期末）已知函数，函数.
(1)试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式；
(2)类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题
①已知，求的值；
②恒成立，求实数的取值范围.
【典例3】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数.
(1)若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围；
(2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，求实数a的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，且.
(1)若，求不等式 的解集；
(2)若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试确定的取值范围.
题型08根据零点求参数
【典例1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【典例2】（2024高二下·辽宁·学业考试）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高三·湖南湘潭·期末）已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型09求函数的零点（方程的根）的个数
【典例1】（23-24高二下·吉林白城·期末）若偶函数满足且时，，则方程的根有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【变式3】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型11函数与方程的综合应用
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若，求与交点的横坐标；
(2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
【典例3】（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数为奇函数．
(1)设函数，求的值；
(2)若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的方程的解；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
【变式2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数.
(1)设，若是奇函数，求的值，并证明；
(2)已知函数，若关于的方程在内恰有两个不同解，求实数的取值范围.
【变式3】（2024高二上·福建·学业考试）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
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第08讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升
题型01指数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
故选：B.
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；
(2)求 时， 的值域.
【答案】(1)为奇函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据奇偶函数的定义即可下结论；
（2）根据指数型函数的单调性判断在上单调递增，进而求解.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
由题意知，的定义域为R，
由，得，
所以，
故为奇函数；
（2），
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，且，
所以在上的值域为.
【典例3】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若有最大值3，求的值
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解；
（2）令，结合指数函数单调性可知的最小值为，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【详解】（1）当时，
令，则在上单调递增，在单调递减，
且在R上为减函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）令，则，
因为的最大值为3，且在R上为减函数，
所以的最小值为，
当时，无最大值，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数a的值为1.
【变式1】（23-24高一·全国）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.
【详解】令，则，
由题知，，解得或，
即或，解得或.
故选：D
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点．
(1)求的表达式；
(2)求的最小值；
(3)设，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入计算即可；
（2）整体思想，转化为二次函数的最值问题即可；
（3）利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）将代入，得，解得或（舍），
故．
（2）由（1）易知，
当时取等号，故的最小值为．
（3）由题意，得，
当且仅当，即时取等号，故要使恒成立，则，
故的取值范围是．
【变式3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值；
（2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，设，
函数在上递减，在上递增，函数在上递减，
则函数在上递增，在上递减，，，，
所以当，时，，.
（2）函数在上递减，在上递增
当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增，
又，则函数在区间上递增，故满足题意；
当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减，
又，若需满足题意，则，得.
综上，的取值范围是.
题型02指数（型）函数的单调性
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数是减函数，所以．
又因为函数5）图像的对称轴是直线，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是．
故选:B．
【典例2】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的值的范围是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解.
【详解】记，
设，则，
因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则知，在上单调递增，
又，
所以，所以，
则实数的取值范围为，
故答案为：.
【典例3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围.
【详解】解：函数由和复合而成，
由于是单调递增，函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减.
当时，不符合题意；
当时，单调递减，满足题意；
当时，开口向下，对称轴为，
故需要满足，显然成立，满足题意，
综上：.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【变式2】（23-24高一下·四川·期中）已知且，函数满足对任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由题意可知在上为增函数，对各段考虑，求出交集即可．
【详解】由于函数，又对任意不相等的实数，
都有成立，则在上为增函数．
当时，函数为增函数，则有，即，①
当时，函数为增函数，则有，②
由在R上为增函数，则，即有③，
由①②③可得的取值范围为：．
故答案为：．
【变式3】（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）设函数且在区间单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】对参数分类讨论，根据复合函数的单调性，即可求得参数范围.
【详解】若，在单调递增，
要满足题意，则要在单调递减，故，即；
若，在单调递减，
要满足题意，则要在单调递增，故，即，不满足，故舍去；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
题型03对数（型）函数的定义域
【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.
【详解】由题意或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)若该函数的定义域为，求实数的范围；
(2)若该函数的值域为，求实数的范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）转化为恒成立，求解即可；
（2）转化为，计算即可.
