(人教A版数学必修一讲义)第5章第03讲5.2.2同角三角函数的基本关系(知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第03讲 5.2.2同角三角函数的基本关系
课程标准 学习目标
①掌握同角三角函数的基本关系式。 ②能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明。 会用同角三角函数的基本关系进行求值、化简、证明
知识点01：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
【即学即练1】（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
知识点02：关系式的常用等价变形
1、
2、
【即学即练2】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
题型01 同角三角函数的基本关系
【典例1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ．
【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，且是第二象限角，求、．
题型02 平方关系
【典例1】（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ．
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 .
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.
题型03 已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）已知，且是第二象限角，求和.
（2）若，求的值.
【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 利用平方关系求参数
【典例1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知和是方程的两个实数根，则的值是 ．
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式2】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 .
题型05 已知,求关于和的齐次式的值
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求．
【典例3】（23-24高一下·上海·期中）已知.求：
(1)的值；
(2)求的值.
【变式1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值．
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
题型06 利用,与之间的关系求值
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，.则= ，= ．
【变式1】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知，，则 .
【变式3】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ．
题型07利用同角三角函数的基本关系式化简
【典例1】（多选）（22-23高一下·河南南阳·期中）的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【典例3】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，其中为第三象限角且
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若，的化简结果为 .
【变式2】（22-23高一下·四川内江·阶段练习）（1）若，求的值．
（2）若，化简
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）（1）化简：
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·江苏扬州·期中）1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
10．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）下列计算或化简，结果正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
12．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 .
四、解答题
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
14．（23-24高一下·上海·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
B能力提升
1．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知命题“，使得”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值 ．
第03讲 5.2.2同角三角函数的基本关系
课程标准 学习目标
①掌握同角三角函数的基本关系式。 ②能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明。 会用同角三角函数的基本关系进行求值、化简、证明
知识点01：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
【即学即练1】（2024·四川乐山·三模）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，又为第二象限角，所以.
故选：A.
知识点02：关系式的常用等价变形
1、
2、
【即学即练2】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
【答案】答案见解析
【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解；
（2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解
【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则；
（2），则是第二或四象限的角，
当是第二象限角时，，由，解得；
当是第四象限角时，，由，解得；
题型01 同角三角函数的基本关系
【典例1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解.
【详解】因为，所以即，
又因为，所以，解得，
因为是第三象限角，所以.
故选：D.
【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）若，，且为第四象限的角，则实数 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合角所在象限求出.
【详解】由，，为第四象限的角，得，则，
又，则，解得.
故答案为：
【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，为第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的商数与平方关系求解，再根据所在象限求解即,代入可得.
【详解】由，得，所以，
联立，解得，
因为为第三象限角，
所以，
故
故选：C.
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知，且是第二象限角，求、．
【答案】，
【分析】由同角三角函数关系及所在象限分别求得和的值.
【详解】因为是第二象限角，所以，
.
题型02 平方关系
【典例1】（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用同角三角函数关系计算求解即可.
【详解】因为为第二象限角,又因为,
所以.
故选：C.
【典例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ．
【答案】/
【分析】由同角三角函数关系求出并检验，结合商数关系即可求解.
【详解】，
由，可得，解得或．
又为第三象限角，，把的值代入检验得，
，可得．
故答案为：.
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 .
【答案】0或1
【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可
【详解】由于，．根据题意得到：
，即，解得.
满足,则k的值为0或1.
故答案为：0或1.
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值.
【详解】解：由，
易得，
解得或1.
由，所以
①当时，，，不合题意，舍去；
②当时，，，符合题意.
综上，.
题型03 已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数基本关系式结合三角函数符合可得结果.
【详解】因为，
又，
又，，所以，
所以，
故选：D.
【典例2】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）（1）已知，且是第二象限角，求和.
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）或
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得.
（2）首先判断是第二、四象限角，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】（1）因为，且是第二象限角，
所以，
所以.
（2）因为，所以是第二、四象限角.
由，可得.
当是第二象限角时，；
当是第四象限角时，.
【变式1】（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用同角三角函数关系结合三角函数的正负计算即可.
【详解】因为所以
又因为，所以,
因为，所以，所以.
故选：C.
【变式2】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的三角函数和切弦互化计算可得.
【详解】因为为第二象限角，且，
所以，
所以，
故选：B
题型04 利用平方关系求参数
【典例1】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【答案】0或
【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
当时，，，；
当时，，，.
综上所述，或.
故答案为：0或.
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知和是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】由韦达定理，立方和公式及同角三角函数基本关系式计算可得结果.
【详解】因为和是方程的两个实数根，
所以，，，
所以，
即，解得，满足．
所以
．
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.
【详解】由可得或，
由于为第二象限角，所以，
故当时，不符合要求，
则符合要求，
故选：D
【变式2】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 .
【答案】/
【分析】利用韦达定理及同角公式列式计算并验证得解.
【详解】由方程有两根，得，解得，
依题意，，则，解得，符合题意，
所以实数等于.
故答案为：
题型05 已知,求关于和的齐次式的值
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据将所求式子分子化为齐次式，再利用同角三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果.
