沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步讲义第21讲分式的乘除(七大题型)(学生版+解析)

第21讲 分式的乘除（七大题型）
学习目标
1、学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则. 2、会分式的乘法、除法运算. 3、掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.
一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.
要点：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
要点：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.
【即学即练1】计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】计算的结果是 ．
【即学即练3】计算的结果是（ ）．
A．1 B．xy C． D．
【即学即练4】计算（）2 的结果是 ．
【即学即练5】计算： ．
【即学即练6】计算 ．
题型1：分式的乘法
【典例1】．
【典例2】．
【典例3】．计算： ．
【典例4】．计算： ．
【典例5】．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【典例6】．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【典例7】．计算： .
【典例8】．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型2：分式的除法
【典例9】．计算÷的结果是( )
A． B． C． D．
【典例10】．计算： ．
【典例11】．计算： ．
【典例12】．计算： ．
【典例13】．化简： ．
【典例14】．的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【典例15】．计算
(1)
(2)
【典例16】．计算：．
【典例17】．如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．

【典例18】．计算：
(1)；
(2)．
题型3：分式的乘除混合运算
【典例19】．计算：.
【典例20】．计算：；
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
【典例22】．计算：
(1)；
(2)．
【典例23】．计算：
(1)；
(2)．
【典例24】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例25】．阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，
∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
题型4：分式的乘方
【典例26】．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【典例27】．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【典例28】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型5：含分式乘方的混合运算
【典例29】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例30】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例31】．计算：
(1)；
(2)．
【典例32】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
题型6：分式乘除的实际应用
【典例33】．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上（如图阴影部分），则甲、乙两块地的撒播密度的比为 （撒播密度）
【典例34】．小明a分钟打了b个字，小亮m分钟打了n个字，则小明每分钟打字 个，小亮每分钟打字 个，小明打字的速度是小亮打字速度的 倍．
【典例35】．因城市建设的需要，某市将长方形广场的一边增加12m，另一边减少12m，变成边长为a(m)的正方形广场，试问改建前后广场的面积比是多少？面积变大了吗？
【典例36】．为了美化环境，需要在某块空地上种植棵树，若甲队单独植树，则需要天（）才能完成，若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的倍多天，则甲队每天植树的棵数是乙队的倍吗？请说明理由．
【典例37】．甲、乙两地相距s，新修的高速公路开通后，两地距离不变，在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了，已知原来的平均车速为x，请回答以下问题：长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所花时间的多少倍？
【典例38】．如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了．

(1)哪块试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
题型7：分式乘除的难点分析
【典例39】．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ．
【典例40】．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ．
【典例41】．素养·思维赋能
化归思想在分式的乘除运算中的体现
由本节典例2可知对于分子分母是多项式的分式的乘除运算，其中有一个很关键的过程是把分子分母进行因式分解，因式分解与整式的乘法运算又是方向相反的过程．请通过解决下面的问题再次体会三者之间的关系．
旧知回顾 （1）计算：__________． ___________．
归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含，的字母表示：______________；你又发现一个新的乘法公式
深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ） A． B． C． D．
学以致用 （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简．
【典例42】．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
一、单选题
1．计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列分式运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
7．当时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　）
A．分钟 B．分钟
（3）；
（4）．
20．（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
21．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
22．先化简，再求值：，其中．
23．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
24．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙 B．甲和丁 C． 乙和丙 D．乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．
25．如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了．

