(人教A版数学必修一讲义)第4章第04讲4.4对数函数(4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质)(知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第04讲 4.4对数函数
（4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质）
课程标准 学习目标
①理解对数函数的概念及条件，掌握对 数函数的图象与性质。 ②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。 通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点02：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
单调性 增函数 减函数
【即学即练2】（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型01判断函数是否为对数函数
【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)．
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？
①；
②；
③；
④；
⑤．
题型02求对数函数解析式
【典例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ．
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ .
【典例3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数是对数函数，求的值.
【变式1】（23-24高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ．
【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)解方程．
题型03对数（对数型复合函数）函数定义域
【典例1】（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ．
【典例3】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数.若定义域为R，则实数a的取值范围为 ；
【变式1】（2024·河南·三模）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域为 ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ．
题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（ ）
A．①⑤ B．②⑥
C．③⑦ D．④⑧
【典例2】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023高三上·四川·学业考试）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A． B．
C． D．
题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域
【典例1】（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【典例2】（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
【典例3】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
【变式1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ．
【变式2】（23-24高一上·广西·阶段练习）函数的值域为 .
【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）求函数，的值域.
题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数
【典例1】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A．或 B．0或 C．或 D．或
【典例2】（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）设且，若函数的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的值域为，则a的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，其中且.
(1)若定义域为，求的取值范围；
(2)若值域为，求的取值范围.
题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性
【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22-23高一下·江苏·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
【典例3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 .
题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数
【典例1】（23-24高三下·广西南宁·阶段练习）若函数在区间上有，则的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 .
【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型09比较大小问题
【典例1】（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江温州·期末）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·山西晋中·期中）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．.
【变式3】（2024·广东广州·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型10对数函数综合问题
【典例1】（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式的解集．
【典例2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，其中，．
(1)若函数的值域为R，求t的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求t的取值范围．
【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
C． D．
2．（2024高二下·全国·专题练习）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江·期末）若，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
4．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，，使得不等式成立，求的取值范围；
(3)若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值．
C新定义题型
1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”．
(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上是“和一函数”．
①求的值；
②求的取值范围．
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第04讲 4.4对数函数
（4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质）
课程标准 学习目标
①理解对数函数的概念及条件，掌握对 数函数的图象与性质。 ②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。 通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
知识点01：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中，是对数函数；④中，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点02：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
单调性 增函数 减函数
【即学即练2】（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解.
【详解】令，解得，此时，
所以恒过定点，则，
所以.
故选：C
题型01判断函数是否为对数函数
【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数定义直接判断即可.
【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是，
对于A，满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A
【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)不是对数函数
(2)不是对数函数
(3)不是对数函数
(4)不是对数函数
(5)是对数函数
【分析】利用对数函数的定义判断.
【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数．
（2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数．
（3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．
（4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数．
（5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数中，是对数函数的有
①；②；③；④；⑤.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念分析可得答案.
【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；
②和③符合对数函数的定义，是对数函数；
④中，底数不是常数，不是对数函数；
⑤中系数不是，不是对数函数.
故选：B.
【变式2】（2023高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？
①；
②；
③；
④；
⑤．
【答案】④
【分析】由对数函数定义可得.
【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数.
①是指数函数，不是对数函数；
②的系数为，所以不是对数函数；
③真数为，所以不是对数函数；
④满足定义，是对数函数；
⑤真数是，所以不是对数函数.
故④是对数函数.
题型02求对数函数解析式
【典例1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可.
【详解】设对数函数解析式为（，且），
因为对数函数过点，
所以，解得，
所以对数函数解析式为.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ .
【答案】1
【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可.
【详解】由题意得，
解得或1，
又且，
所以
故答案为：1
【典例3】（23-24高一上·江苏·课后作业）若函数是对数函数，求的值.
【答案】
【分析】根据对数的函数的定义可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】解：因为函数是对数函数，则，解得．
【变式1】（23-24高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ．
【答案】4
【分析】根据对数函数的定义求解即可.
【详解】由题意知，，
故答案为：4.
【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
【答案】
【分析】根据对数函数的概念直接求解即可.
【详解】设对数函数的解析式为 (且)，
由已知可得，即，
解得，即函数解析式为，
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)解方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据待定系数法即可求解，
（2）根据指对互化即可求解.
【详解】（1）由题意设(且)，
由函数图象过点可得，
即，所以，
解得，故．
（2）方程，即，
所以，所以方程的解是．
题型03对数（对数型复合函数）函数定义域
【典例1】（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.
