(人教A版数学必修一讲义)第5章第04讲5.3诱导公式(知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第04讲 5.3诱导公式
课程标准 学习目标
①掌握诱导公式的内容、规律适用范围。 ②了解诱导公式的作用。 ③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式 理解与掌握诱导公式的内容，会用诱导公式进行相关的运算
知识点一：公式二
知识点二：公式三
知识点三：公式四
知识点四：公式五
知识点五：公式六
知识点六：公式七
知识点七：
题型01给角求值问题
【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1） ； ；
（2）计算： ．
【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式1】（2024·天津河北·模拟预测）的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习） .
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期中）求值：
(1)
(2)
题型02 给值(式)求值问题
【典例1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，且，则 ．
【典例3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且是第三象限角，求的值．
【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，求.
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值．
题型03 三角函数的化简求值问题
【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）化简：．
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【典例3】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.
已知角，且________.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 .
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值．
【变式3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简：
(1)；
(2)；
题型04 利用诱导公式证明三角恒等式
【典例1】（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）求证：．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：．
【变式2】（2024高一·全国·专题练习）求证：．
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）求证：.
题型05 诱导公式在三角形中的应用
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（ ）
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【典例2】（多选）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知角A为锐角，，
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
【变式1】（23-24高三上·江苏·开学考试）若的内角A，B，C满足， 则A与B的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一下·安徽·开学考试）已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）中，若，则形状为 ．
题型06诱导公式与同角函数基本关系的应用
【典例1】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ．
【典例2】（23-24高一上·上海·期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求值：.
【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 .
【变式2】（23-24高一下·广西柳州·期中）已知
(1)若角的终边过点，求；
(2)若，求的值．
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么约等于（ ）
A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.95
2．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
四、解答题
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值．
14．（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
(3).
B能力提升
1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（23-24高三上·陕西铜川·期末）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（ ）
0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848
A． B． C．0.14 D．0.18
3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ；
4．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）.
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足，且角为第四象限角；
条件③：角满足且.
(1)求的值；
(2)求的值.
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第04讲 5.3诱导公式
课程标准 学习目标
①掌握诱导公式的内容、规律适用范围。 ②了解诱导公式的作用。 ③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式 理解与掌握诱导公式的内容，会用诱导公式进行相关的运算
知识点一：公式二
知识点二：公式三
知识点三：公式四
知识点四：公式五
知识点五：公式六
知识点六：公式七
知识点七：
题型01给角求值问题
【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确．
故选：C
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1） ； ；
（2）计算： ．
【答案】 / / 1
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）；
；
（2）；
；
.
故答案为：
【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
【变式1】（2024·天津河北·模拟预测）的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】代入诱导公式，即可求解.
【详解】.
故选：D
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习） .
【答案】
【分析】借助诱导公式计算即可得.
【详解】
.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期中）求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
题型02 给值(式)求值问题
【典例1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式直接求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
【典例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据已知角与所求角之间的关系，利用诱导公式与同角三角函数关系求值即可.
【详解】.
，，
，则，
．
故答案为：.
【典例3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且是第三象限角，求的值．
【答案】
【分析】根据是第三象限角可求得所在象限，再由诱导公式计算可得结果.
【详解】因为是第三象限角，所以是第二象限角，则，
又，所以是第二象限角，
可得，
所以
．
【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.
【详解】易知.
故选：D
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，求.
【答案】
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】
．
【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值．
【答案】
【分析】利用整体代换法以及诱导公式代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意可得，
所以．
题型03 三角函数的化简求值问题
【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）化简：．
【答案】
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】原式
．
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)【分析】（1）利用诱导公式和同角关系式中的商数关系化简即可；
（2）利用诱导公式化简即可.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
【典例3】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.
已知角，且________.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，根据同角三角函数关系结合齐次化方法，可得，解方程求，
若选②，根据同角关系由求，再求；
（2）根据诱导公式化简求值.
【详解】（1）若选①，因为，所以，
则，解得：或，
因为角，所以；
若选②，因为，角，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，，
所以
【变式1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 .
【答案】
【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可．
【详解】，
故答案为：
【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）若，求的值．
【答案】
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数之间的基本关系即可求出结果.
【详解】利用诱导公式将原式化简可得
原式
又因为，
所以．
【变式3】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）化简：
(1)；
(2)；
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由诱导公式进行求解即可；
（2）由诱导公式进行求解即可．
【详解】（1），
，
则原式；
（2）原式．
题型04 利用诱导公式证明三角恒等式
【典例1】（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABC.
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：左边
=右边，所以原式成立．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】左边右边，
所以．
【变式2】（2024高一·全国·专题练习）求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）求证：.
【答案】证明见解析
【解析】直接利用诱导公式化简即可.
