(人教A版数学必修一讲义)第4章第03讲4.3对数(4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算)(知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第03讲 4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算）
课程标准 学习目标
①理解对数的概念、掌握对数的性质。 ②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 ③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 ④能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。 通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.
知识点01：对数概念
1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
知识点02：指数式与对数式的相互转化
当且，
知识点03：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: （且）
【即学即练2】（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点04：对数的运算性质
当且，,
①
②
③（）
④（）
⑤（）
【即学即练3】（23-24高二下·北京·阶段练习） .
知识点05：对数的换底公式
换底公式：（且，，，且）
特别的：
【即学即练4】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）
题型01对数概念判断与求值
【典例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．，
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若有意义，则实数k的取值范围是 .
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）已知，则x的值为 .
【变式1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ．
题型02指数式与对数式相互转换
【典例1】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式1】（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ．
【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型03对数的运算
【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习） .
【典例2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【典例3】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）计算下列各式的值；
(1)；
(2)
【变式1】（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： .
【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）求值：
(1)；
(2)．
【变式3】（23-24高一上·安徽·期末）计算：
(1)；
(2).
题型04对数运算性质的应用
【典例1】（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（ ）
A． B．12 C． D．
【典例2】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示）
【典例3】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）（1）求值：；
（2）设，，试用，表示.
【变式1】（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）若，则等于（ ）
A． B．6 C． D．3
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）（1）化简：＝ ．
（2）化简：＝ ．
（3）设，且，则等于
【变式3】（24-25高一上·上海·假期作业）已知，（且），用含有的代数式表示.
题型05换底公式的应用
【典例1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）若，，则 .
【典例3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，则 .
【变式3】（23-24高一上·山东·阶段练习）（1）计算：．
（2）已知，用表示．
题型06对数方程求解
【典例1】（2024·内蒙古·三模）若，则 .
【典例2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）从以下三题中任选两题作答．
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)求方程的解集．
【变式1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）方程：的解是 .
【变式2】（23-24高一上·贵州贵阳·期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
题型07有附加条件的对数求值问题
【典例1】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【典例2】（多选）（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B． C． D．
【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 .
【变式2】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知，则 ．
题型08对数的实际运用
【典例1】（2024·贵州贵阳·三模）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（ ）（参考数据:
A．300年 B．100年 C．255年 D．125年
【典例2】（多选）（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（ ）
参考数据：，．
A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍
B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g
C．t年后，这种放射性物质的质量为g
D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年
【典例3】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过 年，使得木材总盘翻两番．（参考数据：，，）
【变式1】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A．万年 B．万年 C．万年 D．万年
【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C．6min D．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题）若，，则用，表示（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南开封·三模）已知，则（ ）
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝2 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
三、填空题
11．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ．
12．（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 .
四、解答题
13．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
14．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：
(1)；
(2).
(3)
B能力提升
1．（23-24高二下·江苏徐州·期末）我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠县发生里氏4.7级地震，则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的（ ）
A．1.7倍 B．4.95倍 C．倍 D．倍
2．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知，，，且满足，则的最大值为 .
3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值.
(1)
(2)已知试用表示
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第03讲 4.3对数（4.3.1对数的概念+4.3.2对数的运算）
课程标准 学习目标
①理解对数的概念、掌握对数的性质。 ②掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 ③理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 ④能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。 通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题.
知识点01：对数概念
1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可.
【详解】由对数的定义可知，
解得，且，
故选：B．
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
知识点02：指数式与对数式的相互转化
当且，
知识点03：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: （且）
【即学即练2】（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，，所以.
故选：D
知识点04：对数的运算性质
当且，,
①
②
③（）
④（）
⑤（）
【即学即练3】（23-24高二下·北京·阶段练习） .
【答案】6
【分析】根据指数式与对数式的互化和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】
.
故答案为：6
知识点05：对数的换底公式
换底公式：（且，，，且）
特别的：
【即学即练4】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）
【答案】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】由.
故答案为：.
题型01对数概念判断与求值
【典例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．，
【答案】C
【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由式子有意义，则满足，解得且.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若有意义，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】若有意义，则满足，解得.
故答案为：
【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）已知，则x的值为 .
【答案】1
【分析】根据对数的性质，列出式子，求解即可.
【详解】由对数的性质，可得，解得.