【详解】.
故选：D
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的商数关系计算正、余弦齐次式.
【详解】已知，则．
【典例3】（23-24高一下·上海·期中）已知.求：
(1)的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；
（2）根据结合同角三角函数的关系求解即可.
【详解】（1）显然，故则，解得.
（2）
【变式1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求的值．
【答案】.
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算即得.
【详解】，所以.
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将式子齐次化即可求解；
（2）将1看做，再进行齐次化即可求解.
【详解】（1）因为，所以，将式子的分子分母同时除以得：
所以．
（2）．
题型06 利用,与之间的关系求值
【典例1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求得，再逐项分析判断得解.
【详解】由，得，解得，
对于A，，则，，A正确；
对于D，，D正确；
对于B，由，，得，B错误；
对于C，，C正确.
故选：B
【典例2】（多选）（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解.
【详解】因为，平方可得，
解得，
因为，所以，所以，所以A正确；
又由，
所以，所以D正确；
联立方程组 ，解得，所以B正确；
由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.
故选：ABD
【典例3】（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，.则= ，= ．
【答案】 /
【分析】对平方即可求解，根据完全平方公式，联立方程即可求解，即可求解.
【详解】，.
，，又，；
由得： 或（舍），.
故答案为：；
【变式1】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D.
【详解】因为，所以，
即，即，
所以，故A错误；
又，，所以，则，则 ，
所以，故B正确、C错误；
，故D正确；
故选：BD
【变式2】（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知，，则 .
【答案】
【分析】两边平方即可得到，代入得到即可.
【详解】由已知，所以，
所以.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值．
【详解】
，，
则，
故答案为：．
题型07利用同角三角函数的基本关系式化简
【典例1】（多选）（22-23高一下·河南南阳·期中）的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】DD
【分析】根据角所在的象限分类讨论即可.
【详解】因为，
所以且，
若在第一象限，则，故原式，
若在第二象限，则，原式，
若在第三象限，则，原式，
若在第四象限，则，原式
故选：BD
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可；
（2）利用完全平方公式和同角三角函数的基本关系进行化简即可得解.
【详解】（1）原式=．
（2）原式
．
【典例3】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，其中为第三象限角且
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合同角三角关系分析可得，进而可得，结合齐次式问题分析求解；
（2）根据同角三角关系结合齐次式问题分析求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
因为为第三象限角，则，即，
所以原式.
（2）由（1）可知：，
由题意可得：
.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若，的化简结果为 .
【答案】
【分析】先对分式进行变形构造出平方，然后把原式转化成绝对值形式，最后去绝对值计算即可.
【详解】由题意知,
故
,
故答案为：.
【变式2】（22-23高一下·四川内江·阶段练习）（1）若，求的值．
（2）若，化简
【答案】（1）1；（2）.
【分析】（1）利用正余弦齐次式法计算即得.
（2）利用同角公式化简给定式子.
【详解】（1）由，得
.
（2）由，得，
.
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）（1）化简：
（2）已知，计算
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可；（2）利用弦切互化求解即可.
【详解】（1）
（2）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角基本关系式可以求得.
【详解】因为是第三象限角，且，
所以，
所以，
故选：B.
2．（23-24高一下·山东·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角的三角函数之间的关系求解即可.
【详解】因为，所以的终边位于第三象限，
所以.
故选：B.
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据切弦互化法计算即可求解.
【详解】因为，
所以．
故选：B．
4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，则（ ）
A．0 B． C．或0 D．
【答案】D
【分析】由方程可求出的值，利用，确定，求出，计算即得.
【详解】由可得，
因，则，故，则，
所以
故选：D.
5．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数关系式中的商关系，结合平方差公式，三角函数关系中平方和为1进行代换求解即可.
【详解】.
故选：B
6．（2024高一·全国·专题练习）已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可.
【详解】因为角α的终边在函数的图象上，所以，
=
故选：A.
7．（24-25高一·上海·随堂练习）若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B．
8．（23-24高一下·江苏扬州·期中）1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意将式子进行化简，再利用弦切互化的方法求解即可.
【详解】由题意 , 且 ,
可得 ,
两边平方, 可得
即
可得 ，
解得 .
故选: .
二、多选题
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
【答案】AD
【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C.
【详解】对于A，，A正确，,；
对于B，，B不正确，；
对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确．
对于D，∵α为第一象限角，
∴原式，D正确．
故选：AD.
10．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）下列计算或化简，结果正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】由商数关系、平方关系依次化简各个选项，对比验证即可得解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【答案】0或
【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
当时，，，；
当时，，，.
综上所述，或.
故答案为：0或.
12．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系化简即可.
【详解】因为为第二象限角，所以，
，
故答案为：
四、解答题
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根式的化简与同角三角函数基本关系进行求解即可；
，当且仅当时取等号，
因此当时，取得最小值，
由，使得，得，
又命题“，使得”为假命题，则，
所以的取值范围为.
故选：A
2．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值 ．
【答案】/
【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.
【详解】由，
故
，
由，故、，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
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