(人教A版数学必修一讲义)第4章第10讲第四章指数函数与对数函数章节验收测评卷(学生版+解析)

第四章 指数函数与对数函数
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·天津·期末）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2024高三·全国·专题练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“孪生点对”；已知函数，则的“孪生点对”有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（23-24高二下·宁夏银川·期末）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的度从下降到以下，至少大约需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．36分钟 B．40分钟 C．44分钟 D．48分钟
6．（24-25高三上·山西大同·期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（ ）
A．3 B．6 C．9 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·上海·课前预习）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　）
A． B．且 C．且 D．且
10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（ ）
A．有最大值，在上为增函数
B．有最大值，在上为减函数
C．有最小值，在上为增函数
D．有最小值，在上为减函数
16．（本题满分15分）（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)设函数，若，求a的取值范围.
17．（本题满分15分）（24-25高一上·上海·随堂练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示．
(1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式；
(2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式；
(3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）
18．（本题满分17分）（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函数 （且）．
(1)讨论的单调性（不需证明）；
(2)若，
（ⅰ）解不等式；
（ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值．
19．（本题满分17分）（23-24高二下·山西吕梁·期末）定义一种新的运算“”，都有．
(1)对于任意实数，试判断与的大小关系；
(2)若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围；
(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
第四章 指数函数与对数函数
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的概念可得，解之即可求解.
【详解】由，解得，
即函数的定义域为.
故选：A
2．（23-24高二下·天津·期末）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊值比较大小，得出的大小
【详解】因为，
所以，
故选：B.
3．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可.
【详解】依题意，函数的图象分别过定点，
它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.
故选：D
4．（2024高三·全国·专题练习）若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“孪生点对”；已知函数，则的“孪生点对”有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】画出的图象，结合函数图像求解即可.
【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，
故图象上“孪生点对”有3对.
故选：C
5．（23-24高二下·宁夏银川·期末）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的度从下降到以下，至少大约需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．36分钟 B．40分钟 C．44分钟 D．48分钟
【答案】C
【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】由题知，，，所以，可得，
所以，，
即某物体的度从下降到以下，至少大约需要分钟.
故选：C.
6．（24-25高三上·山西大同·期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据对数函数的单调性得出，再构造函数结合函数单调性求解即可.
【详解】因为，又函数单调递增，所以，即，
对于不等式，移项整理得，
构造函数，由于单调递减，所以，即，
故选:C.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（ ）
A．3 B．6 C．9 D．4
【答案】D
【分析】在公式中令求解即可.
【详解】设，
令
解得则即方程的正实数根.
由，
可得.
因为方程的实数根为负数，
所以，即，
故.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·上海·课前预习）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】AD
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
【详解】（且）的图像过第二象限,
则或，故或，
故选：AD.
10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（ ）
A．有最大值，在上为增函数
B．有最大值，在上为减函数
C．有最小值，在上为增函数
D．有最小值，在上为减函数
【答案】DCD
【分析】利用换元法，令，则，然后求出的值域，再利用对数函数的单调性可求出的最值，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法可求出的单调区间.
【详解】令，则，
所以，
所以有最大值，所以CD错误，
因为在上递减，在上递增，而在定义域内递减，
所以在上递增，在上递减，
所以A正确，B错误，
故选：BCD
11．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AC
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图像，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式可求出的范围即可解决.
【详解】
在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图.
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,
等价于与有四个不同交点,则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）设，若为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由偶函数定义比较与系数可得答案.
【详解】因为偶函数，则.
注意到，与
相比较，得.
故答案为：
13．（24-25高一上·上海·课后作业）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】单调递增，
,
则原不等式为,所以,
所以解集为.
故答案为：.
14．（23-24高二下·江西九江·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令得到，变形得到，令，，画出两图象如图所示，数形结合得到，求出答案.
【详解】由，得，因为，所以，
令，，画出两图象如图所示，
由图象结合题意得，即，
即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）（23-24高一上·云南昆明·期末）化简并求出下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（2）解：根据对数的运算法则和运算性质，可得
.
16．（本题满分15分）（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)设函数，若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)为偶函数，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用换元法求函数的解析式；
（2）利用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）首先求函数的解析式，并判断函数的单调性和奇偶性，即可求解函数的解析式.
【详解】（1）令，则，
则，
所以的解析式为.
（2）为偶函数.
理由如下：
因为的定义域为，且，
所以为偶函数.
（3），
，所以是上的奇函数，
因为，所以.
因为，都是增函数，所以是上的增函数，
所以，
则，
因为，所以，即a的取值范围是.
17．（本题满分15分）（24-25高一上·上海·随堂练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线表示．
(1)写出图（1）中表示的市场售价与时间的函数关系式；
(2)写出图（2）中表示的种植成本与时间的函数关系式；
(3)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）
【答案】(1)
(2)，
(3)从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益最大.理由见详解.
【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；
（2）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；
（3）结合（1）（2）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值．
【详解】（1）由已知条件，设，
当时，，．
当时，，．
故图（1）表示的函数关系式为
（2）设，则，所以．
所以图（2）表示的函数关系式为
，．
（3）设时刻的纯收益为，则由题意得，
即，
当时，配方整理得，
所以当时，取得区间上的最大值100．
当时，配方整理得，
②当，即时，，
解得，矛盾．
③当，即时，，解得．
综上所述，或．
19．（本题满分17分）（23-24高二下·山西吕梁·期末）定义一种新的运算“”，都有．
(1)对于任意实数，试判断与的大小关系；
(2)若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围；
(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；
（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；
（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.
【详解】（1），，
，
，
；
（2），
原不等式可化为：，即，
为满足题意，必有，即或①；
令，则对称轴为，
由于，，结合①可得，
的一个零点在区间，则另一个零点在区间，
从而，即②，
由①②可得：或，
综上可得实数的取值范围为.
（3）因为，
，
设，，
令，，则，
，
，
所以的值域为，
，当且仅当时取等号，，
所以的值域为，
根据题意可知：，，即，
解得且，
所以实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.
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