(人教A版数学必修一讲义)第4章第02讲4.2指数函数(4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质)(知识清单+11类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第02讲 4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）
课程标准 学习目标
①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题.
知识点01：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
【即学即练1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性 质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点03：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点04：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
题型01指数函数的判定与求值
【典例1】（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】6．（2023高一·全国·专题练习）给定下列函数：
①； ②； ③，且； ④；
⑤； ⑥；⑦；⑧.
其中是指数函数的有 .（填序号）
【变式1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式3】（多选）（23-24高一上·全国·期末）函数是指数函数，则的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型02根据函数是指数函数求参数
【典例1】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．且
【典例2】（23-24高一下·云南文山·期中）已知指数函数，则的值是 .
【变式1】（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B． C． D．，且
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求a的值.
题型03指数型函数图象过定点问题
【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）函数且的图象恒过定点，则为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·湖北荆州·期末）函数 且）的图象恒过点 .
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）当且时，函数必过定点 .
【变式2】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 .
题型04指数函数图象的识别
【典例1】（23-24高一上·全国·单元测试）若，则函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知且，与的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·福建三明·期末）函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·河北衡水·期中）当时，函数和的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型05画指数函数的图象
【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)；
(2).
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)．
【变式2】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数.
(1)在平面直角坐标系中画出函数的；
(2)根据函数的指出其单调递增区间和最大值与最小值.
题型06利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各数的大小关系：
(1)与；
(2)
(3)，，
【变式1】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·青海海东·期中）下列判断正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型07利用指数函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是 .
【典例3】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ．
【变式1】（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）不等式的解集为 ．
【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 .
题型08指数型复合函数的单调性
【典例1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为
【变式1】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 .
【典例2】（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数．
(1)若，求实数x的取值范围；
(2)求的值域．
【变式1】（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为 ．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域
题型10可化为一元二次函数型
【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ．
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．
(1)当时，求函数的值域；
【典例3】（23-24高一上·四川资阳·期中）已知函数
(1)若，定义域为，求函数的值域；
【变式1】（23-24高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，
(1)当时，求函数的值域；
【变式2】（23-24高一上·全国·期中）设函数.
(1)若，求的值域；
【变式3】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
(1)求函数的值域；
题型11与指数函数的相关的综合问题
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)，使得成立，求实数的取值范围.
【典例2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数.
(1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围.
【典例3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
【变式1】（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【变式2】（23-24高一下·江苏·开学考试）已知函数
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
(2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明；
(3)若存在，使成立，求实数的取值范围.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)设，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求关于的不等式的解集．
14．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
B能力提升
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对于任意,存在,使得,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知，若，使得，则实数m的取值范围是 .
4．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求的解析式，并判断的奇偶性；
(2)若对任意，，恒成立，求的取值范围.
C新定义题型
1．（23-24高一上·四川乐山·期中）定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．
(1)若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
(2)若在上是以为上界的函数，求的取值范围．
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第02讲 4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）
课程标准 学习目标
①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题.
知识点01：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
【即学即练1】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可.
【详解】对于A，是幂函数，故错误，
对于B，显然前面系数不为1，故错误，
对于C，显然前面系数不为1，故错误，
对于D，符合指数函数定义，故正确.
故选：D
知识点02：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性 质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点03：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点04：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
题型01指数函数的判定与求值
【典例1】（23-24高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可.
【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．
故选：D．
【典例2】6．（2023高一·全国·专题练习）给定下列函数：
①； ②； ③，且； ④；
⑤； ⑥；⑦；⑧.
其中是指数函数的有 .（填序号）
【答案】②⑤
【分析】根据指数函数且的形式进行判断即可.
【详解】对于①，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；
对于②，符合指数函数且的形式，是指数函数；
对于③，只有当且时是指数函数，，且不是指数函数；
对于④，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；
对于⑤，符合指数函数且的形式，是指数函数；
对于⑥，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；
对于⑦，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；
对于⑧，不符合指数函数且的形式，不是指数函数.
故答案为：②⑤.
【变式1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解.
【详解】因为指数函数的形式为且，
所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.
故选：C.
【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.
