(人教A版数学必修一讲义)第5章第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第06讲 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
课程标准 学习目标
①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握 正、余弦函数的性质。 ②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。 会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.
知识点01：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
【即学即练1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)．
知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期
函数 最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列三角函数的周期．
(1)，；
(2)，；
(3)，.
知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
图象 定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，;
图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线()
【即学即练3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
题型01 三角函数的周期问题及简单应用
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ．
题型02三角函数的奇偶性及其应用
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【典例2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ．
【变式1】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下列的函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题
【典例1】（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）同时具有下列性质：“①对任意，恒成立；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调，且有，则（ ）
A．直线是图像的一条对称轴
B．的最小正周期为
C．点是图像的一个对称中心
D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递增.
【变式3】（多选）（2024·福建莆田·三模）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
题型04求三角函数的单调区间
【典例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间．
【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数．
(1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；
(2)求函数在区间上的单调递增区间．
【变式1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)求在区间上的单调递减区间.
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域.
题型05利用单调性比较三角函数值的大小
【典例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）比较大小：
(1)与；
(2)与．
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与．
题型06已知三角函数的单调情况求参数问题
【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上单调，，且对任意的，都有，则初相的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·河南新乡·期末）若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数在上单调，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
题型07三角函数的对称性
【典例1】（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【变式1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数的图象关于直线对称，则可以为 .
（写出一个符合条件的即可）
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为T，若，为f(x)图像的对称中心.则的最小值为 .
题型08利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
【典例1】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【典例2】（2024高三上·全国·专题练习）函数，的值域为 ．
【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若的值域是，求的取值范围.
【变式2】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
题型09求值域（可化为一元二次函数型）
【典例1】（23-24高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为 .
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ．
【变式2】（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）若方程在内有解，则a的取值范围是 ．
题型10分式型求值域或最大(小)值
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）函数的定义域是 ，值域是 ．
【典例2】（2024·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ．
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·北京怀柔·期末）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，
，且，，则满足条件的实数的最小值为（ ）
A．506 B．507 C．508 D．509
2．（23-24高一下·新疆伊犁·期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．函数图像关于直线对称 B．在区间上是增函数
C．函数是周期函数，最小正周期是 D．函数的值域是
C综合素养
1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）已知函数（，）在区间上单调递增，，且______.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答.
①；②，在区间上至少有2个零点.
(1)求函数的解析式；
(2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
2．（23-24高一下·广东广州·期中）对于三个实数a，b，k，若成立，则称a，b具有“性质k”.
(1)，判断x，0是否具有“性质2”？
(2)，判断，0是否具有“性质4”？
(3)若存在及，使得成立，，1具有“性质2”，求实数m的取值范围.
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第06讲 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
课程标准 学习目标
①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握 正、余弦函数的性质。 ②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。 会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.
知识点01：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
【即学即练1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)偶函数
(2)偶函数
(3)奇函数
【分析】根据函数奇偶性的定义判断.
【详解】（1），，
因为，都有，
又，
所以函数是偶函数；
（2）函数的定义域为R，
因为，都有，
又，
所以函数是偶函数；
（3），，
因为，都有，
又，
所以函数为奇函数.
知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期
函数 最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列三角函数的周期．
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】结合三角函数的图象与性质，利用周期函数的定义求解即可.
【详解】（1）因为，由周期函数的定义知，的周期为.
（2）因为，由周期函数的定义知，的周期为.
（3）的图象如图（实线部分）所示.
由图象可知，的周期为.
知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
图象 定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，;
图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线()
【即学即练3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解.
【详解】对于AC，，AC不是；
对于BD，，B是，D不是.
故选：B
题型01 三角函数的周期问题及简单应用
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断.
【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的，
则最小正周期为，故A错误；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C错误；
对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的，
则最小正周期为，故D正确．
故选：D．
【典例2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A；根据 是奇函数， 的周期为 ，分别判断 BD；化简 , 再判断 C.
【详解】对于A,因为 ,
所以 的周期为 ,
因为 ,
所以 是偶函数,A 符合题意；
对于B, 是奇函数，B 不合题意；
对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意；
对于C,
因为
是偶函数，
因为 的周期是 符合题意.
故选: AC.
【变式1】（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可得：函数的最小正周期是.
故选：C.
【变式2】（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意；
对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意；
对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意；
对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意.
故选：D.
【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ．
【答案】6
【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可.
【详解】函数的最小正周期为，
显然，即是函数的周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6.
故答案为：6
题型02三角函数的奇偶性及其应用
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)奇函数；理由见解析
(2)偶函数；理由见解析
(3)偶函数；理由见解析
(4)非奇非偶函数；理由见解析
【分析】先求出函数的定义域，求出，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
则为奇函数.
（2）函数的定义域为，
，
则为偶函数.