故答案为：1.
【点睛】本题考查对数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
【变式1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可.
【详解】要使式子有意义，
则，即，
解得或，
所以x的取值范围是.
故选：D
【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题得，解出即可.
【详解】根据真数大于0得，解得，
故答案为：.
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ．
【答案】0
【分析】根据对数函数的定义，列式求的值.
【详解】由对数函数的概念，知，解得或，经检验，时，，不符合题意，时，，符合题意．故．
故答案为：
题型02指数式与对数式相互转换
【典例1】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据对数运算分析求解.
【详解】因为，可得，
且，解得.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式.
【详解】把对数式化成指数式，为．
故选：A．
【典例3】（2023高一上·全国·专题练习）将下列指数式、对数式互化.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案.
【详解】（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得.
【变式1】（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解.
【详解】由，得，解得，由，得，解得，
所以.
故选：D
【变式2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ．
【答案】/
【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解.
【详解】解：因为，，
所以，，
故答案为：
【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式.
【详解】（1）由可得；
（2）由可得；
（3）由可得；
（4）由可得
题型03对数的运算
【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习） .
【答案】
【分析】根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为，
故答案为：.
【典例2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、（2）利用对数的运算法则求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
【典例3】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）计算下列各式的值；
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；
（2）根据对数的运算性质，逐步计算，即可得出结果.
【详解】（1）.
（2）
【变式1】（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： .
【答案】1
【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)0
【分析】（1）利用换底公式即可求值；
（2）利用指数运算，对数运算法则即可．
【详解】（1）原式.
（2）.
【变式3】（23-24高一上·安徽·期末）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.
（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.
【详解】（1）.
（2）
.
题型04对数运算性质的应用
【典例1】（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值.
【详解】因为且，易知且，
所以，，
所以，，
所以，则.
故选：D．
【典例2】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 .（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据指数与对数的关系得到，再由换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，又，
所以
.
故答案为：
【典例3】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）（1）求值：；
（2）设，，试用，表示.
【答案】（1）101；（2）．
【分析】（1）利用对数运算性质和指数幂的运算化简计算即可；
（2）利用换底公式和对数运算性质求解即可.
【详解】（1）
.
（2）.
【变式1】（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）若，则等于（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】利用对数的运算法则及指对数互化可得，进而即得.
【详解】由，可得，即，
所以.
故选：C
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）（1）化简：＝ ．
（2）化简：＝ ．
（3）设，且，则等于
【答案】 1 2
【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解，
（2）根据指数以及对数的运算性质求解，
（3）根据指对互化即可结合换底公式求解.
【详解】（1）原式＝
（2）
（3）由得，
∴．
∴，，故 ．
故答案为：1，2，
【变式3】（24-25高一上·上海·假期作业）已知，（且），用含有的代数式表示.
【答案】
【分析】由证明，即可得到答案.
【详解】.
故.
题型05换底公式的应用
【典例1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由，
所以
故选：A
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）若，，则 .
【答案】1
【分析】利用换底公式可得，，再利用对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为，，所以，，
所以，，
因此，.
故答案为：1
【典例3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·期末）计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)8
【分析】利用对数与指数的运算法则，结合对底的换底公式即可得解.
【详解】（1）
.
（2）
.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.
【详解】依题意，，
则．
故答案为：3
【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，则 .
【答案】1
【分析】先指数式对数式转化，再结合对数运算性质化简求值.
【详解】由得，由得，
.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·山东·阶段练习）（1）计算：．
（2）已知，用表示．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，
所以，
则.
题型06对数方程求解
【典例1】（2024·内蒙古·三模）若，则 .
【答案】/0.25
【分析】根据对数式与指数式的互化可得，利用指数幂的运算可得结果.
【详解】由，可得，则.
故答案为：.
【典例2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）从以下三题中任选两题作答．
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)求方程的解集．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则化简求解；
（2）指数式化为对数式，利用对数运算法则计算出答案；
（3）利用对数运算法则得到求出解集.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
（3）由，得，
则
解得或20，
所以方程的解集为．
【变式1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）方程：的解是 .
【答案】
【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，所以，
即，解得，则，或无实根.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·贵州贵阳·期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）7；（2）64
【分析】（1）根据指数幂的运算即可求解；
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，故；
（2）因为，所以，
故，所以．
题型07有附加条件的对数求值问题
【典例1】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以，则.