【详解】（1）由题意知需使恒成立，只要，得；
（2）要使函数的值域是，需真数能取尽一切正数，只要，得或．
【典例3】（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，其中
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的真数大于0求定义域；
（2）首先求出真数的范围，再根据对数函数的单调性求出的最大值，列方程即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则 解得，
所以函数的定义域为；
（2）函数
因为，所以，
因为，所以，
在单调递增，
即，即解得（负舍）.
的值为.
【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据对数中真数大于0求解即可；
（2）根据根号下大于等于0与对数的定义域求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即得或，
故定义域为.
（2）由条件知，
即.故此函数的定义域为.
【变式2】（23-24高一上·安徽六安·阶段练习）（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）依据题意转化为二次函数恒成立处理即可.
（2）对参数分类讨论，转化为方程有解问题处理即可.
【详解】依题意，对一切实数，都有恒成立，
则，解得．
故实数的取值范围为：．
依题意，能取到所有正实数，
当时，则真数为，能取到所有正实数，故成立，
当时，则
解得或，
综上知，实数的取值范围为：或．
【变式3】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据对数函数真数大于零解不等式即可得的定义域为；
（2）将化简可得，利用函数奇偶性的定义可得为奇函数.
【详解】（1）由，解得或，
故的定义域为
（2）为奇函数；证明如下：
由（1）知的定义域关于原点对称，
因为，
所以；
即可得为奇函数.
题型04对数（型）函数的值域（最值）
【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对数函数图象性质可得需满足，可得，再利用对数函数单调性以及运算法则可得结果.
【详解】依题意可得要取遍所有正数，
则需要求，因为，解得；
故.
故选：C
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在内有意义，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到对恒成立．结合对称轴，分与两种情况，得到不等式，求出的取值范围；
（2）结合题意得到的值域为，从而得到方程，求出
【详解】（1）由在内有意义，知对恒成立．
因为图象的对称轴为，
所以当时，，
即，解得；
当时，，即，所以．
综上，的取值范围为．
（2）因为，所以的值域为．
又，当时等号成立，
所以．解得．
【典例3】（23-24高一上·天津·期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】
（1）由奇函数定义计算即可得；
（2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式；
（3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
即在定义域上恒成立，
整理得，故；
（2）解法一：由（Ⅰ）知，
所以函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
所以，解得；
所以此时不等式的解集为；
解法二：因为，
令，则可化简为，
即，即，
解得，即．
所以此时不等式的解集为．
（3）由（Ⅰ）得在的值域，
又，，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，即，
所以，解得．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数．
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的可确定函数的最小值.
【详解】（1）∵，
∴，解得，∴定义域为．
（2）令，
∵，，为单调递减函数，
当时，即时，取最小值为，
∴该函数在时取最小值．
【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数.
(1)求实数a的值；并方程的解集M.
(2)当，求的最小值、最大值及对应的x的值.
【答案】(1)
(2)，相应的，相应的；
【分析】（1）利用对数的性质解方程求参数a即可，结合对数运算解复合方程即可；
（2）由（1）得，换元法有，则，结合二次函数性质求最值，并确定对应的值.
【详解】（1）因为，即，所以，
所以，则，
故，即，解得或，所以或，
所以方程的解集；
（2）由（1）知：，
令，则由得，
故，
当即时，；当即时，；
综上，有，有.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数的真数大于零，求得的定义域；
（2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
由，得，则，解得；
又，解得，
所以的定义域为；
（2）由（1）得，
因为，令，
令，则函数在单调递增，
故，即时，取最小值，
故的最小值为0.
题型05对数（型）函数的单调性
【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.
【详解】令得，
故的定义域为，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减可得，
只需求出在上的单调递减区间，
在上单调递减，
故数的单调递减区间为.
故选：C
【典例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数单调性判断方法来研究，考虑每段函数的单调性，再研究分段点处的函数值大小关系即可.
【详解】当是上的单调递增函数时，需要满足
解得
当是上的单调递减函数时，
解得.综上，的取值范围是.
故选：D.
【典例3】（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案.
【详解】设，易知函数是增函数，
因为在区间上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减.
因为函数在上单调递减，
所以，即.
故选：D.
【变式1】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.