【详解】∵函数，
∴，解得．
故选：D．
【典例2】（2024·上海静安·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【典例3】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数.若定义域为R，则实数a的取值范围为 ；
【答案】
【分析】对分成三种情况进行分类讨论，结合的定义域为以及二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】由已知得恒应立，
当时，不恒成立；
当时，由，解得，此时的定义域为；
当时，抛物线的开口向下，函数值不可能恒大于0.
综上，.
故答案为：
【变式1】（2024·河南·三模）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】函数有意义，等价于，
解得，，故函数的定义域为.
故选：A.
【变式2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由，使得这个式子有意义只需，求解即可.
【详解】由题得，解得或，
即函数的定义域为．
故答案为：.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ．
【答案】或．
【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．
【详解】∵的定义域为R，
∴恒成立，
当，即或，
若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件．
若，不等式等价为，恒成立，满足条件．
当时，要使不等式恒成立，
则，
即或，
解得或，
综上可知，实数的取值范围是或．
故答案为：或．
题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（ ）
A．①⑤ B．②⑥
C．③⑦ D．④⑧
【答案】B
【分析】根据题意，分别由指数函数的图像特点与对数函数的图像特点，即可判断.
【详解】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像，
且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应，
又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于；
由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像，
其中⑦⑧为单调递减的对数函数，
由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应，
且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于；
故选：B
【典例2】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断．
【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．
故选：C．
【典例3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案.
【详解】由于函数，且的图象过点，
故，
则，
该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增，
只有B中图象符合该函数图象特点，
故选：B
【变式1】（2023高三上·四川·学业考试）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.
【详解】因为的定义域为，故BD错误；
又，故C错误；故A正确.
故选：A
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式3】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数对数函数的图象性质进行判断.
【详解】当时，
函数为单调递减的指数函数，函数为单调递减的对数函数，
观察选项可得D符合.
故选：D.
题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域
【典例1】（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值.
【详解】因为，所以，
所以，最大值为1，
故选：B.
【典例2】（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
当，即时，取到最小值，且.
故答案为：
【典例3】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
【答案】定义域为R，.
【分析】利用对数的真数大于0，可求函数的定义域；利用函数的单调性，可求函数的值域.
【详解】
设，则.
因为恒成立，所以函数的定义域为R.
因为对数的底数，所以是[3，+∞）上的增函数
所以函数的值域为.
【变式1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ．
【答案】
【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以的定义域满足，解得，
因为在上单调递增，所以令，
又，
则，
易知在上单调递增，
则当时，；当时，，
所以的值域为.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·广西·阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.
【详解】由，得，
令，则，
因为，，
所以，因为函数在上单调递增，
所以，所以函数的值域为.
故答案为：
【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）求函数，的值域.
【答案】
【分析】根据对数运算整理函数解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】.
设，且，故，
则且，图象的对称轴为，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，，当时，.
∴的值城为.
题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数
【典例1】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A．或 B．0或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，
当时，在上单调递减，则，解得，
则，得，
当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），
则，得，
综上，或.
故选：A.
【典例2】（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）设且，若函数的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当时，检验满足.当时，分类讨论的范围，依据对数函数的单调性，求得的范围，综合可得结论.
【详解】由于函数且的值域是，
故当时，满足.
若在它的定义域上单调递增，
当时，由，.
若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.
综上可得，.
故选：C.
【典例3】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到，由根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围；
（2）得到是值域的子集，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】（1）由题意，对成立，则，即．
所以实数的取值范围为．
（2）由函数的值域为，则是值域的子集，
所以，即或．
所以实数的取值范围为．
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可.
【详解】设，
因为的值域为，所以，
又，，所以，
即，解得：且，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的值域为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可知，是函数的值域的子集，利用即可解得或.
【详解】根据题意可知，函数的值域应取遍内的所有实数，
即需满足，解得或；
所以a的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，其中且.
(1)若定义域为，求的取值范围；
(2)若值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义域、判别式等知识列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据对数函数的值域、判别式等知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，恒成立，
即，∴.
（2）∵值域为，∴，即有根，∴，即.
题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性
【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.
【详解】令得，
故的定义域为，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减可得，
只需求出在上的单调递减区间，
在上单调递减，
故数的单调递减区间为.
故选：C
【典例2】（22-23高一下·江苏·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】利用复合函数的单调性规则求解即可.