故选：B.
【典例2】（多选）（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，A正确；
，B正确，
，C错误，
由，可得，D正确，
故选：ABD.
【变式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若，则 .
【答案】1
【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：1.
【变式2】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知，则 ．
【答案】1
【分析】利用指数式与对数式的互化和换底公式即可求值．
【详解】，则，，
．
故答案为：．
题型08对数的实际运用
【典例1】（2024·贵州贵阳·三模）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（ ）（参考数据:
A．300年 B．100年 C．255年 D．125年
【答案】A
【分析】由题意列出时间的方程，解方程即可.
【详解】设经过的时间为年，
由题意得，，
所以，
所以.
故选：A.
【典例2】（多选）（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（ ）
参考数据：，．
A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍
B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g
C．t年后，这种放射性物质的质量为g
D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年
【答案】CD
【分析】依题意写出时间与该物质剩余质量的函数关系，逐一判断ABC；令，将指数式转化为对数式，利用换底公式求解可判断D.
【详解】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为上一年的，
记t年后该物质的质量为y，则，
对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误；
对于B，2年后，这种放射性物质的质量为（g），故B错误；
对于C，t年后，这种放射性物质的质量为，故C正确；
对于D，令，即，故D正确．
故选：CD
【典例3】（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过 年，使得木材总盘翻两番．（参考数据：，，）
【答案】10
【分析】根据题意可得年后：木材总量为万立方米，即可利用对数的运算性质求解.
【详解】2019年底的木材总量为a万立方米，
1年后：2020年底的木材总量为万立方米，
2年后：2021年底的木材总量为万立方米，
3年后：2022年底的木材总量为万立方米，
……
年后：木材总量为万立方米，
由木材总量翻两番即为4a，令，
，．
又，，故至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．
故答案为：10
【变式1】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A．万年 B．万年 C．万年 D．万年
【答案】A
【分析】利用取对数法进行化简求解即可．
【详解】万年用掉个二维码，
大约能用万年，
设，则，
即万年．
故选：A．
【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则即.
由于在定义域上单调递减，.
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
【变式3】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C．6min D．
【答案】B
【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案.
【详解】由题可知，函数，
令，则，
两边同时取对可得：，即，
即.
故选：B.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题）若，，则用，表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对数运算性质即可得解
【详解】由对数运算性质可得，
故选：D.
2．（2024·河南开封·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.
【详解】由可得，即，，故.
故选：C.
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用对数运算性质计算得解.
【详解】.
故选：A
4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用对数运算性质计算.
【详解】.
故选：C.
5．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误．
故选：A
6．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）化简（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数运算法则得到答案.
【详解】
.
故选：D
7．（23-24高一上·江西南昌·期末）纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段的端点A向B运动，点F从射线的端点D出发向E运动，其中的长为a，的长无限大．若的长度满足在第t秒时，的长度满足在第t秒时，记，，则x是关于y的一个对数函数．根据以上定义，当时，则（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】由题意得，代入的值，结合指对互换以及对数运算即可求解.
【详解】由题意得，所以当时，，解得.
故选：B.
8．（23-24高一上·重庆·期末）若，则（ ）
A． B．12 C．48 D．144
【答案】D
【分析】由对数的运算性质计算得出结果.
【详解】由对数的运算性质可知.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据对数的运算性质计算逐项计算.
【详解】，A成立；
，B不成立；
，C成立；
，D不成立.
故选：AC
10．（22-23高一上·陕西西安·期末）下列计算正确的是（ ）
A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1
C．log39＝2 D．log3(－4)2＝2log3(－4)
【答案】BC
【分析】根据题意，结合对数的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】由对数的运算公式，可得，所以A错误、B正确；
又由，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
12．（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值.
【详解】且，故，
即，解得，当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：
四、解答题
13．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】使用对数的定义即可得到，然后由此计算即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
14．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：
(1)；
(2).
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由有理数指数幂的运算性质和对数运算性质即可解得本题.
【详解】（1）
（2）
（3）
B能力提升
3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值.
(1)
(2)已知试用表示
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的公式进行化简求值即可；
（2）利用换底公式求解即可.
【详解】（1）
.
（2）,
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