（3）函数的定义域为，
，
则为偶函数
（4）函数的定义域为，
，所以不是奇函数
，，则，则不是偶函数，
所以非奇非偶函数.
【典例2】（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解.
【详解】由题意可知：关于原点对称，可知，
且，所以.
故答案为：.
【变式1】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：为函数的对称轴，
则，则，
对于选项A：令，解得，不合题意；
对于选项B：令，解得，符合题意；
对于选项C：令，解得，不合题意；
对于选项D：令，解得，不合题意；
故选：B.
【变式2】（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下列的函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】DCD
【分析】根据题意结合正、余弦函数的奇偶性逐项分析判断.
【详解】因为函数的定义域为，
对于选项A：因为，
可知不是偶函数，故A错误；
对于选项B：因为，
所以是偶函数，故B正确；
对于选项C：因为，
所以是偶函数，故C正确；
对于选项D：因为，
所以是偶函数，故D正确；
故选：BCD.
题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题
【典例1】（23-24高一下·四川内江·期中）已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的最小正周期为可求出，从而可得，根据函数图象关于点对称可得出，根据，可得或，根据单调性，可得的值.
【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，解得，
则，因为函数图象关于点对称，
所以，解得，
因为，所以或.
令，解得：，
所以的单调递增区间为，
又函数在区间上单调递增，
所以，，
解得：，
因为，所以，故，
故选：D
【典例2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）同时具有下列性质：“①对任意，恒成立；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对四个选项逐个分析判断是否具有①②③的性质即可得到答案.
【详解】由对任意，恒成立，得的周期为，
对于A，的周期为，所以不符合题意，
对于B，的周期为，则满足条件①，
因为，所以的图象关于直线对称，所以满足条件②，
由，得，因为在上是增函数，所以在上是增函数，所以满足条件③，所以B符合题意，
对于C，的周期为，则满足条件①，
因为，所以的图象关于直线对称，所以满足条件②，
由，得，因为在上不单调，所以在上不单调，所以不满足条件③，所以C不符合题意，
对于D，的周期为，则满足条件①，
因为，所以的图象不关于直线对称，所以不满足条件②，所以D不符合题意，
故选：B
【典例3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调，且有，则（ ）
A．直线是图像的一条对称轴
B．的最小正周期为
C．点是图像的一个对称中心
D．
【答案】ABD
【分析】通过函数在某区间上单调得出函数的最小正周期的范围，再通过三个函数值得出函数图像的对称中心和对称轴，进而得出函数的周期，求出有关参数，再逐一判断即可.
【详解】因为函数在上单调，
所以的最小正周期，
又因为，
所以函数的图像关于点，即点对称，
由及，知的图像关于直线对称，
所以的最小正周期，从而，故A，B正确；
因为函数的图像的一条对称轴为直线，
所以，解得，
又，所以，所以，
所以，
，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若关于对称，则的一个单调递增区间可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦型函数的对称性计算可得，结合正弦型函数的单调性计算即可得解.
【详解】关于对称，则，，
，，又，，
∴，
由，，
得，，
当时，得，
即的一个单调递增区间可以是．
故选：D.
【变式2】（多选）（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递增.
【答案】DD
【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法即可求出函数的对称轴和单调区间.代入验证零点.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
当，则，正弦函数在区间上先增后减，故D错误.
故选：BD
【变式3】（多选）（2024·福建莆田·三模）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】AB
【分析】由对称轴和对称中心列出关系式得，利用单调性得到，进而得或或，再注意验证是否符合题意可得答案.
【详解】由题意可得则，
即.因为在上单调，
所以，所以，即，所以，即，
解得.因为，所以或或.
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.
故选：AB.
题型04求三角函数的单调区间
【典例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间．
【答案】，．
【分析】函数可化为，结合正弦函数性质可求其单调递增区间.
【详解】 ，
令，又的单调递增区间是，，
∴令，，
得，，
∴函数的单调递增区间为，．
【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数．
(1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；
(2)求函数在区间上的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)和
【分析】（1）直接利用余弦函数的性质求最值及取最值时的集合；
（2）先通过求出的范围，再根据余弦函数的性质求解单调增区间.
【详解】（1）对于函数，
当，即时，函数取得最大值；
当，即时，函数取得最小值．
（2），，
由和可得
函数的单调增区间为和.
【变式1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)求在区间上的单调递减区间.
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)，.
【分析】（1）根据正弦函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦函数的单调性结合条件即得.
【详解】（1）由可得,，
当得即时，函数取得最大值，
当得即时，函数取得最小值，
即在区间上的最大值为，最小值为；
（2）∵时单调递减，
∴时单调递减，
当时，；
当时，；
∴的单调递减区间是，.
【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域.
【答案】单调增区间是和，值域为.
【分析】根据整体代入法即可求单调区间，根据单调区间即可求值域.
