(人教A版数学必修一讲义)第5章第01讲5.1任意角和弧度制(知识清单+11类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第01讲 5.1任意角和弧度制
课程标准 学习目标
①理解并掌握正角、负角、零角的概念。 ②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。 ③了解弧度制，能进行弧度与角度的互 化。 ④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。 ⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。 1.通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角； 2掌握弧度制与角度制的互化，； 3.记住特殊角的弧度制； 4.掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用；
知识点01：任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、角的运算
设，是任意两个角，为角的相反角．
(1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转）
(2)：
知识点02：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知识点03：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
① 终边落在轴非负半轴
② 终边落在轴非负半轴
③ 终边落在轴非正半轴 或
④ 终边落在轴非正半轴 或
⑤ 终边落在轴
⑥ 终边落在轴 或
⑦ 终边落在坐标轴
知识点04：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)；
(2)905.3°；
(3)；
(4)530°
知识点05：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度；
（2）把化成角度．
知识点06：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
【即学即练3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积．
题型01 任意角的概念
【典例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（ ）
A．终边落在第一象限的角为锐角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角为钝角
D．小于的角一定为锐角
【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角
C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称
【变式2】（23-24高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
题型02终边相同的角
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）在与530°终边重合的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)–720°到–360°的角．
【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角：
(1)；
(2)．
题型03 终边在某条直线上的角的集合
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.
(1)终边在射线上；
(2)终边在直线上.
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合．
（2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合．
题型04 区域角
【典例1】（23-24高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）如图所示阴影部分角的集合.
【典例3】（23-24高一·江苏·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【变式1】（23-24高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 .
【变式2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ．
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1） ；
（2） .
题型05 确定分角的终边所在的象限
【典例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知角的终边经过点，则是（ ）
A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角
【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置.
【变式1】（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知角是第三象限角，求所在的象限.
题型06 弧度制的概念
【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）1rad的角比1°的角要大．( )
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
（3）每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
（4）1°的角是周角的，1rad的角是周角的.( )
【典例2】（多选）（23-24高一下·江西新余·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
C．若两个角的终边重合，则这两个角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．1弧度的角与1°的角一样大
B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过5分钟分针转了30°
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
题型07 角度与弧度的互化
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：
(1)
(2)
(3)（结果精确到0.01°）．
【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度：
(1)15°；
(2)；
(3)．
【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）将下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
题型08 用弧度表示角或范围
【典例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）把写成的形式是 .
题型09弧长公式
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角．
【变式1】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为 .
【变式2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ．
题型10扇形面积公式
【典例1】（23-24高一下·河南南阳·期中）在扇形中，，弦，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为 ．
【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·重庆·期末）若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．15 B．30 C． D．
题型11扇形中的最值问题
【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【典例2】（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
(1)若，，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.
【变式1】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大 并求出最大值
【变式2】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的周长；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（ ）
A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°
2．（23-24高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C． D．
3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）角1000°的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．（23-24高一下·重庆·期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一下·陕西渭南·期中）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（ ）
A． B． C． D．
该折扇扇面画的外弧长为，内弧长为，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为
12．（2023高二·湖北·学业考试）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．

四、解答题
13．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．
(1)若，米，求该扇形环面展台的周长；
(2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
B能力提升
1．（2023·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ．
3．（23-24高一上·广东清远·期中）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积.
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第01讲 5.1任意角和弧度制
课程标准 学习目标
①理解并掌握正角、负角、零角的概念。 ②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。 ③了解弧度制，能进行弧度与角度的互 化。 ④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。 ⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。 1.通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角； 2掌握弧度制与角度制的互化，； 3.记住特殊角的弧度制； 4.掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用；
知识点01：任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、角的运算
设，是任意两个角，为角的相反角．
(1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转）
(2)：
知识点02：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知识点03：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
① 终边落在轴非负半轴
② 终边落在轴非负半轴
③ 终边落在轴非正半轴 或
④ 终边落在轴非正半轴 或
⑤ 终边落在轴
⑥ 终边落在轴 或
⑦ 终边落在坐标轴
知识点04：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)；
(2)905.3°；
(3)；
(4)530°
【答案】(1) ,第一象限角
(2) ,第三象限角
(3) ,第四象限角,
(4) ,第二象限角
【分析】根据终边相同的角的公式，写出即可.