【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数在单调递增，
需要，
因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】由得或，
设，函数在为增函数，
此时为增函数，
所以为增函数，
即的单调增区间为.
故选：C.
【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.
【详解】由于函数在上递减，
所以解得，
所以原不等式的解集为，
故答案为： .
题型06指数（型）对数（型）函数的实际应用
【典例1】（北京市昌平区2023-2024学年高二下学期期末质量抽测数学试卷）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（ ）
（参考数据）
A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7
【答案】B
【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.
【详解】由已知，，
所以，，
所以.
故选：.
【典例2】（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
【典例3】（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C．8min D．
【答案】B
【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间．
【详解】由题意可知，当时，，则，解得，
所以，
当时，，即，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故选：B.
【变式1】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
【答案】C
【分析】由题可知题目相当于解不等式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.
【详解】由题意知，只要解不等式，化简得．因为，所以，
所以．
故选：C．
【变式2】（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
【答案】B
【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.
【详解】，，故．
故选：B
【变式3】（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得．
【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
由题意得：，整理得：，
两边取常用对数得：，即，
即，
所以，即，
所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
题型07指数（型）对数（型）函数的综合应用
【典例1】（23-24高二下·福建南平·期末）已知函数，为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)写出的单调区间（不需要说明理由）；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3).
【分析】（1）利用偶函数的定义求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，
又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
【典例2】（23-24高一下·云南大理·期末）已知函数，函数.
(1)试判断函数的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于的不等式；
(2)类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题
①已知，求的值；
②恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，在上为增函数；.
(2)①；②.
【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；
（2）①观察函数和的结构，结合题干提示，计算的值，从而得到和的关系式，继而求出的值；
②利用①小问中和的关系式，将题干不等式转化为关于的不等式.结合的定义和基本不等式得到的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数；
因为在上单调递增，在上单调递减，
在上为增函数；
由，所以，
由于在上单调递增，所以，解得，
所以x的解集是.
（2）①.
由，则，而，
所以.
②由①可知，
所以，即，
因为，当即时等号成立，所以.
故.
而，当时等号成立，
所以.
【典例3】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)在，上单调递减.
(3)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
【变式1】（23-24高一下·云南·期末）已知函数，且.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)奇函数；
(2)单调递增，；
(3).
【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可.
（2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求出最小值即得.
（3）求出值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数.
（2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，
因此函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
于是，当且仅当时取等号，因此，
所以的取值范围是.
（3）由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
【变式2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数.
(1)若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围；
(2)设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先利用对数运算，转化为一元二次方程来求解，此时还要把根代入原方程检验，再作出综合判断；
（2）先利用单调性求最值，再转化为不等式恒成立问题来求解.
【详解】（1）由题意有：，所以，
整理可得，即，
当时，方程的解为，代入原方程检验，成立，
当时，方程的解为，代入原方程检验，成立，
当且时，方程的解为，
若为原方程的解，则，即；
若为原方程的解，则，即，
要使原方程有且只有一个解，则.
综上所述，的取值范围为或；
（2）解法一：令，在上递减，由函数为增函数，
所以在上单调递减，
因为函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，
则有，
即，所以，即，
令，则，令，
对任意的，
由于所以，
.
所以在区间上单调递减，
所以 所以，当时，；
综上，的取值范围为.
解法二：由在上恒成立，
得在上恒成立，令，
， 在上单调递增，
，得，
所以，的取值范围为.
【变式3】（23-24高一上·吉林延边·期中）已知函数，且.
(1)若，求不等式 的解集；
(2)若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试确定的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(3).
【分析】（1）原不等式化简可得，结合一元二次不等式解法及指数不等式解法求解即可.
（2）先应用常数分离化简函数，再化简不等式，应用基本不等式求解即可.
（3）先代入化简已知不等式，再应用对勾函数单调性，判断函数的单调性，利用单调性解关于不等式可得结论.
【详解】（1）因为，，
所以不等式，可化为，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以不等式 的解集为或，
（2）因为，且，
当时， ，
又因为恒成立，所以恒成立
即得，
又因为，当时取得等号，
所以，
实数的取值范围.
