(人教A版数学必修一讲义)第5章第02讲5.2.1三角函数的概念(知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第02讲 5.2.1三角函数的概念
课程标准 学习目标
①理解结合单位圆定义三角函数的意 义。 ②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。 ③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。 1.掌握三角函数的定义； 2会求任意角的三个三角函数值； 3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；
知识点01：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()
知识点02：三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知识点03：特殊的三角函数值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
知识点04：诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示:
①
②
③其中.
知识点05：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：
在中：
为正弦线，长度为正弦值。
为余弦线，长度为余弦值。
在中：。
为正切线，长度为正切值。
题型01 利用三角函数的定义求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则
A． B．或 C．或 D．
【变式1】（2024·陕西榆林）若角的终边经过点，则的值是
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知角的终边经过点，则 ， ， ．
题型02由终边或终边上点求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 .
题型03由三角函数值求终边上的点或参数
【典例1】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ．
【典例3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角的终边经过点，若，则实数 ．
【变式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
题型04 三角函数值符号的运用
【典例1】1．（23-24高一下·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上
【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】(多选）（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A． B． C． D．
题型05画三角函数线
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线 余弦线 正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．
①；②．
（2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小．
【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A（1，0）作单位圆的切线，如果tanα存在，设该切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T．单位圆中的有向线段 ， ， 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：，，．
【变式2】（23-24高一·江苏·课后作业）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型06 三角函数线的应用
【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）利用三角函数线比较大小
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）[多选题]已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是 .
12．（2020高三·全国·专题练习）若角的终边上有一点，则的值是 ．
四、解答题
13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求．
B能力提升
1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则 ．
3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上．
(1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值；
(2)求的值．
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第02讲 5.2.1三角函数的概念
课程标准 学习目标
①理解结合单位圆定义三角函数的意 义。 ②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。 ③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。 1.掌握三角函数的定义； 2会求任意角的三个三角函数值； 3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；
知识点01：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：②余弦函数：　③正切函数：()
知识点02：三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知识点03：特殊的三角函数值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
知识点04：诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示:
①
②
③其中.
知识点05：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：
在中：
为正弦线，长度为正弦值。
为余弦线，长度为余弦值。
在中：。
为正切线，长度为正切值。
题型01 利用三角函数的定义求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出终边上关于对称的点,再利用正切函数的定义求解即可.
【详解】因为角的终边上有一点,且角、的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,终边关于轴对称,故终边过.故.
故选：D
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义求值,属于基础题.
【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的终边与单位圆交于点，则
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义进行求解，注意两解的情况.
【详解】根据三角函数的定义，，
由同角三角函数关系得：；
当，代入解得
；
当，代入解得
.
综上所述，原式等于或.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的定义，属基础题.
【变式1】（2024·陕西榆林）若角的终边经过点，则的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知角的终边经过点，则 ， ， ．
【答案】 /-0.5 / /
【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.
【详解】因为，所以，
由三角函数的定义知，，．
故答案为：；；
题型02由终边或终边上点求三角函数值
【典例1】（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用任意角三角函数定义求正弦值和余弦值再计算即可.
【详解】，为坐标原点，
则，，
故.
故选：C.
【典例2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出，，再代入计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以
.
故选：D
【典例3】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】
【解析】根据三角函数定义直接求结果.
【详解】由三角函数的定义可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据三角函数定义求三角函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
【变式1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义求解即可.
【详解】角的终边过点，
故.
故选：A
【变式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
故选：C.
【变式3】（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 .
【答案】 /
【分析】利用三角函数的定义易得正切值和余弦值.
【详解】依题意，，，
则
故答案为：；.
题型03由三角函数值求终边上的点或参数
【典例1】（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义计算即可得.
【详解】由三角函数定义可得，解得.
故选：C.
【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参即可.
【详解】由题设，可知，且，即，
，则，
解得（舍）或，综上，．
故答案为：
【典例3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角的终边经过点，若，则实数 ．
【答案】
【分析】由三角函数的定义求出角的正弦值，且，建立等式，求参数的值即可；
【详解】由于角的终边经过点，
由角正弦的定义得：，且，
得：，解方程得：，
即，得，
由于，则，
所以．
故答案是：.
【变式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.
【详解】点是第二象限的角终边上的一点，则，
由，得，所以.
故选：C
【变式2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以，解得，
所以.
故选：A.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【详解】由题设知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案为：.
题型04 三角函数值符号的运用
【典例1】1．（23-24高一下·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上
【答案】D
【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果.
【详解】因为，所以的终边在第四象限，即，
则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限；
故选：B
【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意首先得出，对于ABD三个选项的判断比较常规，对于C而言，这里要利用到商数关系、平方关系进行变形.
【详解】由题意为第三象限角，所以，
从而，，
，.
故选：D.
【变式1】（23-24高一上·重庆·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的基本关系式，结合角的范围即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
则.
故选：A.
【变式2】(多选）（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先算出的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：AC.
题型05画三角函数线
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线 余弦线 正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT
【答案】D
【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线 余弦线 正切线.
【详解】由题图知：圆O为单位圆，则，
且，
故角的正弦线 余弦线 正切线分别是有向线段MP，OM，AT.
故选：D
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．
①；②．
（2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，，，
【分析】（1）根据三角函数线的知识画出图象；
（2）根据三角函数线的知识画出图象，并由此进行比较大小.
【详解】（1）如图，有向线段分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线．
（2）如图，
，，，
，，．
由图可知：，且符号皆正，∴；
，且符号皆负，∴；
，且符号皆负，∴．
【变式1】（24-25高一上·全国·课前预习）三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P．过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，过点A（1，0）作单位圆的切线，如果tanα存在，设该切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T．单位圆中的有向线段 ， ， 分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：，，．
【答案】 DP OD AT
【分析】略
【详解】略
【变式2】（23-24高一·江苏·课后作业）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解；（3）答案见详解；（4）答案见详解；
【分析】作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，过点作轴，交角的终边（或终边的反向延长线）于T，则正弦线为PM，余弦线为OM，正切线为AT.
【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（2）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边反向延长线于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（3）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（4）因为，所以角与角的终边相同，
作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
题型06 三角函数线的应用
【典例1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦线的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
在单位圆中，观察正弦线可知，
在区间，的长度随着增大而增大，
所以
故选：D