【详解】解：由，得或．
函数的定义域为或．
令，该函数在上为减函数，
而函数为定义域内的减函数，
则函数的单调递增区间是．
故答案为：．
【典例3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可．
【详解】因为在R上是减函数，
所以，解得，即.
故选：D.
【变式1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】由得或，
设，函数在为增函数，
此时为增函数，
所以为增函数，
即的单调增区间为.
故选：C.
【变式2】（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
【变式3】（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用对数型复合函数单调性的判断原则即可求解.
【详解】由得，解得：或，
故函数的定义域是；
令，
则是减函数.
根据复合函数“同增异减”的原则，求的单调递减区间即求在定义域内的单调递增区间，
因为的单调递增区间为，
故函数的单调递减区间为.
故答案为：.
题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数
【典例1】（23-24高三下·广西南宁·阶段练习）若函数在区间上有，则的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质得到，然后根据复合函数求单调性的方法判断即可.
【详解】设，当时，，
因为，所以，函数在上单调递减，
因为的单调递减区间为，
所以的递增区间为.
故选：A．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案.
【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，
解得，
所以，且，即实数的取值范围为．
故选：B．
【典例3】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据对数复合型函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解.
【详解】设，因为单调递增，
若在单调递增，则在单调递增，
则满足，即，解得，
故的取值范围是.
故答案为：
【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围.
【详解】令，则，
因为函数在区间上单调递减，
且在定义域内递增，
所以，解得，
故选：B
【变式2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解.
【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，
所以且，解得．
即实数a的取值范围为
故选：B
【变式3】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定由和复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】令，则，即由和复合而成，
而在上单调递增，
故要使得函数在上单调递减，
需满足在上恒成立，且在上单调递减，
即得，解得，即，
故选：A
题型09比较大小问题
【典例1】（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.
【详解】因为在上单调递增，
所以即；
因为为增函数，故即；
因为为减函数，故即，
综上.
故选：A.
【典例2】（2024高三·天津·专题练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为在上递增，得出，又因在上递增，可得.
【详解】在上递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，
所以，
即，所以，
故选：.
【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江温州·期末）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据对数、指数和幂函数的单调性比大小，结合选项依次判断即可.
【详解】A：因为在上单调递增，所以，故A正确；
B：因为在R上单调递增，所以，故B错误；
C：因为在R上单调递减，所以，故C错误；
D：由，所以，故D正确.
故选：AD
【变式1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助比较大小即可.
【详解】因为，，，
所以，
故选：A
【变式2】（23-24高一下·山西晋中·期中）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．.
【答案】A
【分析】分别利用指数函数和对数函数单调性，得出的取值范围即可得出结论.
【详解】由对数函数在单调递增可得，，即；
由指数函数为单调递减可得，，因此；
即可知.
故选：A
【变式3】（2024·广东广州·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得.
【详解】由于，，，
所以，
故选：C
题型10对数函数综合问题
【典例1】（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3).
【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得.
（2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.
（3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式.
【详解】（1）函数中，由，解得，
所以的定义域为.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减，
所以的递减区间是，递增区间是.
（3）由，得函数为偶函数，
由（2）知，在上单调递增，则，
因此，即，解得，
所以原不等式的解集是．
【典例2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)在，上单调递减.
(3)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
【变式1】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，其中，．
(1)若函数的值域为R，求t的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根据给定条件，利用对数函数的值域与定义域的对应关系，结合指数函数值域求解.
（2）利用对数函数的单调性变形不等式，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】（1）
依题意，，
设函数的值域为，由的值域为，得，
而，则，因此，解得，
所以的取值范围为.
（2）
依题意，在上恒成立，
由，得函数在定义域内单调递减，则，
于是对恒成立，而，
则当，即时，，因此，此时满足，
所以的取值范围为.
【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义求函数的解析式即可；
（2）函数不等式恒成立求参数的取值范围，转化为求函数的最小值，最后解对数不等式即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
.经检验，满足题意
法2：是定义在上的奇函数，，
（2）令
易证函数是上的减函数，
恒成立
恒成立
恒成立
的取值范围为
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的概念可得，解之即可求解.
【详解】由，解得，
即函数的定义域为.
故选：A
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用单调性可判断数的范围，可得结论.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故.
故选：C.
3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解.
【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，
所以且，解得．
即实数a的取值范围为
故选：B
4．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解.