【详解】（1） 是第一象限的角,
是第一象限的角;
（2） 是第三象限的角,
是第三象限的角;
（3） 是第四象限的角,
是第四象限的角;
（4） 是第二象限的角,
是第二象限的角.
知识点05：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）把化成弧度；
（2）把化成角度．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）（2）根据角度制和弧度制之间的关系运算求解.
【详解】（1）．
（2）．
知识点06：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
【即学即练3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为．求该扇形的弧长和面积．
【答案】弧长：；面积：
【分析】先将角度转化成弧度，然后根据弧长公式面积公式求解.
【详解】,根据弧长公式，弧长为：，面积为
题型01 任意角的概念
【典例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
【典例2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（ ）
A．终边落在第一象限的角为锐角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角为钝角
D．小于的角一定为锐角
【答案】ACD
【分析】根据象限角、锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误；
对于B，锐角是之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确；
对于C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误；
对于D，小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，D错误.
故选：ACD.
【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角
C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称
【答案】AD
【分析】根据象限角、锐角的定义判断ABC，根据任意角的定义判断D.
【详解】对于A：因为锐角的范围为，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确；
对于B：终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，错误；
对于C：小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，错误；
对于D：由角的定义可知，角与的终边关于轴对称，正确；
故选：AD
【变式2】（23-24高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
题型02终边相同的角
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用终边相同角的概念公式求解即可.
【详解】解：，
与角终边相同的角是．
故选：B.
【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）在与530°终边重合的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)–720°到–360°的角．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】先求出与530°终边相同角的集合，然后再分别取满足题意的k值，即可得解
【详解】（1）因为与530°终边相同角的集合为，
当时，得到最大的负角为：；
（2）由（1）知，当时，得到最小的正角为：；
（3）由（1）知，当时，得到–720°到–360°的角为：；
【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）在内，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.
【详解】，而其它项对应角都不满足.
故选：B.
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角：
(1)；
(2)．
【答案】(1)与角的终边重合，第四象限角；
(2)与角的终边重合，第二象限角.
【分析】（1）（2）将给定角写成，即可求解得答案.
【详解】（1），且，
所以角与角的终边重合，它是第四象限角.
（2），且，
所以角与角的终边重合，它是第二象限角.
题型03 终边在某条直线上的角的集合
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.
(1)终边在射线上；
(2)终边在直线上.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可.
（2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可.
【详解】（1）由任意角的定义得，
终边在射线上的角为.
（2）由任意角的定义得，
终边在射线上的角为，
化简得，
所以终边在直线上的角为.
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）（1）写出终边在直线上的角的集合．
（2）写出终边在射线（）与（）上的角的集合．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）终边在直线上的角是与角终边相同角的集合和角终边相同角的集合的并集，求并集得结果；（2）终边在射线（）上的角即与角终边相同角的集合，终边在射线（）上的角即与角终边相同角的集合.
【详解】（1）如图，在范围内，终边在直线上的角为和，因此终边在直线上的角的集合为
.
∴终边在直线上的角的集合为．
（2）终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为，
终边在射线（）上的角即与角终边相同，集合为．
题型04 区域角
【典例1】（23-24高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．
【详解】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）如图所示阴影部分角的集合.
【答案】
【分析】观察图形， 按图索骥即可.
【详解】，
，

，
故答案为：.
【典例3】（23-24高一·江苏·课后作业）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【答案】答案见详解
【分析】（1）结合图像，先分别表示终边落在两块区域的角的集合，再取并集即可；
（2）先写出在的范围内，阴影部分对应的角，再表示即可
【详解】（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图像
终边落在阴影部分的角的集合可表示为：
或
（2）在的范围内，阴影部分为
终边落在阴影部分的角的集合可表示为：
【变式1】（23-24高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 .
【答案】
【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.
【详解】因为终边落在y轴上的角为，
终边落在图中直线上的角为；
，
即终边在直线上的角为，，
所以终边落在阴影部分的角为，
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ．
【答案】
【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出．
【详解】阴影部分内的角的集合为
故答案为：.
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
【分析】（1）分别写出与45°角终边相同的角和与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角，再表示出其范围.
（2）分别写出与45°角终边相同的角和与－60°＋360°＝300°角终边相同的角，再表示出其范围.
【详解】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，
所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
题型05 确定分角的终边所在的象限
【典例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知角的终边经过点，则是（ ）
A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角
【答案】A
【分析】根据角所在的象限，表示所在的象限.
