(人教A版数学必修一讲义)第4章第05讲4.5.1函数的零点与方程的解(知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练)(学生版+解析)

第05讲 4.5.1函数的零点与方程的解
课程标准 学习目标
①了解函数的零点与方程的解的关系， 并能结合函数的图象判定函数的零点。 ②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。 通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题
知识点01：函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数只有一个零点；
②反比例函数没有零点；
③指数函数（且）没有零点；
④对数函数（且）只有一个零点1；
⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。
知识点02：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【即学即练1】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ．
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
知识点03：二次函数的零点问题
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
【即学即练2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ）
A．3 B．9 C．21 D．33
题型01求函数的零点
【典例1】（多选）（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数，函数，其中，若函数恰有两个零点，则函数的零点可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）求函数的零点.
【典例3】（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数的零点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式1】（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ．
【变式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 .
【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
题型02函数零点个数的判断
【典例1】（24-25高一上·全国·假期作业）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型03判断函数零点所在的区间
【典例1】（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（ ）
A． B． C． D．
题型04已知零点个数求参数的取值范围
【典例1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是 .
【变式1】（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数，有4个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ．
题型05已知零点所在区间求参数的取值范围
【典例1】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（ ）
A． B．
C． D．函数有3个零点
【典例3】（23-24高三下·天津·阶段练习）若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为 ．（结果用表示）
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 .
【变式2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为
题型06二次函数的零点问题
【典例1】（23-24高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）已知二次函数满足，．
(1)求的解析式及单调区间.
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【变式1】（23-24高二上·河南·阶段练习）设方程的两实根满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个零点，则满足条件的所有实数的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型07函数与方程综合
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若，求与交点的横坐标；
(2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的方程的解；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
【变式1】（2024高二上·福建·学业考试）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【变式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
(1)①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；
(2)对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
【变式3】（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·江西抚州·期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
(1)在坐标系下画出函数的图象;
(2)求使方程的实数解个数分别为时的相应取值范围.
B能力提升
1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象有5个不同的交点，则正实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
C新定义题型
1．（23-24高二下·山西吕梁·期末）定义一种新的运算“”，都有．
(1)对于任意实数，试判断与的大小关系；
(2)若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围；
(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
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第05讲 4.5.1函数的零点与方程的解
课程标准 学习目标
①了解函数的零点与方程的解的关系， 并能结合函数的图象判定函数的零点。 ②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。 通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题
知识点01：函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数只有一个零点；
②反比例函数没有零点；
③指数函数（且）没有零点；
④对数函数（且）只有一个零点1；
⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。
知识点02：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
【即学即练1】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ．
【答案】
【分析】直接解方程求零点即可.
【详解】由已知可得，当时，；
当时，由，得，
故的零点是．
故答案为：.
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
知识点03：二次函数的零点问题
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
【即学即练2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ）
A．3 B．9 C．21 D．33
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系即可求解.
【详解】由，是二次函数的两个零点，
，所以，是的两个实数根，
所以，
故，
故选：C
题型01求函数的零点
【典例1】（多选）（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数，函数，其中，若函数恰有两个零点，则函数的零点可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AD
【分析】求出函数的表达式，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】当时，，；
当时，，.
，所以的大致图象为
当时，有零点0，4；
当时，由解得，所以有零点，2.
故选：AD.
【典例2】（2023高一上·上海·专题练习）求函数的零点.
【答案】1，2
【分析】求解方程的根即可得到函数的零点.
【详解】因为，
令，即，即
解得，所以函数的零点是1，2.
【典例3】（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数的零点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据零点的定义在函数表达式中令解方程即可.
【详解】（1）在函数中令，得，
解得，
所以函数的零点为.
（2）在函数中令，得，
解得或，
所以函数的零点为.
（3）在函数中令，得，
注意到当时，，且函数在上单调递增，
所以函数的唯一零点为.
（4）在函数中令，得，
注意到当时，，且函数在上单调递减，
所以函数的唯一零点为.
【变式1】（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知函数，则函数的零点是 ．
【答案】和
【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案.
【详解】依题意，或，
解得或（负根舍去）.