【详解】①中，的系数是－1，故①不是指数函数；
②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数；
④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．
⑤中，底数，不是指数函数．
综上，指数函数的个数为1，
故选：B.
【变式3】（多选）（23-24高一上·全国·期末）函数是指数函数，则的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ACD
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出的值.
【详解】由指数函数的定义知且，解得.
故选：ACD.
题型02根据函数是指数函数求参数
【典例1】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．且
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义，即可证明.
【详解】由已知得，即得.
故选：C
【典例2】（23-24高一下·云南文山·期中）已知指数函数，则的值是 .
【答案】2.
【分析】利用指数函数的定义，求出即可．
【详解】由指数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为：．
【变式1】（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【答案】D
【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得．
【详解】解：因为函数是指数函数，
且，，
由解得或，
，
故选：D.
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B． C． D．，且
【答案】C
【分析】根据指数函数定义得到，排除的情况得到答案.
【详解】由指数函数的概念得，解得或．
当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.
故选：C．
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求a的值.
【答案】
【解析】根据函数为指数函数得到，计算得到答案.
【详解】已知函数是指数函数，则解得.
【点睛】本题考查了指数函数的解析式，属于简单题.
题型03指数型函数图象过定点问题
【典例1】（23-24高一下·广西南宁·开学考试）函数且的图象恒过定点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令上的指数为0即可得到答案.
【详解】对于函数，令，可得，则，
所以，函数且的图象恒过定点坐标为．
故选：A
【典例2】（23-24高一上·湖北荆州·期末）函数 且）的图象恒过点 .
【答案】
【分析】由题意，令幂指数等于零，求得、的值，可得函数的图象恒过点的坐标．
【详解】对于函数且，令，求得，，
可得函数且的图象恒过点．
故答案为：
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）当且时，函数必过定点 .
【答案】
【分析】借助指数函数性质计算即可得.
【详解】法一：必过定点，将向右平移2个单位得到，
所以必过定点，将向下平移3个单位得到，
所以函数必过定点.
法二：令，得到，所以，
所以函数必过定点.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 .
【答案】1
【分析】
根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的图象经过定点，
故,解得,故,
故答案为；1
题型04指数函数图象的识别
【典例1】（23-24高一上·全国·单元测试）若，则函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解.
【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为
故只有A项正确．
故选：A.
【典例2】（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的最大值排除A B D可得答案.
【详解】因为，所以，排除A B D.
故选：C
【典例3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知且，与的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论判断出图像性质及图像性质即可得.
【详解】对，该函数过定点，且恒成立，
对，该函数过定点，
若，对，， 则在上单调递减，
又，故在上单调递增，
若，对，，则在上单调递增，
又，故在上单调递增，
故排除AB；
对，由且，故在定义域内单调递增，
故排除C.
故选：D.
【变式1】（23-24高一上·福建三明·期末）函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据当时单调递减，当时单调递增，即可求解.
【详解】当时单调递减，
当时单调递增，且此时，
结合选项可知只有D符合题意，
故选:D.
【变式2】（23-24高一上·河北衡水·期中）当时，函数和的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由分析函数的单调性以及二次函数图象的开口方向与对称轴，由此可得出合适的选项.
【详解】当时，指数函数为增函数，二次函数的图象开口向上，且函数图象的对称轴为轴，
因此，函数和的图象只可能是A选项中的图象.
故选：A.
【变式3】（23-24高一上·福建漳州·期中）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性，再由及当时函数值的特征判断即可.
【详解】函数的定义域为且，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，
因为，故排除C、D；
当时，故排除A.
故选：B
题型05画指数函数的图象
【典例1】（23-24高一·全国·课堂例题）说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）根据列表法，计算自变量所对应的函数值，即可发现规律,进而根据平移即可画出函数图象.
【详解】（1）比较函数与函数，的取值关系，列表如下表所示.
x
┇ ┇ ┇ ┇
0
1
2
┇ ┇ ┇ ┇
一般地，因为函数中对应的y值与函数中对应的y值相等，所以将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象.
（2）同样地，因为函数中对应的y值与函数中对应的y值相等，所以将指数函数的图象向左平移2个单位长度，就得到函数的图象.
这些函数的图象如下图所示.

【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．
【答案】见解析
【分析】根据各个函数与函数的图像的对称性，即可画出图像.
