(人教A版数学必修一讲义)第4章第01讲4.1指数(知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第01讲 4.1指数
课程标准 学习目标
①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.
知识点01：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点02：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【即学即练1】（23-24高一上·云南昭通·期末） .
知识点03：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
【即学即练2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点04：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
【即学即练3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值( )
A． B． C． D．
题型01根式的概念
【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）化简的结果为 .
【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）的运算结果是（ ）
A．3 B． C． D．以上都不对
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）等于（　　）
A．4 B． C． D．
【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 .
题型02根式的化简(求值)
【典例1】（23-24高一·全国·单元测试）化简的结果是（ ）
A．0 B． C．0或 D．
【典例2】（2024高一·上海·专题练习），则实数a的取值范围
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3).
【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
(1)（，且）；
(2)．
题型03分数指数幂的简单计算
【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ．
【典例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：
(1)
(2)；
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习） .
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）化简： .
【变式3】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求值： ．
题型04条件求值
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值．
【典例3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化简求值：
(1)；
(2)若，求的值.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C． D．
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 .
12．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
14．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求值：
(1)
(2)
B能力提升
1．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），则 ．（结果用表示）
2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
3．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）计算：.
（2）化简：且.
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第01讲 4.1指数
课程标准 学习目标
①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.
知识点01：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点02：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【即学即练1】（23-24高一上·云南昭通·期末） .
【答案】1
【分析】由根式的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：1
知识点03：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
【即学即练2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案.
【详解】由于，A正确，B，C错误；
，由于无意义，D错误，
故选：A
知识点04：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
【即学即练3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为，所以.
故选：D.
题型01根式的概念
【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，解得.
故选：A.
【典例2】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】对于A，令，解得，即16的4次方根是，故A正确；
对于B，负数的立方根是负数，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，是非负数，所以，故D正确.
故选：ACD.
【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）化简的结果为 .
【答案】
【分析】根据根式的性质化简即可.
【详解】.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）的运算结果是（ ）
A．3 B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】直接根据指数的运算即可得结果.
【详解】，
故选：A.
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）等于（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式与分数指数幂的转化求解.
【详解】.
故选：B
【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 .
【答案】
【分析】根据根式运算的性质求解即可
【详解】16的8次方根即：，
故答案为：
题型02根式的化简(求值)
【典例1】（23-24高一·全国·单元测试）化简的结果是（ ）
A．0 B． C．0或 D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据的大小关系讨论即可.
【详解】．
当时，原式；
当是，原式．
故选:C．
【典例2】（2024高一·上海·专题练习），则实数a的取值范围
【答案】
【分析】由二次根式的化简求解
【详解】由题设得，
，
所以
所以，．
故答案为：
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)
【分析】根据根式的性质，进行化简求值，即可求得各小题答案.
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】直接借助根式的运算法则计算即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，， 故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
，故D错误；
故选：AC.
【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)1
(2)0
(3)
【分析】（1）（2）（3）运用指数幂的性质公式求解计算即可．
【详解】（1）原式.
（2）原式
（3）（3）原式
【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式：
(1)（，且）；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】利用根式的性质求解.
【详解】（1）解：当为奇数时，；
当为偶数时，．
（2）．
当时，；
当时，．
题型03分数指数幂的简单计算
【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数运算及根式运算计算即得.
【详解】.
故选：C
【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ．
【答案】
【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果.
【详解】－＋ ＝
故答案为：
【典例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，即可求解.
【详解】（1）.
（2）
.
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习） .
【答案】
【分析】利用指数函数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）化简： .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求值： ．
【答案】
【分析】利用分式指数幂的运算公式，即可化简求值.
【详解】原式，
.
故答案为：
题型04条件求值
【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.
【详解】由，可得.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值．
【答案】2
【分析】先由平方求得，再利用立方和公式展开计算，代入所求式即得.
【详解】因为，所以所以，
所以
故
【典例3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【答案】（1）-1；
（2）①，②.
【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；
（2）①：由求解；
②：由，结合隐含的条件即可求解.
【详解】（1）原式=；
（2）①：，所以；
②：，由题意知，所以.
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.
【详解】将两边平方，得，即，
所以.
故选：A.
【变式2】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方得.
（2）根据平方关系可得，进而结合立方差公式运算求解.
【详解】（1）将两边平方得，
所以.
（2）因为是正实数，令，
则，所以，
可得，
所以.
【变式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化简求值：
(1)；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质逐步计算，即可解得答案；
（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.
【详解】（1）
.
（2），
.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【详解】A选项，且，故，A错误；
B选项，且，故，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，且，故，D正确.
故选：D
3．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列各式中正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算性质，逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
给平方后再开方求解即可.
【详解】，所以.
故选：A.
5．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）（ ）
A．110 B．109 C．108 D．100
【答案】A
【分析】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可.
【详解】由题意可得：原式.
故选：A.
6．（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
7．（23-24高一上·湖北荆州·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数幂的运算规则化简求值.
【详解】.
故选：C
8．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：AC
10．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知，，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.
【详解】A选项：由，得，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：，C选项错误；
D选项：，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 .
【答案】/
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
12．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ．
【答案】6
【分析】两边平方求出，再利用立方和公式求出，从而求出结果.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以
，
所以．
四、解答题
13．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式与指数幂的转化，及指数幂的运算化简即可；
（2）运用完全平方公式计算即可.
【详解】（1）
．
（2）由，得，即，
则有，得，即，
所以．
14．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】利用指数幂运算法则，结合根式与分数指数幂的互化即可得解.
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
（3）将平方，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2）；
（3）因为，
.
故答案为：（1）0；（2）；（3）7
3．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）计算：.
（2）化简：且.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据指数幂的运算可得答案；
（2）通分化简计算可得答案.
【详解】（1）
；
（2）
.
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