故答案为：和
【变式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函数的零点个数为 .
【答案】1
【分析】令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.
【详解】的定义域为，
令，则或，解得或（舍）.
故答案为：1
【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)函数的零点是.
(2)函数的零点是－1
(3)函数的零点是
(4)函数的零点为－6.
【分析】根据函数零点的概念结合条件即得.
【详解】（1）解方程，
得或，
所以函数的零点是.
（2）解方程，得，所以函数的零点是－1.
（3）解方程 ,得，所以函数的零点是.
（4）解方程，得,且分母不为
解得：，所以函数的零点为.
题型02函数零点个数的判断
【典例1】（24-25高一上·全国·假期作业）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分解因式求解方程的根即可.
【详解】函数的零点，即方程的实数根.
由解得，或.
故函数的零点个数是.
故选：D
【典例2】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得.
【详解】函数的定义域为，
当时，，显然函数在上都单调递减，
因此函数在上单调递减，而，
则函数在上有唯一零点；
当时，，显然，
因此函数在区间上至少各有一个零点，
当时，由，得，
则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解，
所以函数的零点个数为3.
故选：D
【典例3】（多选）（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则关于的方程根的个数可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】ABD
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：
将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：ABD．
【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数.
【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意；
当时，由于，由，可得，解得，合乎题意.
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可.
【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C．
【变式3】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
题型03判断函数零点所在的区间
【典例1】（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．
【详解】函数的定义域为，
函数在上单调递增，
又，，
根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为．
故选：B .
【典例2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令，在上连续，且单调递增，
对于A，因为，，
所以的零点不在内，所以A错误，
对于B，因为，，
所以的零点不在内，所以B错误，
对于C，因为，，
所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，
对于D，因为，，
所以的零点不在内，所以D错误，
故选：C
【典例3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数的零点在区间内，，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.
故选：B
【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在性定理结合单调性判断.
【详解】因为函数在单调递减，
函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
又，，
所以函数在上存在唯一零点.
故选：D.
【变式2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，
可知在内单调递增，
且，
所以函数的唯一一个零点所在的区间是.
故选：B.
【变式3】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案.
【详解】易知函数为增函数，且，
观察可知，，则的零点在区间内，
故.
故选：B
题型04已知零点个数求参数的取值范围
【典例1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解，
即函数与的图象有两个不同的交点，
画出函数的图象，如图所示，
结合图象可得或，解或，即.
故选：B.
【典例2】（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
【典例3】（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出函数与函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数，
令，可得，
在同一坐标系下，作出函数与函数的图象，如图所示：
当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围.
【详解】由，解得或，
函数和的图像相交于点和，
在平面直角坐标系内作出函数和的图像，
由，得的图像，如图所示，
方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点，
由图像可知实数的取值范围为.
故选：B
【变式2】（多选）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数，有4个零点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，转化为与的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】设函数，
令0，可得，作出的大致图象，如图所示，
当时，，因为，
所以由图可知，当时，直线与的图象有4个公共点，
要使得有4个零点，则，
即实数的取值范围为，结合选项BC符合题意.
故选：BC.
【变式3】（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题转化为函数与的图象的交点个数为3，作出函数图象，结合图象求解即可.
【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3，
的图象如图所示，
由图可知当时，两函数图象有3个交点，
所以的取值范围为，
故答案为：
题型05已知零点所在区间求参数的取值范围
【典例1】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【典例2】（多选）（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（ ）
A． B．
C． D．函数有3个零点
【答案】BCD
【分析】作出的图象，利用二次函数的性质与对数函数的性质分析的关系，结合零点的定义与图象的特征，从而得解.
【详解】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，如图，
由图象可知：，故A错误；
当时，令，解得，，
当时，令，解得，，
，，，
，则，所以，故B正确；
关于对称，，
又，，
当且仅当时，等号成立，显然，故等号不成立，
又，则，，故C正确；
令，则由，得，
结合图象可知，或，
当时，结合图象可知，此时没有零点；
当时，结图象可知，此时有3个零点；
综上，有3个零点，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解.