（3）因为，且
所以，
即
令，
当，为增函数， ，
在上单调递增，
所以当时，是单调递增的，
当，为增函数，且 ，
又在上单调递减
当，是单调递减的，
因为，是单调递增的， ，
所以
因为，是单调递减的， ，
所以，
所以或.
的取值范围为.
题型08根据零点求参数
【典例1】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解.
【点睛】若，可得，
此时令可得，只有一个零点，故A不符合；
若，可得，
此时令可得，恰有两个零点，故B符合；
若，可得，
此时令可得，恰有两个零点，故C符合；
若，可得，
此时令可得，恰有两个零点，故D符合；
故选：A
【典例2】（2024高二下·辽宁·学业考试）已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把函数零点个数转化为两个函数的交点个数,数形结合即可求出的范围.
【详解】若函数有三个不同的零点,则有三个根.
即函数与有三个交点,如图,先画出的图像,
当时，即，
当时,
数形结合可以得到
故选:
【典例3】（23-24高三·湖南湘潭·期末）已知函数若函数恰有8个零点，则a的值不可能为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【解析】分和两种情况讨论，当时显然不成立，当时，的实根为.令，画出函数图象，数形结合分析可得.
【详解】解：易知，当时，方程只有1个实根，
从而不可能有8个零点，
则的实根为.
令，则，
则数形结合可知，
直线与的图象有2个交点，
直线与的图象有3个交点，
所以由题意可得直线与的图象有3个交点，
则必有，又，
所以.
故选：
【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于中档题.
【变式1】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得的解析式并画出图象，根据图象求得正确答案.
【详解】令，得，
若，则，；
若，则，.
所以，
画出其图象如下图所示，当时，.
由图可知，要使函数恰有3个零点，即与的图象有个交点，
则的取值范围是.
故选：C
【点睛】求解含参数的函数的零点问题，可以考虑直接研究法，也可以考虑分离参数法进行求解.本题是利用分离参数法来求解，分离参数后，将问题转化为两个函数图象的交点个数问题来进行研究.
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化成研究方程在上无实数根，在上有实数根，即考查函数的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案.
【详解】函数在上无零点，在上有零点，
即方程在上无实数根，在上有实数根，
即在上无实数根，在上有实数根，设，
函数在上单调递增，且，
恒成立，若，则在时，，故不满足条件.
由于与的图象在上无交点，在上有交点，
根据函数的图像可知，解得
故选：D.
【变式3】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】问题转化为有实数根，即函数与的图象有交点，画出函数的图象，利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】若函数有零点，即有解，即，
问题转化为函数的图象与函数的图象有公共点.画出函数，即的大致图象如图所示.若函数有零点，结合图象可知，当时，函数有零点，所以实数的取值范围是.

故选:B.
【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
题型09求函数的零点（方程的根）的个数
【典例1】（23-24高二下·吉林白城·期末）若偶函数满足且时，，则方程的根有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得是周期为2的周期函数，结合函数的解析式作出的图象，进而分析函数与的交点的个数，两图象的交点个数即为方程的根的个数．
【详解】方程的解的个数，
等价于的图象与函数的图象的交点个数，
因为函数满足，
所以周期，
当时，，且为偶函数，
在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示：
显然函数的图象与函数的图象有个交点，
故有4个实数根.
故选：C.
【典例2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
【典例3】（2024高三上·河南·专题练习）已知函数则的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】画出的大致图象，由，逐层进行求解，从而求得正确答案.
【详解】作出函数的大致图象如图所示，
由解得，由解得或，.
令，得，
得或或，
结合图象可知：
当时，有1个解；当时有2个解；
当时，由于，所以有个解，
故的零点个数为6.
故选：C

【变式1】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得.
【详解】函数的定义域为，
当时，，显然函数在上都单调递减，
因此函数在上单调递减，而，
则函数在上有唯一零点；
当时，，显然，
因此函数在区间上至少各有一个零点，
当时，由，得，
则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解，
所以函数的零点个数为3.
故选：D
【变式2】（2024高二下·山东·学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】由函数偶函数性质及结合得到函数的周期，然后求出在上的解析式，则求的零点就等价于函数与函数图象的交点，作出相关图形，从而可求解.
