(人教A版数学必修一讲义)第5章第05讲5.4.1正弦函数、余弦函数的图象(知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第05讲 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
课程标准 学习目标
①理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法.掌握数形结合的优势。 ②通过两类函数图象认识函数图象的特点，并能通过两类图象的形状掌握两类函数的性质。 会作正弦函数、余弦函数的图象的同时，能认识图象与三角函数的密切关系，并能解决与图象有关的三角函数问题
知识点01：正弦函数的图象
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
知识点02：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数,的图象上,以下五个点:
，，，，
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
【即学即练1】（24-25高一上·上海·课前预习）利用“五点法”作函数，的图象.
知识点03：余弦函数的图象
余弦函数,的图象叫做余弦曲线.
知识点04：余弦函数图象的画法
(1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为.
(2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
【即学即练2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x 0 π 2π
题型01 用“五点法”作三角函数的图象
【典例1】（24-25高一上·上海·课前预习）“五点法”作的图象的步骤：
（1）列表（填写下表）.
0
x
y
（2）描点，五个点分别是 ， ， ， ， .
（3）连线.
【典例2】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
0
x
【变式1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图像并求它在上的增区间;
【变式2】（23-24高一下·四川自贡·期中）已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
题型02 利用图象解三角不等式
【典例1】（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在内，使成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 .
【典例3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 .
【变式1】（2024高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 ．
【变式3】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为 .
题型03 利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
【典例1】（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【典例2】（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数和，则这两个函数图象在的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【典例4】（24-25高一·上海·随堂练习）方程的实数解的个数为 ．
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）方程的实数根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型04 利用图象根据方程的解或函数零点求参数或零点代数和
【典例1】（2024·内蒙古包头·三模）已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多选）（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求这两实根之和．
【变式1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·浙江温州·期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 .
5．（23-24高一下·湖北·期末）当时，曲线与直线的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 E．4
10．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数与的图象在区间的交点个数为 .
12．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）函数的零点个数为
四、解答题
13．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)；
(2)．
B能力提升
1．（23-24高一下·广西柳州·期中）定义运算，例如，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则与图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（23-24高二下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若存在实数.满足，且，则的取值范围是
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线；
(2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围.
第05讲 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
课程标准 学习目标
①理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法.掌握数形结合的优势。 ②通过两类函数图象认识函数图象的特点，并能通过两类图象的形状掌握两类函数的性质。 会作正弦函数、余弦函数的图象的同时，能认识图象与三角函数的密切关系，并能解决与图象有关的三角函数问题
知识点01：正弦函数的图象
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
知识点02：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数,的图象上,以下五个点:
，，，，
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
【即学即练1】（24-25高一上·上海·课前预习）利用“五点法”作函数，的图象.
【答案】答案见解析
【分析】利用“五点法”作函数的图象即可.
【详解】时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
时，，所以，
可得函数，的图象如下图.
知识点03：余弦函数的图象
余弦函数,的图象叫做余弦曲线.
知识点04：余弦函数图象的画法
(1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为.
(2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
【即学即练2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x 0 π 2π
【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】根据“五点法”列表，描点作图即可得解.
【详解】补充完整的表格如下：
x 0 π 2π
1 3 5 3 1
描点、连线得函数的图象如图所示，

题型01 用“五点法”作三角函数的图象
【典例1】（24-25高一上·上海·课前预习）“五点法”作的图象的步骤：
（1）列表（填写下表）.
0
x
y
（2）描点，五个点分别是 ， ， ， ， .
（3）连线.
【答案】 0 0 0
【分析】根据“五点作图法”可得答案.
【详解】（1）令，可得，；
令，可得，；
令，可得，；
令，可得，；
令，可得，；
（2）描点，五个点分别是，，，，.
（3）连线.
故答案为：①；②；③；④；⑤；
⑥0；⑦；⑧0；⑨；⑩0； ； ； ；
； .
【典例2】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
0
x
【答案】(1)作图见解析；
【分析】（1）根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象.
【详解】（1）分别令，得：
0
x
0 1 0 0
画出函数在一个周期的图象，如图，
【变式1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图像并求它在上的增区间;
【答案】(1)图像见解析，在上的增区间为，.
【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在内的简图；
【详解】（1）列表
0
1 0 0
由图可知，时，单调递增，时，单调递增，
所以在上的增区间为，.
【变式2】（23-24高一下·四川自贡·期中）已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
【答案】(1)图象见解析
【分析】（1）根据“五点法”作图的步骤求解即可；
【详解】（1）列表
0
0 2 0 0
描点、连线得到图象如下