【详解】因为，故排除D；
当时，，故排除BC；
结合对数函数的性质可知A正确.
故选：A.
5．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的性质即可得解.
【详解】因为函数（且），
令，解得，则，
所以的图象所过的定点为.
故选：A.
6．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间.
【详解】令得，
故的定义域为，
在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减可得，
只需求出在上的单调递减区间，
在上单调递减，
故数的单调递减区间为.
故选：C
7．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数（为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：，）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用函数，由题意已知，求出待定系数，再用，去求解，当然这里面有取自然对数及取值计算.
【详解】由题意知，，则等式两边同时取自然对数得，，
．，，，，
故选：C．
8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性得到内函数在区间上单调递减，且，进而求出a的范围.
【详解】函数是上的减函数，
欲使函数在区间上单调递增，
应有在区间上单调递减，且，
于是应有，即，解得.
故选：D.
二、多选题
9．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．图象过定点 D．在定义域上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】由题意，，则，
所以函数的定义域为，故A正确；
根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确；
令，则，，
所以函数的图象过定点，故C正确；
当时，函数在定义域上单调递减，故D错误.
故选：ABC.
10．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围．
【详解】函数函数，
当时，的范围是；
时，，，
由题意存在最小值，，
故选：CD．
三、填空题
11．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）函数的定义域为 ；
【答案】
【分析】保证对数式的真数大于0，二次根式的被开方数非负即可.
【详解】函数，
故，解得.
故定义域为：
故答案为：
12．（23-24高三上·山东聊城·期末）函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】得到分段函数在上是减函数，从而得到不等式，求出答案.
【详解】由已知对任意，都有成立，即在上是减函数，
故需满足，解得，即.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·广东中山·开学考试）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据对数函数的性质，列式求解函数的定义域；
（2）根据奇偶函数的定义，即可证明.
【详解】（1）由函数的形式可知，，即，
得，解得：，
所以函数的定义域为
（2）由（1）可知，函数的定义域关于 原点对称，
，
即，所以函数是奇函数.
14．（23-24高一下·河南·开学考试）已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值域；
(2)设函数，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数为奇函数，求出的值，根据解析式和奇偶性，结合指数函数的性质求值域；
（2）依题意，函数在上的值域是函数在上的值域的子集，分别求两个函数在区间内的值域，利用包含关系求的取值范围.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得.
经验证，符合题意.
当时，，所以，所以，
即在上的值域为.
因为是奇函数，所以在上的值域为，
则的值域为.
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集.
.
因为，所以，所以，
则，所以，即.
因为，所以，则，所以，
即，所以，
则解得，即的取值范围是.
B能力提升
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2024高二下·全国·专题练习）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为.若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【详解】根据题意，，
令，则，
所以，则，
即
所以.
故选：B
3．（23-24高二下·浙江·期末）若，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
【答案】 3 /
【分析】利用基本不等式可得，再由对数运算法则及对数函数单调性可得的最小值为3，根据基本不等式中“1”的妙用即可求得出的最小值.
【详解】由，且可得，
即可得，所以，
当且仅当时，等号成立；
因此，即当时，的最小值为3；
易知，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以当时，的最小值为.
故答案为：3，；
4．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，，使得不等式成立，求的取值范围；
(3)若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)由奇函数的性质可得，解方程可得所求值；
(2)由，解得的取值范围，判断的单调性，去掉不等式两边的““，参变分离后，求函数的最小值即可.
(3)求得，运用换元法和分类讨论思想，结合对数函数和二次函数的性质，可得最大值，解方程可得所求的值．
【详解】（1）因为，所以；
经检验，当时，为上的奇函数,
故为所求.
（2）由，解得．
易知是上的单调递减函数．
又是定义在上的奇函数，
【分析】（1）举出反例即可；
（2）①根据函数单调性得到，对任意，，存在，使成立，则，根据集合包含关系得到，则，②表达出，，由对勾函数单调性得到取值范围.
【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”，理由如下：
在上是减函数，
，
当时，对任意，，不符合“和一函数”的定义，
故在区间上的函数不是“和一函数”；
（2）①在上是增函数，
，
∴值域，
又在定义域上是“和一函数”，
对任意，，存在，使成立，
则，
，，
则，即，
，则，
②，即，
，
，解得，
则，
令，，
在上是减函数，在上是减函数，
∴在上是减函数，则，
，
故的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
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