【详解】（1）函数的图像与的图像关于轴对称
（2）函数的图像与的图像关于直线对称
（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，
再将轴右侧的图像对称过来，
【变式1】（23-24高一·全国·课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
(5)作图见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据，结合对应图象变换画出对应函数图象.
【详解】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，

（2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，

（3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，

（4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，

（5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，

【变式2】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数.
(1)在平面直角坐标系中画出函数的；
(2)根据函数的指出其单调递增区间和最大值与最小值.
【答案】(1)画图见解析
(2)单调递增区间为，最大值为1，无最小值
【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此画出的图象.
（2）根据图象可得函数的单调增区间和最值.
【详解】（1），
所以的图象如下图所示：
（2）根据的图象可知：
的单调递增区间为，
最大值为，无最小值.
题型06利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数性质判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以，
因为在R上单调递减，所以，
所以，即.
故选：B.
【典例2】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各数的大小关系：
(1)与；
(2)
(3)，，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）借助指数函数的性质分析即可得.
【详解】（1）因为在上为增函数，且，所以；
（2）因为，且在上为减函数，且，所以；
（3）因为，，，所以.
【变式1】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较.
【详解】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误；
对于选项B: 由在单调递增，所以，由在单调递减，所以，故，故选项B错误；
对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高，所以,故选项C错误；
对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确；
故选：D.
【变式2】（多选）（23-24高一上·青海海东·期中）下列判断正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】在上是减函数，，故A不正确；
在上是增函数，，故B正确；
在上是增函数，，故C正确；
在上是减函数，，故D正确．
故选：BCD.
题型07利用指数函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案.
【详解】不等式即，
由于在上单调递增，所以，
所以不等式的解集为.
故选：A
【典例2】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】将原不等式转化为，结合指数函数的单调性即可求解.
【详解】由题意知，，
又指数函数在R上单调递增，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
故答案为：
【典例3】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为求解即可.
【详解】原不等式可化为
因为函数单调递减，
∴，解得．
∴不等式的解集是．
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数是减函数，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：D.
【变式2】（23-24高一上·上海奉贤·期中）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性解不等式.
【详解】由，
所以，即，
解得或，
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期末）设，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由于，根据指数函数的单调性可得，解不等式即可.
【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
题型08指数型复合函数的单调性
【典例1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令，则，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数的单调递减区间，
又函数，
即函数为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数的单调递减区间为和，
即的单调递减区间为和．
故选：C．
【典例2】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为
【答案】/
【分析】借助复合函数的单调性“同增异减”的性质，即可求解.
【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数,
因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间，
易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为，
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】令，则，
随的增大而增大，要使在上单调递增，
只需在上单调递增，则有，所以．
故选：A.
【变式2】（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性法则，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D
题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）函数的值域是 .
【答案】
【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得.
【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，
因此，
所以函数的值域是.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数．
(1)若，求实数x的取值范围；
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域.
【详解】（1）因为，且在定义域内单调递增，
则，解得，
所以实数x的取值范围为.
（2）因为，当且仅当时等号成立，
且在定义域内单调递增，则，
又因为，所以的值域为.
【变式1】（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】首先利用基本不等式求出的取值范围，令，则，再结合指数函数的性质计算可得.
【详解】当时，当且仅当，即时取等号，
当时，当且仅当，即时取等号，
令，则，
对于函数在定义域上单调递减，且，，
所以函数，的值域为，
则函数的值域为.
故答案为：
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域
【答案】
【分析】设，然后把函数值域问题转化为求解值域问题，利用反比例函数性质求解即可.
【详解】设，则，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
题型10可化为一元二次函数型
【典例1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数 在时的值域是 ．
【答案】
【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.
【详解】当时，，函数，
显然当，即时，，当，即时，，
所以所求值域是.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．
(1)当时，求函数的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）当时，，，
令，因为，则，
所以，其中，
则时，，时，，即，
所以的值域为；
【典例3】（23-24高一上·四川资阳·期中）已知函数
(1)若，定义域为，求函数的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）利用换元法求值域即可；
【详解】（1），
若，，
设， ，所以.
此时,
.
故函数的值域为.