题型02 利用图象解三角不等式
【典例1】（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在内，使成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出函数和在内的图象，根据图象直接观察得到答案.
【详解】作出函数和在内的图象，
，
函数的图象在函数的图象上方的区间就是的解集，
即为.
故选：C.
【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，作出正弦函数的图象，再结合图象求解不等式.
【详解】画出，的草图如下：

当时，由，得，又，
观察图象，当时，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【典例3】（23-24高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】画出的图象，由图象即可求解.
【详解】

画出的图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.
故答案为：
【变式1】（2024高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数在各象限的符号并结合正弦、余弦函数图像即可求解.
【详解】因为sinx>|cosx|且x∈(0，2π)，
所以sinx>0，
所以x∈(0，π)，
在同一平面直角坐标系中画出y=sinx，x∈(0，π)与y=|cosx|，x∈(0，π)的图象，
观察图象易得x∈．
故选：A.
【变式2】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】可先求出，的解集，在将代替解出，则不等式的解集可求.
【详解】画出时，的图象．

令，，解得或
又的周期为，所以的解集为．
用代替解出．可得
则的解集为.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】对数的真数必须大于零，得，解此三角不等式即得所求
【详解】对数的真数必须大于零
则
即

解之得：（）
故答案为：（）
题型03 利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
【典例1】（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可.
【详解】由，得，
方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数，
当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根．
故选：A
【典例2】（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数和，则这两个函数图象在的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为的最小正周期，的最小正周期，
画出函数与在上的图象如下所示：
由图可知，两函数图象有个交点.
故选：D
【典例3】（多选）23-24高一下·广东茂名·期中）函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】ABD
【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数.
【详解】首先画出函数，的图象，

当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点.
故选：ABD
【典例4】（24-25高一·上海·随堂练习）方程的实数解的个数为 ．
【答案】2
【分析】直接画出两个函数图象即可得解.
【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
方程的实数解的个数等于函数的图象的交点个数，
由图可知，它们的图象有两个交点，故有两个实数解．
故答案为：2.
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）方程的实数根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可.
【详解】由，得，即，
方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数，
当时，两函数图象如图所示，
两图象有3个公共点，同理，当时，两图象也有3个公共点，
故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根．
故选：C.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象与直线交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】画出的图象，观察其与直线的交点个数即可.
【详解】的图象如图所示，
由图可知其与直线有2个交点.
故选：C.

【变式3】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
题型04 利用图象根据方程的解或函数零点求参数或零点代数和
【典例1】（2024·内蒙古包头·三模）已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得在区间上恰有5个实根，由求出的范围，然后作出和的图象，结合图象求解即可.
【详解】由，得，
因为方程在区间上恰有5个实根，
所以在区间上恰有5个实根，
由，得，
作出和的图象，