【典例3】（23-24高三下·天津·阶段练习）若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为 ．（结果用表示）
【答案】
【分析】把方程在区间上有解，转化为函数的图象与直线在区间上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.
【详解】因为方程，即在区间上有解，
设函数，则函数的图象与直线在区间上有交点．
因为，所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在区间上，，，

则，解得．
当时，因为，，．
令，解得，又，所以，

则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数的图象与直线在区间上有交点，分类讨论得到的最值，即可求出的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 .
【答案】
【分析】利用函数零点存在性定理可得；由已知可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，求出交点的横坐标可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，
且，所以；
由可得，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
因为函数与的图象关于对称，且互相垂直，
且由解得，即、的中点为，
所以.
故答案为：1；2.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键点将零点问题转化成函数图象交点问题.
【变式2】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据零点与对应方程根的关系以及函数零点存在性定理即可得答案.
【详解】因为存在，使得，
所以函数在上有零点.
当时，不存在零点，
当时，为一次函数形式，具有单调性，
由函数零点存在性定理知，即，
解得或.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据题中条件，列出不等式组，解出即可.
【详解】因为在上有两个零点，
所以，，解得.
故答案为：.
题型06二次函数的零点问题
【典例1】（23-24高二下·浙江绍兴·期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布，即可列出不等式，结合选项即可求解.
【详解】在上有两个不同的零点,则，
故，故B正确，ACD错误，
故选：B
【典例2】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.
【详解】因为函数在上有且只有一个零点，
所以，即在上有且只有一个实根，
所以与的函数图象在时有一个公共点，
由于在单调递减，
所以，即.
故选：D
【典例3】（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）已知二次函数满足，．
(1)求的解析式及单调区间.
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（2）利用判别式大于0求解即可．
【详解】（1）设，
由可得
，
所以，故，又得
即，
，故单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得，
得，
有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根
则满足，得或．
【变式1】（23-24高二上·河南·阶段练习）设方程的两实根满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次方程根的分布列不等式组求解.
【详解】设，得对称轴为，
由可得，，
解得或，
故选:C
【变式2】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个零点，则满足条件的所有实数的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过分类讨论二次函数的根的个数，结合零点定理即可求出实数的集合.
【详解】由题意，
在中，对称轴，
函数在区间内恰有一个零点，
∴，
当 时, 只需 ,即 ,
解得：, 且 ,
∴，,
当时，,在定义域内的零点只有，符合要求,
当时，,在定义域内的零点只有，符合要求,
当 时, 即 时, ，零点为,
符合题意，
综上所述, 实数 的取值范围为：，
故选：D.
【变式3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可.
【详解】设，
因为二次函数的两个零点都在区间内，
所以，则，即，
故实数的取值范围是：.
故选：C.
题型07函数与方程综合
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若，求与交点的横坐标；
(2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
对称轴为，
所以要使在区间上恰有一个零点，只须，
即，解得.
的取值范围.
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数.
(1)当时，求关于的方程的解；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）将代入，解方程即可
（2）构造函数，利用双勾函数的单调性可得判断的单调性并求出相应的值域，然后结合图形即可得出
【详解】（1）时，，令
解得
令
解得：或
（2）.显然
当时，
记，如图所示
因为在上单调递增，值域为；
根据对勾函数性质知在上单调递减，值域为；
在上单调递增，值域为
综上可知，的取值范围为
【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函数．
(1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
(2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可；
（2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可.
【详解】（1）
，
若为定值则应，解得，即.
当时，，当时，.
所以存在符合要求.
（2）时，方程即为，整理得，即，
因为方程有两个根，由图象可知，，即，
且，得，同理有，得，
所以，
由，得，所以的取值范围是.
【变式1】（2024高二上·福建·学业考试）已知函数且．
(1)求实数a的值；
(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围．
所以，解得；
【变式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
(1)①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；
(2)对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
【答案】(1)①答案见解析；②；
(2)．
【分析】（1）①先利用描点法作出区间上的函数图象，结合偶函数的对称性可得上的图象，②利用图象和实数根的个数可得实数的取值范围；
（2）先根据复合函数求出的最小值，利用可得答案.