【详解】由题意可知是第二象限角，，
则,则是第一或第三象限角．
故选：A
【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【详解】∵α为第三象限角，∴，
∴，
令，，时，，，
可得的终边在第一象限；
令，时，，，
可得的终边在第三象限，
令，时，，，
∴可得的终边在第四象限，
故选:B．
【典例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置.
【答案】答案见解析.
【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限.
【详解】∵是第三象限的角，
∴（），
∴（），
∴（），
∴是第四象限的角.
∵（），
∴（），
∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角.
∵（），
∴（）.
若（），
则（），
∴是第一象限的角；
若（），
则（），
∴是第三象限的角；
若（），
则（），
∴是第四象限的角，
∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角.
综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角.
【变式1】（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【答案】C
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【详解】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
【变式2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知角是第三象限角，求所在的象限.
【答案】在第二或第四象限；在第一，第三或第四象限
【分析】先写出角满足的不等式，再分别写出满足的不等式，根据不等式确定象限即可.
【详解】角是第三象限角,即,
对于：
，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第四象限；
故在第二或第四象限；
对于：
，
当时，在第一象限；当时，在第三象限；当时，在第四象限；
故在第一，第三或第四象限.
题型06 弧度制的概念
【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）1rad的角比1°的角要大．( )
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
（3）每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )
（4）1°的角是周角的，1rad的角是周角的.( )
【答案】 正确 错误 正确 正确
【分析】根据角度值与弧度制之间的关系，以及两者之间的互化即可逐一判断结果.
【详解】1rad代表，约等于，比1°的角要大，所以（1）正确；
用角度制和弧度制度量角，角的大小不随圆的半径而改变，都与圆的半径无关，即（2）错误；
每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应，即角度值和弧度制可以互化，所以（3）正确；
周角是的角，所以1°的角是周角的；同时周角是rad的角，因此1rad的角是周角的，即（4）正确.
故答案为：正确，错误，正确，正确
【典例2】（多选）（23-24高一下·江西新余·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
C．若两个角的终边重合，则这两个角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关
【答案】DD
【分析】根据角度制和弧度制的定义，利用象限角的概念即可判断.
【详解】对于A选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故A错误；
对于B选项，若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，故B正确；
对于C选项，当时，与终边重合，但两个角不相等，故C错误；
对于D选项，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D正确.
故选：BD.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．1弧度的角与1°的角一样大
B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过5分钟分针转了30°
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】D
【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.
【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误；
对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确；
对于C，经过5分钟分针转了，故C错误；
对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误.
故选：B．
【变式2】（多选）（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
【答案】ABC
【分析】根据弧度制的定义即可判断．
【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，
根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．
故选：ABC
题型07 角度与弧度的互化
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：
(1)
(2)
(3)（结果精确到0.01°）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用即可得出答案.
【详解】（1）=.
（2）=.
（3）=.
【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列角度化为弧度：
(1)15°；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
【变式1】（2024高一上·江苏·专题练习）将下列角度与弧度进行互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4.
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）将下列各弧度化成角度.
(1)
(2)
(3)
(4)-3
【答案】(1)-15°
(2)135°
(3)210°
(4)-171°54′
【分析】根据弧度制的定义，可得答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型08 用弧度表示角或范围
【典例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断.
【详解】A,B弧度角度混用，错误.
与角终边相同的角可以表示，则C错误．
弧度制下表示为，则D正确.
故选：D.
【典例2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合.
【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为，
故角的集合为.
故选：C
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
【变式2】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）把写成的形式是 .
【答案】
【分析】将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．
【详解】因为
所以.
故答案为：.
题型09弧长公式
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在单位圆中，长度为的弦所对的劣弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由单位圆中的弦长，求出弦所对的劣弧的圆心角，可求弧长.
【详解】单位圆中，弦长度为为中点，

则有，
由，得，
弦所对的劣弧，所对的圆心角为，则，
由圆的半径为1，所以弦所对的劣弧长等于.
故选：A.
【典例2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角．
【答案】(1)
(2)弧度
【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解；
（2）由扇形的周长和面积公式即可求解.
【详解】（1）因为弧度，
所以；
（2）由题意得，
解得（舍去）或，
故扇形圆心角为弧度．
【变式1】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为 .
【答案】
【分析】设扇形的半径为，根据扇形的面积求出，再由弧长公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，圆心角，
则扇形的面积，解得（负值已舍去），
所以该扇形的弧长.
故答案为：
【变式2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为 ．
【答案】
【分析】代入弧长公式，即可求解.