由图可知当时，在区间上恰有5个实根，
解得，
即的取值范围是为.
故选：A
【典例2】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，得或，作出函数的图象，结合函数图象，分，和三种情况讨论即可得解.
【详解】令，即，
解得或，
如图，作出函数的图象，
当时，有无数个解；
当时，则方程无解，
因为函数在有6个不同零点，
所以方程在有6个不同的实根，
即函数的图象在有6个不同的交点，
由图可知，，所以，
当时，则方程无解，
则方程在有6个不同的实根，
即函数的图象在有6个不同的交点，
由图可知，，所以，
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：画出函数的图象，根据图象分类讨论是解题的关键.
【典例3】（多选）（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】DCD
【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误.
【详解】作出函数的图象，如图：
令，得或或，
由存在实数满足，
得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确；
由与关于对称，得，B正确；
由，得，
即，则，
整理得，C正确；
，由图象得，于是，
即，因此，A错误.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.
【典例4】（24-25高一·上海·随堂练习）已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求这两实根之和．
【答案】(1)
(2)两实根之和为或
【分析】（1）首先由函数在有且只有两个不同的零点，转化为函数与有两个不同的交点，设，画出的图像，数形结合即可得出的范围．
（2）直接根据图象即可求解.
【详解】（1）令，即，
因为函数在区间有且只有两个不同的零点，
所以函数与有两个不同的交点，
设，画出函数在区间上的图象，如图所示，
结合图象可得，或，
解得，
（2）由图可知，这两实根之和为或，
所以或
【变式1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得或，求出的值，再由求出的范围，然后由方程在区间上恰有4个实根，可得，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，
所以或，
所以，或，或，或，
由，得，所以，
因为方程在区间上恰有4个实根，
所以，解得，
故选：D
【变式2】（23-24高二下·浙江温州·期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当时，分析函数单调性及最值，得当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，结合图象分析得，解不等式即可.
【详解】当时，是减函数，且，
故当时有且仅有一个零点，
由题意得，当时，有3个零点，
，
，
令，即，
结合图象分析得，即，解得.
故选：.
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 .
【答案】0
【分析】作出函数与函数的图象，根据图象结合对称性求解即可.
【详解】函数与函数的图象如下图所示
不妨设方程的所有根从小到大为，
由对称性可知，
则方程的所有根的和等于0.
故答案为：0
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
【答案】A
【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.
【详解】函数的最小正周期为，
用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象，
所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.
故选：A
2．（24-25高一·上海·随堂练习）函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解.
【详解】点与代入中， ，
∴，，
故选：A．
3．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】由“五点法”作图知：令，，，，，
解得，即为五个关键点的横坐标.
故选：B.
4．（23-24高一下·山西朔州·期中）函数，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的图像，即可得出时的最小值．
【详解】由的图像可知，时，，
所以，
故选：D．
5．（23-24高一下·湖北·期末）当时，曲线与直线的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】结合函数图象，函数的单调性得出结论．
【详解】作出函数和的图象，记，，
函数在上递减，在上递增，，
，，
结合图象知在上有两个交点，
故选：A．
6．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数和的图象，由图象交点个数得出结论．
【详解】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象，
当时，；当时，．
根据图象可得两个函数共有11个交点．
故选：C．
7．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数和在上的图象如下
从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点：
，即，得，
，，得，
所有交点横坐标之和为.
故选：A
8．（2024高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由根式有意义，解三角不等式可得.
【详解】由得，
解得.
故选：B．
二、多选题
9．（2024高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 E．4
【答案】ABC
【分析】结合正弦函数图象分析求解.
【详解】作出的图象（实线部分），
所以函数与直线（为常数）公共点个数可能是0，1，2.
故选：ABC.
10．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABCD
【分析】根据和对应的的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对分类讨论即可判断．
【详解】解：由题意知，，
，
在坐标系中画出函数的图象如图所示：

由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．
当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线无交点．
故选：ABCD．
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数与的图象在区间的交点个数为 .
【答案】
【分析】在同一个坐标系内分别作出正、余弦函数的图象，利用图象直接判断交点个数.
【详解】在同一个坐标系内分别作出函数与在区间上的图象，如图所示，由图象可知在该区间上的交点个数为3.
故答案是：3.

12．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）函数的零点个数为
【答案】6
【分析】转化为和的交点个数，画图数形结合得到答案.
【详解】，故，
画出和，两函数交点个数即为的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.
故答案为：6
四、解答题
13．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：
(1)；
(2)．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
【分析】（1）（2）根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象；
【详解】（1）解：因为，取值列表：
0
0 1 0 0
描点连线，可得函数图象如图示：
（2）因为，取值列表：
0
0 3 0 0
描点连线，可得函数图象如图示：
B能力提升
1．（23-24高一下·广西柳州·期中）定义运算，例如，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，利用图象求解值域即可.
【详解】由题意函数，
当时，，
当时，，
故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：
由图可知，函数的值域为.
故选：B
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则与图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.
【详解】由题意化简
，与图象有交点，
则有实根，令，则，
则化为，即的所有实根之和，即与所有交点横坐标之和，显然是周期为1的奇函数，为奇函数且在上为增函数，图像如图所示，
显然，一共有6个交点，它们的和为0，则
(2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围.
【答案】(1)作图见解析
(2)或
【分析】（1）利用五点作图法即可得解；
（2）将问题转化为与的图象有两个交点，结合图象即可得解.
【详解】（1）因为，
则列表如下：
所以的图象如图，
（2）因为，所以，
又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图，
因为方程在有两个不同的实数根，
所以与的图象有两个交点，故或.
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