【变式1】（23-24高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数的定义域为，
(1)当时，求函数的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）换元法结合二次函数求值域即可；
【详解】（1）当，
令，所以有：
当，即时，，
当，即时，，
所以函数的值域为
【变式2】（23-24高一上·全国·期中）设函数.
(1)若，求的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）换元令，根据指数函数函数单调性求得，再利用二次函数单调性求解值域即可；
【详解】（1）令，因为，所以，
当时，，
因为在上单调递增，，，所以.
【变式3】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
(1)求函数的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解；
【详解】（1）因为的定义域为，
则，令，则，
又，，开口向上，对称轴为，
所以当时，，
所以函数的值域为.
题型11与指数函数的相关的综合问题
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解.
（2）根据单调性定义即可证明.
（3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解.
【详解】（1）因为，,定义域关于原点对称，
令，所以，故，
则，，
所以为定义在上的奇函数，故.
（2）是上的增函数.
证明：任取，且，
，
所以，所以，，，
所以， ，
所以，即，
所以是上的增函数.
（3）当时，不等式即，
故，
则令，由题意可知，，
因为函数，为上的增函数，
故在上单调递增，
故，
所以.
【典例2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数.
(1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论；
（2）利用奇函数定义可求得，经验证满足题意；
（3）将不等式转化成在恒成立，再利用基本不等式即可得出.
【详解】（1）由指数函数单调性可知单调递增，
对分类讨论如下：
①当时，为常函数；
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递减
③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递增
（2）易知函数的定义域为，
是奇函数，，
即，
所以，
经验证时，满足，
所以与的关系式为.
（3）由已知得，
整理可得：在恒成立，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
【典例3】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递增；
(3)令（其中），求函数的值域.
【答案】(1)偶函数
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性；
（2）定义法证明函数的单调性；
（3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，可知函数为偶函数；
（2）证明：设，有
，
，
，
故函数在区间上单调递增；
（3）由，有，
由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为，
又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为，
令，可得，有，
令，有，
①当时，，此时函数的值域为；
②当时，，此时函数的值域为，
由函数和函数的值域一样，故可得，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为．
【变式1】（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
【变式2】（23-24高一下·江苏·开学考试）已知函数
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
(2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，将问题转化为二次函数在区间上的最值问题，讨论对称轴和区间的位置关系列方程求解；
（2）问题即为满足，令，将问题转化为函数值域问题，通过参变分离求函数值域即可.
【详解】（1）令，由可得，，
原函数可化为，为开口向上，对称轴，
当，即时，在上单调递减，
则时，函数取得最小值，即舍，
当，即时，在上单调递增，
则时，函数取得最小值，即，
当，即时，在上先减后增，
则时，函数取得最小值，此时不存在，
故；
（2）由题意得，满足，
即，
令，则存在满足，
令，当且仅当时等号成立，则满足，即，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以，
故的范围为．
【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明；
(3)若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)在上是减函数，答案见解析
(3)
【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数性质，列式求参数值，即可得答案；
（2）将化为，结合指数函数单调性，即可得出结论；
（3）结合函数奇偶性以及单调性，将原不等式化简为存在，成立，结合二次函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以.
又因为，所以，
将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以，
故，满足，符合题意，
所以，.
（2）由（1）知：函数，
因为为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数
则函数在上是减函数.
（3）因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可得，又因为，
所以，即的取值范围为.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数函数性质确定图象所过定点.
【详解】令，则，故函数恒过定点.
故选：C
2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数单调性有，结合二次函数顶点横坐标为求范围.
【详解】由题设，则二次函数顶点横坐标为.
故选：C
3．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增，
故选:C.
4．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂指数函数的单调性判断指数幂的大小.
【详解】由为减函数，故，
由为增函数，故，
所以.
故选：C
5．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象性质求解.
【详解】当时，，
所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，
故选:D.
6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分、、三种情况讨论，结合二次函数及指数函数的性质计算可得.
【详解】当时，函数在定义域上单调递减，满足条件；
当时，函数开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，
又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，不符合题意；
当时，只需满足在为减函数，即，则；
综上可得.
故选：C
7．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，
对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.
故选A．
8．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性即可结合函数图象求解ABD，利用作差法可得,进而得，即可求解C.