【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先做出三角函数线，根据三角函数线，比较大小.
【详解】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图所示，
∵，，，
∴．
故选：B．
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）利用三角函数线比较大小
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据三角函数线即可比较大小.
【详解】（1）与对应的三角函数线分别为有向线段如下图所示：
故，

（2）与对应的三角函数线分别为有向线段
由图可得：．
（3）与对应的三角函数线分别为有向线段所以
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
【答案】D
【分析】根据角所在象限，应用对应函数线的大小关系判断各项正误.
【详解】A：都是第一象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

B：都是第二象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

C：都是第三象限角，如下图单位圆中，
此时，错；

D：都是第四象限角，如下图单位圆中，
此时，对.

故选：D
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）[多选题]已知，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
若，是第二象限角，如图，，，观察可知，即，所以B正确；
若，是第三象限角，如图，由，可得，此时，即，所以C不正确；
若，是第四象限角，如图，，，则，即，所以D正确.
故选：BD．
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 .
故答案为：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高一上·北京·开学考试）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角α的终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数定义，求出，即可求出的值．
【详解】解：角的终边上有一点，
，
故选：B．
3．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，下列说法正确的是（ ）．
A．的值越大，梯子越陡；
B．的值越大，梯子越陡；
C．的值越小，梯子越陡；
D．陡缓程度与的三角函数值无关．
【答案】A
【分析】直接由三角函数的定义以及实际意义即可得解.
【详解】根据“锐角的正弦、余弦、正切”的定义，点A竖立墙面的距离是“常数”；
对于A，的值越大，越大，梯子越陡，正确；
对于B，的值越大，越小，梯子越缓，错误；
对于C，的值越小，越小，梯子越缓，错误；
对于D，根据的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，错误．
故选：A.
4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，B为钝角，则点（ ）
A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数定义即可判断.
【详解】在中，因为B为钝角，则为锐角，
则，则点在第四象限.
故选：D.
5．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边在直线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在终边上取点（或），根据三角函数的定义计算可得.
【详解】在角的终边上取一点，所以；
或角的终边上取一点，所以，
综上可得等于.
故选：B．
6．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据条件，代入求函数值，先求，即可求出结果.
【详解】因为，得到，
所以，
故选：A.
7．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得的值，代入计算即可.
【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：B.
8．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【详解】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，
则，且，解得．
故选：D．
二、多选题
9．（22-23高一上·广东湛江·期末）若，则角θ的终边可能落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】AB
【分析】当，则与同号，从而可判断．
【详解】当，则与同号，
角θ的终边可能落在第一或第二象限．
故选：AB．
10．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】DC
【分析】由角在第三象限，确定所在象限并确定函数值的符号即可得解.
【详解】由角的终边在第三象限，得，则，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，，
当是第四象限角时，.
故选：BC
三、填空题
11．（23-24高一上·上海·期末）方程的解是 .
【答案】或
【分析】根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以或，
即方程的解是或.
故答案为：或.
12．（2020高三·全国·专题练习）若角的终边上有一点，则的值是 ．
【答案】或．
【分析】由已知求得，对分类讨论即可求得的值．
【详解】，，
当时，，；
当时，，．
的值是或．
故答案为：或．
四、解答题
13．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义先算出，然后由正切函数值的定义求解.
【详解】由于为第二象限的角，则，
根据三角函数的定义，，解得，
则
14．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别求满足下列条件的角x的集合.
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【答案】(1).
(2)
(3)
【分析】通过解三角函数值，得到取值范围，再与题目所给的范围取交集，得解.
【详解】（1）由题意得或，，
，
，
；
（2）由题意得或，，
，
，
；
【分析】根据对数的运算及性质化简可得，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意知，，
即，
化简得，
则
故答案为：1
3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知角的终边在直线上．
(1)若角终边上一点的横坐标为，求和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)， ；
(2)
【分析】（1）求出点的坐标，再根据三角函数的定义求解即可；
（2）任取的终边上一点，，分两种情况，根据三角函数的定义求解即可.
【详解】（1）因为点的横坐标为，
所以，
即点的坐标为，
所以，
所以，
，
（2）设的终边上任一点为，
则，
当时，，
所以，
，
所以；
当时，，
所以，，
所以；
综上：的值为0．
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