【详解】，.
由，，解得，.
当时，；当，.
又，所以函数的单调增区间是和
由单调区间可知，当时，，当时，，
所以函数的值域为.
所以函数的单调增区间是和，值域为.
题型05利用单调性比较三角函数值的大小
【典例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）比较大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦函数单调性比较大小即可；
（2）由诱导公式可得，，再结合正弦函数单调性比较大小.
【详解】（1）因为函数在上是减函数，
且，
所以．
（2），
．
因为函数在上是增函数，而，
所以，
所以．
故．
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
【答案】(1).
(2).
(3).
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小；
（3）利用诱导公式和余弦函数的单调性比较大小
【详解】（1）由，函数在上单调递增，
所以.
（2），，
由，有，
从而，即.
（3），
，且在上是减函数，
则，即.
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】（1）由，函数在上单调递增，
所以.
（2）由于，
，
因为函数在上单调递增，
由可得，所以，
所以.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）先应用诱导公式化简到同一单调区间，再应用正余弦函数单调性判断大小；
【详解】（1）∵，，
又在上单调递增，且，
∴，
∴．
（2）∵，
．
又在[0,π]上单调递减，且，
∴，∴．
题型06已知三角函数的单调情况求参数问题
【典例1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数在区间上单调，，且对任意的，都有，则初相的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数在区间上单调，得，又，则，又对任意的，都有，则为函数的最小值，然后分，，时讨论，即可得到初相的值.
【详解】因为函数在区间上单调，
所以，所以，又，则，
对任意的，都有，
即为函数的最小值，
当时，，
所以，
因为，则此时不存在；
当时，，
所以，
因为，则此时， ，
则，符合题意；
当时，，
所以，
因为，则此时， ，
则，不符合题意.
故选：D.
【典例2】（23-24高二下·河南新乡·期末）若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案.
【详解】若，则，故不满足条件；
若或，则对有，或.
所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件；
若，则，故不满足条件；
若，则由可知，存在正整数满足.
此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.
综上，满足条件的有和.
故选：C.
【变式1】（多选）（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数在上单调，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可.
【详解】由题意函数的最小正周期为，
因为函数在区间上单调，
可得，
则．
因为，
所以．
因为，
所以．
因为在上单调，
所以或
解得或．
故选：AB.
【变式2】（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案.
【详解】当时，不具备单调性，
当时，，
若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，
可得，因为在上是单调递增的，
所以在上不可能单调递减，所以不成立，
于是.
若函数在区间上单调递增，则
，，
若函数在区间上单调递增，则
，，
因为，所以时，，
综上所述，.
故答案为：.
题型07三角函数的对称性
【典例1】（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由及得，或，结合的图象关于点对称，即可求出的最小值．
【详解】由的图象关于点对称，得，
由及得，或，
当时，，由得的最小值为；
当时，，由得的最小值为；
综上所述，的最小值为；
故答案为：．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数图像的性质，代入对称中心，求得，由此最小值即可求解.
【详解】的图象关于点对称，
，即，
令，可得的最小值为．
故答案为：
【变式1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数的图象关于直线对称，则可以为 .
（写出一个符合条件的即可）
【答案】.（答案不唯一）
【分析】因为函数的图象关于直线对称，只需根据三角函数图象让也为的对称轴即可.
【详解】函数的图象关于直线对称，
则只要的图象关于直线对称即可，
所以，所以，
如令，可以取.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为T，若，为f(x)图像的对称中心.则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时.
故答案为：
题型08利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
【典例1】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
【典例2】（2024高三上·全国·专题练习）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】先求出整体角的范围，再利用余弦函数的值域求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以．
所以函数的值域为．
故答案为：
【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若的值域是，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入最大值点化简函数即可求参；
（2）应用正弦函数的单调增区间求解即可；
（3）化简得出正弦函数的值域进而确定自变量的取值范围.
【详解】（1）因为，所以,
可得，
所以,
所以.
（2）
的单调增区间为.
（3）因为,
又因为,
所以即.
【变式2】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得.
（2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1），令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），因为，所以，
可得，则，
即函数在上的值域为．
题型09求值域（可化为一元二次函数型）
【典例1】（23-24高一下·北京怀柔·期中）函数的值域为 .
【答案】
【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得.
【详解】由正弦函数的性质可知，当，
当时，；当或时，，故值域为.
故答案为：
【典例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域．
【答案】
【分析】利用换元法，结合余弦函数值域性质、二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】
令，，
则，，，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值10；当时，函数取得最小值2，
∴函数的值域为.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ．
【答案】
【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】令，
∴，
．
∵
在上是减函数，
∴当，即时，
．
故答案为：，.
【变式2】（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）若方程在内有解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，则问题转化为方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案.