【详解】由函数为偶函数，所以，
因为对任意，都有，即，
所以函数的周期，
当时，，则，
对于函数的零点等价于函数与函数图象的交点，
如图所示，一共有10个交点，故C正确.
故选：C.
【变式3】（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解.
【详解】当时，令，解得或；
当时，令，则，画出函数与函数的图象，
可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3.
故选：C
题型10根据函数的零点（方程的根）的个数求参数或根的代数和
【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
【典例2】（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（ ）
A．的范围为 B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数与的图象，数形集合可判断A选项；利用二次函数的对称性可判断B选项；利用可得出，结合及绝对值的性质可判断C选项；分析可得，利用双勾函数的单调性可判断D选项.
【详解】作出函数与的图象如下图所示：

当时，，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
故实数的取值范围是，A错；
对于B选项，因为二次函数图象的对称轴为直线，
由图可知，点、关于直线对称，则，的值不确定，B错；
对于C选项，由图可知，，
由可得，即，即，
所以，，C错；
对于D选项，由C选项可知，，
由可得，则，
因为双勾函数在区间上单调递减，
因为，则，D对.
故选：D.
【典例3】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数，方程有三个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.
【详解】，，即，即，
设，函数定义域为，，
函数为奇函数，，
不妨取，则，，.
故选：B.
【变式1】（2024·广东·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.
【详解】由题意知，关于点对称，
函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示：
由图形可知函数，在区间上的交点为，
易知点的横坐标为,
若设的横坐标为，则点的横坐标为，
所以方程在区间上的所有实数根之和为.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【答案】A
【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】
由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，
因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以.
故选：A
【变式3】（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.
【详解】画出的图象，如下，

设，则，
令，解得或0，
因为的对称轴为，由对称性可得，
且，
其中，
因为，所以，
故，
又，故，
.
故选：A
题型11函数与方程的综合应用
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若，求与交点的横坐标；
(2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案；
（2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案.
【详解】（1）若，则，解得，
所以，
由解得，或，
所以与交点的横坐标为或；
（2）若，则在区间上没零点，不符合题意，
所以，所以的图象为抛物线，
对称轴为，
所以要使在区间上恰有一个零点，只须，
即，解得.
的取值范围.
【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可；
（2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可.
【详解】（1）
，
若为定值则应，解得，即.
当时，，当时，.
所以存在符合要求.
（2）时，方程即为，整理得，即，
因为方程有两个根，由图象可知，，即，
且，得，同理有，得，
所以，
由，得，所以的取值范围是.
【典例3】（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数为奇函数．
(1)设函数，求的值；
(2)若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数为奇函数可得，即可求出，再求出的值即可得解；
（2）先判断函数的单调性，根据函数为奇函数可得，则问题转化为关于的方程，分离参数，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，即，所以，
经检验，符合题意，
所以，则，
因为为奇函数，所以，
则，
所以
；
（2），
因为是上的增函数，且恒大于零，
所以在上单调递减，
由，
得，
所以，即，
因为关于的方程有实数根，
所以关于的方程有实数根，
而，
当且仅当，即时取等号，
所以.
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的方程的解；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）将代入，解方程即可
（2）构造函数，利用双勾函数的单调性可得判断的单调性并求出相应的值域，然后结合图形即可得出
【详解】（1）时，，令
解得
令
解得：或
（2）.显然
当时，
记，如图所示
因为在上单调递增，值域为；
根据对勾函数性质知在上单调递减，值域为；
且，即为奇函数，得证.
（2）由题意得和两个函数图象有两个交点，
，得到，
若时，由，解得，且过，
又也经过定点，
当经过点时，，
当经过点时，，
由图可知的取值范围是.
【变式3】（2024高二上·福建·学业考试）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为且，
所以，解得；
（2）由（1）可得，
当时，函数在上单调递减，且；
当时，则在上单调递增，
在上单调递减，且，，即；
所以的图象如下所示：
因为函数在上恰有两个零点，
即函数与在上恰有两个交点，
由图可知或，即实数的取值范围为.
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