【详解】（1）①当时，．
列表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，
由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；
（2）由题意，，
因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，
因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，使得成立，
所以，
所以，解得，所以实数的最小值为．
【变式3】（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
【分析】（1）直接对两段分别研究单调性即可；
（2）画出函数的图象与直线的图象，由数形结合即可求解.
【详解】（1）当时，由单调递增，知在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递增；
当时，是二次函数，最小值点是，故在上单调递减，在上单调递增.
综上，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象，如图所示，
由图可知若关于的方程有三个不同的实根，
当且仅当的取值范围是.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令，在上连续，且单调递增，
对于A，因为，，
所以的零点不在内，所以A错误，
对于B，因为，，
所以的零点不在内，所以B错误，
对于C，因为，，
所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，
对于D，因为，，
所以的零点不在内，所以D错误，
故选：C
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可.
【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C．
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【答案】A
【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解.
【详解】由题意令，因为，所以，即.
故选：A.
4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得.
【详解】令，显然函数在R上连续，因，
故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．

如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点，
因，，即，
所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函数，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数.
【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意；
当时，由于，由，可得，解得，合乎题意.
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
6．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，

由图可知，.
故选：B
7．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
8．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于的方程可化简为，
即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，
故只需有3个不同的根即可，所以.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·江西抚州·期末）若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】转化为在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.
【详解】由题意在上有解，
.
故选：BCD．
10．（23-24高一上·福建厦门·期末）函数在区间内存在零点的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在性定理列出不等式求解，结合充分条件定义即可判断各选项.
【详解】因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，
若函数在区间内存在零点，
则，即，解得，
故AB符合题意，CD不符合题意.
故选：AB.
三、填空题
11．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题转化为函数与的图象的交点个数为3，作出函数图象，结合图象求解即可.
【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3，
的图象如图所示，
由图可知当时，两函数图象有3个交点，
所以的取值范围为，
故答案为：
12．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 0 1 2 3 4 5
y 2.2 4.6 8.8
设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】利用零点存在性定理求解即可,
【详解】由题意得，
故由零点存在性定理知函数在区间上零点的个数至少为3，
故的最小值为3.
故答案为：3
四、解答题
13．（23-24高一上·广东湛江·阶段练习）已知二次函数满足，．
(1)求的解析式及单调区间.
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（2）利用判别式大于0求解即可．
【详解】（1）设，
由可得
，
所以，故，又得
即，
，故单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得，
得，
有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根
则满足，得或．
14．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数.
(1)在坐标系下画出函数的图象;
(2)求使方程的实数解个数分别为时的相应取值范围.
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据基本初等函数的性质即可作出图象，
（2）利用函数图象的交点个数即可结合图象求解.
【详解】（1）
（2）方程的实数解个数等价于函数与图象交点个数
∴个数为1时，的取值范围为;
个数为2时，的取值范围为或;
个数为3时，的取值范围为.
B能力提升
1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
【详解】若时，，则，满足题意，
若，当，解得且，此时满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
当，得时，此时，
此时方差的根为，满足题意，
综上可得或
故选：C
2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象有5个不同的交点，则正实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，数形结合求得参数的范围.
【详解】作出的图象如图所示，
函数与函数的图象有5个不同的交点，即有5个不同零点，
令，则，又，
当时，有唯一的，即仅有一个零点，不合题意；
当时，有三个零点，，，相应的只有3个零点，不合题意；
当时， 有三个零点，，，
所以有1个零点，有1个零点，则有3个零点，
又，，则，解得，
又，.
综上，正实数的取值范围是.
故选：A.
(2)若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围；
(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；
（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；
（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.
【详解】（1），，
，
，
；
（2），
原不等式可化为：，即，
为满足题意，必有，即或①；
令，则对称轴为，
由于，，结合①可得，
的一个零点在区间，则另一个零点在区间，
从而，即②，
由①②可得：或，
综上可得实数的取值范围为.
（3）因为，
，
设，，
令，，则，
，
，
所以的值域为，
，当且仅当时取等号，，
所以的值域为，
根据题意可知：，，即，
解得且，
所以实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.
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