【详解】方程，整理可得，
因为，则，设，
则问题转化为方程 在 上有解．
又方程对应的二次函数 的对称轴为 ，

故有 ，即，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
题型10分式型求值域或最大(小)值
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）函数的定义域是 ，值域是 ．
【答案】
【分析】由题意可得 , 易得函数的定义域, 变形可得 , 由 的范围结合不等式的性质可得值域.
【详解】由 可得 ,
函数的定义域为 ,
又
,
，
所以函数的值域为 ；
故答案为：；.
【典例2】（2024·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ．
【答案】-4
【分析】化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.
【详解】由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对已知函数的化简，由于已知函数分子分母都是“二次式”，所以可以同时除以，得到单变量函数.
【变式1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域.
【答案】最小值，最大值2，值域为.
【分析】先对函数化简变形，然后利用三角函数的有界性和函数的单调性可求出其最值.
【详解】解：，
令，则，，
因为函数在上是增函数，
所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值2，
即.
所以所求函数的值域为.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期是.
故选：D
2．（24-25高一上·全国·课后作业）在上，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足，
即，结合图象，知道．
故选：B.
3．（23-24高一下·北京怀柔·期末）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；
【详解】对于A.周期是，A错误；
对于B.周期是，因为是偶函数，B错误；
对于C.周期是，因为是偶函数，C错误；
对于D.周期是，又是奇函数，D正确；
故选：D.
4．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.
【详解】由，得，
由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，
所以.
故选：C
5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）函数的一个对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心计算求解.
【详解】令，则,
当时，对称中心为：，结合选项，ABC错误，
故选：D.
二、多选题
6．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A．若取得最大值，则
B．的图象关于点对称
C．最大值与最小值之差为4
D．的最小正周期为π
【答案】CD
【分析】直接利用正弦型函数的性质逐个分析判断.
【详解】对于A，当时，，取得最大值，
而当取得最大值时，，得，所以A错误，
对于B，由选项A可知为的一条对称轴，所以B错误，
对于C，的最大值为2，最小值为，所以最大值与最小值之差为4，所以C正确，
对于D，的最小正周期为，所以D正确.
故选：CD
三、填空题
7．（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则 ．
【答案】/
【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得.
【详解】由题意可得，即，
又因为，所以.
故答案为：.
四、解答题
8．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，
(1)用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)写出的对称中心与单调递增区间；
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【分析】（1）根据五点法，列表、描点即可得函数图象；
（2）根据（1）中图象结合正弦函数性质即可得即可.
【详解】（1）列表可得
x
0
0 1 o 0
据此作图可得：

（2）由（1）图象可知，图象的对称中心为；
单调递增区间为.
B能力提升
1．（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数，若存在，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为（ ）
A．506 B．507 C．508 D．509
【答案】D
【分析】结合函数性质可得要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，则当取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，计算即可得.
【详解】函数，对，，
都有，
要使实数的值最小，应尽可能多让取得最值点，
，，
且，
在一个周期上的最大值为4，且，
取一个零点，取最后一个零点时，才能最小，
，，，，，，，
所以的最小值为.
故选：B.
2．（23-24高一下·新疆伊犁·期末）已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．函数图像关于直线对称 B．在区间上是增函数
C．函数是周期函数，最小正周期是 D．函数的值域是
【答案】D
【分析】先讨论的正负值去绝对值，可将表达为分段函数，对A，计算即可判断；对BCD，根据的解析式判断即可
【详解】由题意，当，即，时，；当，即时，.即
对A，因为，故函数图像关于直线对称，故A正确；
对B，当时，，在上为增函数，在上为减函数，故B错误；
对C，由的解析式可得，最小正周期为，故C正确；
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，，所以，
又，所以，又，所以，
所以；
（2）因为，所以，则，
令，则在内恒成立，即在内恒成立，
令，，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，即，
所以实数的取值范围为.
2．（23-24高一下·广东广州·期中）对于三个实数a，b，k，若成立，则称a，b具有“性质k”.
(1)，判断x，0是否具有“性质2”？
(2)，判断，0是否具有“性质4”？
(3)若存在及，使得成立，，1具有“性质2”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)具有；
(2)不具有；
(3).
【分析】（1）判断不等式是否成立.
（2）令，再判断不等式是否成立.
（3）由，1具有“性质2”可得，由给定不等式可得，求得的最小值，及）的最大值，即可求出的范围.
【详解】（1）对，，当且仅当时取等号，
所以，0具有“性质2”.
（2）令，而，
函数在上单调递减，，
即，，因此，不成立，
所以，0不具有“性质4”.
（3）由，1具有“性质2”，得，
则，解得，而，则，
依题意，存在及，使得成立，
即存在及，使得，
令，，显然函数在上递增，
函数在上递增，因此函数在上递增，，
令，，函数在上递减，在上递增，，
因此，则，
所以实数m的取值范围是.
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