【详解】扇形弧长.
故答案为：
题型10扇形面积公式
【典例1】（23-24高一下·河南南阳·期中）在扇形中，，弦，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据弦长求出扇形的半径，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的半径为，由题意可知，，
所以，所以扇形的面积.
故选：B
【典例2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】由扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在扇形中，，且弦，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用弧度制下的扇形面积公式,结合圆的垂径定理可解.
【详解】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为
，且弦，
可得，，
扇形的面积为．
故选：B
【变式2】（23-24高一下·重庆·期末）若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．15 B．30 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，即可求解.
【详解】由一个扇形的半径为1，圆心角为，即为，所以该扇形的面积为.
故选：C.
题型11扇形中的最值问题
【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【详解】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
【典例2】（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
(1)若，，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)当时，扇形面积有最大值，为
【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案；
（2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案；
（3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由，则.
（2）由，解得或18，因为，所以.
（3）由，得，
则，
由，则，当且仅当时，等号成立，
当时，扇形面积有最大值.
【变式1】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大 并求出最大值
【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值.
【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得.
（2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得.
【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为，
因此，而扇形面积为，
所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.

（2）设扇形的半径为，则扇形弧长，
扇形面积，当且仅当时取等号，
所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值.
【变式2】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的周长；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度.
【答案】(1)
(2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解.
【详解】（1），
故扇形的周长为；
（2）扇形的周长为20，
则，所以，
则扇形的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024高一上·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（ ）
A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°
【答案】A
【分析】根据余角的定义进行计算即可.
【详解】的余角为.
故选：.
2．（23-24高一上·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解.
【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内；
当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内．
故选：C．
3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）角1000°的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】因为，则的终边与相同，则其终边在第四象限.
故选：D．
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（ ）
A．R B．R C．R D．2R
【答案】C
【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出；
【详解】设所对的圆心角为.
则由题意，得.所以，
所以，
故选:C.
5．（23-24高一下·重庆·期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.
【详解】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，
则，解得，
由题意可得，解得，
因此该扇形圆心角用密位制表示为．
故选：B.
6．（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶性，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样.
故选：C．
7．（23-24高一下·陕西渭南·期中）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出对应的“古典正弦”值.
【详解】设
由圆心角对应弧长，由，得圆心角弧度数绝对值为2.
则,所以
故选：D
8．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.01米 B．1.76米 C．2.04米 D．2.94米
【答案】D
【分析】首先求出圆心角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为，
由弧度数公式得，即为等腰直角三角形，
所以，
则掷铁饼者双手之间的距离.
故选：B.
二、多选题
9．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ）
A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
B．扇形面积的最大值为
C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
D．扇形面积的最大值为
【答案】DC
【分析】由题意可知由扇形面积公式，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知：
则，当且仅当时，即时等号成立，
故BC正确，AD错误，
故选：BC．
10．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第三象限角，则是第二象限角
D．若，，则
【答案】ABD
【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D.
【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为，
当时，角终边为射线，该角的集合为，
所以所求角的集合为，A正确；
对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确；
对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误；
对于D，，，
是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·开学考试）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为，内弧长为，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为
【答案】
【分析】利用扇形的面积公式计算即可.
【详解】易知，根据题意可知扇面画的面积为.
故答案为：
12．（2023高二·湖北·学业考试）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．

【答案】/
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】如图，连接，

因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米．
(1)若，米，求该扇形环面展台的周长；
(2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
【答案】(1)米
(2)元
【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可；
（2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得.
【详解】（1）弧的长度，弧的长度，
所以扇形环面展台周长为：米；
（2）设，米，
则弧的长度，弧的长度，
因为该扇形环面的周长为米，所以，即，
整理得，
则该扇形环面展台的面积：平方米，
所以布置该扇形环面展台的总费用为：元.
B能力提升
1．（2023·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，
【答案】.
【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案.
【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转，
此次点走过的路径是.
第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是.
第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，
点三次共走过的路径是.
故答案为:.
3．（23-24高一上·广东清远·期中）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【答案】(1)
(2)时，面积最大
(3)cm2.
【分析】（1）直接利用弧长公式即可；
（2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可；
（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.
【详解】（1）由，则扇形的弧长(cm).
（2）由已知得，，则，
∴
当且仅当，即时扇形的面积最大，
此时圆心角.
（3）设弓形面积为，由，得，
所以.
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