(1)哪块试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
26．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式_____形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是 （直接写出结果）
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第21讲 分式的乘除（七大题型）
学习目标
1、学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则. 2、会分式的乘法、除法运算. 3、掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.
一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.
要点：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
要点：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.
【即学即练1】计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接约分即可得出答案．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练2】计算的结果是 ．
【答案】
【解析】根据分式的乘法和除法运算法则计算即可：．
【即学即练3】计算的结果是（ ）．
A．1 B．xy C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分．
先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可．
【解析】解：原式，
故选：C．
【即学即练4】计算（）2 的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法运算法则化简得出答案．．
【解析】解：
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了分式的乘方和分式的乘法运算，正确化简分式是解题关键.
【即学即练5】计算： ．
【答案】
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果．
【解析】解：原式，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【即学即练6】计算 ．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
题型1：分式的乘法
【典例1】．
【答案】1
【分析】由分式的乘法运算，即可得到答案．
【解析】解：；
【点睛】本题考查了分式乘法的运算法则，解题的关键是熟练掌握分式乘法的运算法则进行计算．
【典例2】．
【答案】
【分析】原式约分即可得到结果．
【解析】解：．
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例3】．计算： ．
【答案】D
【分析】根据分式的乘法法则计算即可．
【解析】解：，
故答案为：a．
【点睛】此题考查了分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分式．
【典例4】．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式乘法计算法则是解题的关键．
【解析】解：，
故答案为：．
【典例5】．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．
【解析】解：．
【典例6】．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．根据乘法法则逐项计算即可．
【解析】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
【典例7】．计算： .
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则即可得．
【解析】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．
【典例8】．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键；
（1）直接约分即可；
（2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可；
（3）先计算分式的乘方运算，再约分即可；
（4）先把除法化为乘法，再约分即可.
【解析】（1）解：，
（2）
；
（3）
；
（4）
；
题型2：分式的除法
【典例9】．计算÷的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
故选D.
【典例10】．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的除法，解题的关键是熟练使用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算解题．
【解析】解：，
故答案为：．
【典例11】．计算： ．
【答案】
【分析】将除法转化为乘法，再约分计算．
【解析】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法，解题的关键是掌握约分的方法．
【典例12】．计算： ．
【答案】D
【分析】根据分式的除法法则计算即可．
【解析】解：原式==a，
故答案为：a．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【典例13】．化简： ．
【答案】
【分析】先把除法转化为乘法，再约分即可得到答案．
【解析】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握分式的除法运算法则是解题的
【典例14】．的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
先将分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可．
【解析】
．
故选：B．
【典例15】．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键，
（1）利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
【典例16】．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键；先对分子分母进行因式分解，然后再进行分式的除法运算即可
【解析】解：
．
【典例17】．如图，老师在黑板上书写了一个正确的式子，然后随手用手掌捂住了式子的一部分，求老师捂住的部分．