【详解】证明：左边==右边
所以原等式成立
题型05 诱导公式在三角形中的应用
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（ ）
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【答案】D
【分析】由诱导公式结合对选项一一化简即可得出答案.
【详解】①因为在中，，
所以；
②因为在中，，；
③
；
④
.
故选：B.
【典例2】（多选）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系分别对各选项进行化简计算即可验证.
【详解】对于A, ,A正确;
对于B, ,B错误;
对于C, , C正确;
对于D, , D错误.
故选:AC.
【典例3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知角A为锐角，，
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数之间的基本关系分析运算；
（2）根据诱导公式化简整理，并代入，计算即可得出结果.
【详解】（1）由，可得，
由角A为锐角，则，
所以，故．
（2）∵，
由（1）可得，
即．
【变式1】（23-24高三上·江苏·开学考试）若的内角A，B，C满足， 则A与B的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意由可得或，再分类讨论，即可判断.
【详解】因为，且 A，B，C为的内角，因为所以
所以或，
若，则，此时不存在，故舍去；
∴ .
故选：A.
【变式2】（多选）（23-24高一下·安徽·开学考试）已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据锐角三角形分析角的范围与关系，并利用诱导公式，以及对数函数的单调性，即可判断正误.
【详解】解：因为三角形为锐角三角形，所以，则，
所以，A选项正确；
同理，则，，
因此，，B，C选项正确；
由于，所以在是增函数，
又，所以，D选项错误．
故选：ABC．
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）中，若，则形状为 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据三角形内角和定理得到，利用诱导公式化简，得到，求出，即可确定出三角形形状．
【详解】解：，，
，即，又
，即，
则为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
题型06诱导公式与同角函数基本关系的应用
【典例1】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ．
【答案】/
【分析】由题可知，利用诱导公式化简，再代值计算即可．
【详解】因为是角α终边上一点，所以，
原式，
故答案为：．
【典例2】（23-24高一上·上海·期末）已知，.
(1)求的值；
(2)求值：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解；
（2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，即，
即，所以，
又，则，所以，所以，
所以，
则
，
所以，，
则．
（2）因为，
所以
.
【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用诱导公式化简并代入求值.
（2）求出，利用诱导公式及齐次式法求值.
【详解】（1）依题意，，则，，，
所以原式.
（2）由（1）知，，
所以原式.
【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式、同角公式计算即得.
【详解】由，得，则，
由，得，即，解得，
所以.
故答案为：
【变式2】（23-24高一下·广西柳州·期中）已知
(1)若角的终边过点，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据诱导公式化简，即可由三角函数的定义求解，
（2）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）
若角的终边过点，则，
所以
（2）若，
所以
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求的值.
【答案】3
【分析】根据题意，由诱导公式化简，化为正切的齐次式，代入计算，即可求解.
【详解】原式.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么约等于（ ）
A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.95
【答案】A
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：A.
2．（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式即可得到答案.
【详解】
故选：C.
3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；
【详解】由诱导公式得，又由，可得．
故选：A.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和与题设条件，求出，再利用同角的三角函数基本关系式即得.
【详解】因中，，则，
则，
因，则，故.
故选：C.
5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】，即，
因为是第四象限角，所以，
所以.
故选：B
6．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.
【详解】易知.
7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且为第二象限角，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及诱导公式求解，再利用诱导公式和商数关系化简即可．
【详解】∵，
∴，
∴
∵α为第二象限角，
∴，
∴
．
8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.
二、多选题
9．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）在中，下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用诱导公式，结合三角形内角和定理逐项判断即得.
【详解】在中，，
对于A，，A正确；
对于B，，不一定为0，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，不一定为0，D错误.
故选：AC
10．（23-24高一下·河南南阳·期中）下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DC
【分析】直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案．
【详解】，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误．
故选：BC
三、填空题
11．（24-25高一上·全国·随堂练习）化简： .
【答案】
【分析】运用诱导公式直接化简即可.
【详解】
.
故答案为：.
12．（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知角α终边上一点，求的值 ．
故答案为：．
四、解答题
13．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，且，求的值．
【答案】
【分析】利用整体代换法以及诱导公式代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意可得，
所以．
14．（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
(3).
∴.
B能力提升
1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.
【详解】由，可得，
又由
.
故选：A.
2．（23-24高三上·陕西铜川·期末）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角
4．（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）.
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足，且角为第四象限角；
条件③：角满足且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，则由任意角三角函数的定义求出，然后化简代值计算即可；若选条件②，利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可；若选条件③，先解方程求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可；
（2）由（1）知选条件①，②，③时，，代入计算即可.
【详解】（1）若选条件①，则，
所以
；
若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得
，，
所以
；
若选条件③，则由，得，
化简得，得，
因为，所以，
所以，，
所以
；
（2）若选条件①，由（1）知，
所以
；
若选条件②，由（1）知，
所以
；
若选条件③，由（1）知，
所以
.
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