【详解】由于函数在区间上是减函数，在为增函数，
由于，而，因此，，无法确定正负，如
故，AB错误，D正确，
由于，则，故
，
当且仅当时等号成立，又因为不等于0，则等号无法取到，
因此，又，所以，
由于，，在为增函数，因此
故,故C错误，
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（ ）
A．不等式的解集是
B．，都有
C．是R上的递减函数
D．的值域为
【答案】AD
【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的的值域的求法计算即可判断D.
【详解】A：，由，得，即，
得，解得，即原不等式的解集为，故A正确；
B：，故B错误；
C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误；
D：由知，即函数的值域为，故D正确.
故选：AD
10．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．， B．的值域为
C．若，且，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】由函数的图像经过原点，结合指数函数的性质分析可得的值，判断选项A；可得函数的解析式，求函数值域，分析函数的奇偶性和单调性判断选项BCD．
【详解】函数的图像过原点，∴，即，
，由，有，
时，；时，，
由的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，∴，，
，故A正确；
由于，∴，故B错误；
，函数定义域为R，
在上，单调递减；在上，单调递增，
，为偶函数，
故若，且，则，即，故C正确，
由于在上，单调递减，故若，则，故D错误；
故选：AC．
三、填空题
11．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知，解得且，
故函数的定义域为．
故答案为：.
12．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知，在R上为增函数，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可.
【详解】在上单调递增，，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)设，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）通过求出的表达式即可得出函数的奇偶性；
（2）求出的值进而化简不等式，即可求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意，函数为奇函数，
证明如下：
在中，
，
的定义域为，
，
∴为奇函数．
（2）由题意及（1）得，
在中，
，
，
所以，又，所以，
由，解得：，
∴原不等式的解集为．
14．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求出，再根据函数的奇偶性得到在上的解析式；
（2）不等式变形得到，令，得到其单调性，从而求出，求出实数的取值范围.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，当时，，
，解得，
当时，，
当时，，
，
又，
，
故，
∴在上的解析式为．
（2）由（1）知，当时，，
，可化为，整理得，
令，
根据指数函数单调性可得，与在定义域内都是减函数，
在定义域内是减函数，
当时，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，
只需，
即实数的取值范围是．
B能力提升
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数定点分析可得，再结合“1”的灵活应用以及基本不等式运算求解.
【详解】令，解得，
由题意可知：点在直线上，
可得，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对于任意,存在,使得,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质,求得函数解析式,并作出草图,得函数的值域. 对于,用换元法转化为二次函数,并结合二次函数的性质,可得另一函数的值域.结合题意,明确两个值域的包含关系,列出不等式组,可得答案.
【详解】由为奇函数,且定义域为,则,则,,
设时,则,则,又,则,,
可得,根据指数函数的图象以及函数图象变换,可得：
由图象可得的值域为,
由,令,由,则,
则,
由题意可得,则,解得.
故选：A.
3．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知，若，使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知的值域是的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等式组，从而可求出的取值范围.
【详解】因为，，
所以在单调递减，单调递增，
所以的最小值为，
因为，，则，
所以的最大值为，所以的值域为，
因为在上单调递增，
所以的值域为，
因为，使得，
所以是的子集，
所以，解得.
1．（23-24高一上·四川乐山·期中）定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．
(1)若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
(2)若在上是以为上界的函数，求的取值范围．
【答案】(1)函数为有界函数，理由见解析
(2)．
【分析】（1）解法一：由是奇函数，得，然后化简可求出的值，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数，解法二：由为奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数；
（2）由题意可得在上恒成立，则恒成立，转化为不等式组在上恒成立，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）解法一：若是奇函数，则，
则，
所以恒成立，
所以是奇函数时，，
此时，
由，知，于是，则，
故时，，
所以，函数为有界函数．
解法二：因为为奇函数，可得，则有，解得．
此时，
由，知，于是，则，
故时，，
所以，函数为有界函数．
（2）若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立．
故恒成立，即恒成立，
所以，即，
由题可知，不等式组在上恒成立．
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上单调递减，其最小值为．
所以，即，
故的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，解题关键是对有界函数定义的正确理解，属于较难题.
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