【答案】老师捂住的部分为x
【分析】本题考查分式的乘除法运算，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，根据法则直接计算即可．
【解析】解：由题意得：
．
答：老师捂住的部分为x．
【典例18】．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；
（2）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可．
【解析】（1）
；
（2）
．
题型3：分式的乘除混合运算
【典例19】．计算：.
【答案】
【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可.
【解析】解：原式.
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.
【典例20】．计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查分式的乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据运算法则，将除法变为乘法，能约分的先约分，不能约分的，分子乘以分子作积的分子，分母乘以分母作积的分母，由此即可求解．
【解析】解：
．
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先确定结果的符号，再约分即可求解；
（2）先将除法转化为乘法，再约分即可求解；
（3）先把分子分母因式分解，然后约分即可；
（4）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解析】（1）解：；
（2）解：．（除法转化为乘法）
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【典例22】．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可．
【解析】（1）
．
（2）
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例23】．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的基本性质约分即可得到答案．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典例24】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【典例25】．阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，
∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：原式，
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型4：分式的乘方
【典例26】．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答．
【解析】解：依题意，，
故选：D．
【典例27】．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
【解析】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
【典例28】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可；
（2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可；
（3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可．
【解析】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
题型5：含分式乘方的混合运算
【典例29】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，即可求解．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查分式的乘方及乘除运算．掌握相关运算法则是解题关键．
【典例30】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【典例31】．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可．
【解析】（1）
；
（2）
．
【典例32】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘除混合运算法则计算即可；
（3）根据分式的乘除混合运算法则计算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算．掌握分式的乘除混合运算法则是解题关键．
题型6：分式乘除的实际应用
【典例33】．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上（如图阴影部分），则甲、乙两块地的撒播密度的比为 （撒播密度）
【答案】
【分析】根据图形中的信息和题意，利用撒播密度可以计算出甲、乙两块地的撒播密度比．
【解析】解：设花种的数量为，
由题意可得：甲、乙两块地的撒播密度比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【典例34】．小明a分钟打了b个字，小亮m分钟打了n个字，则小明每分钟打字 个，小亮每分钟打字 个，小明打字的速度是小亮打字速度的 倍．
【答案】
【分析】根据打字总数除以时间即可算出每分钟打字的个数，在根据题意相除即可；
【解析】∵小明a分钟打了b个字，
∴小明每分钟打字个，
∵小亮m分钟打了n个字，
∴小亮每分钟打字，
∵，
∴小明打字的速度是小亮打字速度的；
故答案是：；；．
【点睛】本题主要考查了列代数式，准确分析列式是解题的关键．
【典例35】．因城市建设的需要，某市将长方形广场的一边增加12m，另一边减少12m，变成边长为a(m)的正方形广场，试问改建前后广场的面积比是多少？面积变大了吗？
【答案】改建前后面积比为；改建后面积变大了.
【分析】根据题意表示出改建前中心广场的面积，以及改建后的面积，求出面积比，判断即可得到结果．
【解析】改建前中心广场的面积为（a+12）（a-12）米2，改建后中心广场的面积a2（米2），
故改建前后广场的面积比是，
∵（a+12）（a-12）=a2-144，
∴a2＞（a+12）（a-12），
则广场的面积增加了．
【点睛】此题考查了分式的乘除法，弄清题意是解本题的关键．
【典例36】．为了美化环境，需要在某块空地上种植棵树，若甲队单独植树，则需要天（）才能完成，若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的倍多天，则甲队每天植树的棵数是乙队的倍吗？请说明理由．
【答案】甲队每天植树的棵数不是乙队的倍，理由见解析．
【分析】由题意可得，甲队每天植树的棵数为，乙队每天植树的棵数为，则，然后比较即可．
【解析】甲队每天植树的棵数不是乙队的倍．理由如下：
由题意可知，甲队每天植树的棵数为，乙队每天植树的棵数为．
则．
∵，
∴，
∴，即．
∴甲队每天植树的棵数不是乙队的倍．
【点睛】此题考查了分式的乘除运算，解题的关键是读懂题意，列出式子进行作商比较．
【典例37】．甲、乙两地相距s，新修的高速公路开通后，两地距离不变，在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了，已知原来的平均车速为x，请回答以下问题：长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所花时间的多少倍？
【答案】倍
【分析】分别求出长途客运车原来所用的时间是，新修的高速公路开通后所花时间是，作除法，即可解答．
【解析】解：长途客运车原来所用的时间是，新修的高速公路开通后所花时间是，
．
答：长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所花时间的倍．
【点睛】本题考查了分式的应用，解题的关键是进行分式的除法计算．
【典例38】．如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了．

(1)哪块试验田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)A玉米试验田的单位面积产量高
(2)
【分析】（1）利用圆环的面积计算方法求得试验田的面积，用总产量除以面积得出答案，再进一步把分母作差比较即可；
（2）利用（1）的结果和式子，直接列式计算即可．
【解析】（1）A玉米试验田的面积是，单位面积产量是；
B玉米试验田的面积是m2，
单位面积产量是 ．
∵，
∴．
∴．
∴A玉米试验田的单位面积产量高．
（2）∵
，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题考查了列分式，读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算．
题型7：分式乘除的难点分析
【典例39】．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ．
【答案】或
【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
【解析】解：设，
则，，，
∴，
∴，
当时，，
，
当时，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．
【典例40】．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ．
【答案】4
【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可．
【解析】解：
，
∴，
∴，
∴，
，
当时，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
【典例41】．素养·思维赋能
化归思想在分式的乘除运算中的体现
由本节典例2可知对于分子分母是多项式的分式的乘除运算，其中有一个很关键的过程是把分子分母进行因式分解，因式分解与整式的乘法运算又是方向相反的过程．请通过解决下面的问题再次体会三者之间的关系．
旧知回顾 （1）计算：__________． ___________．
归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含，的字母表示：______________；你又发现一个新的乘法公式
深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ） A． B． C． D．
学以致用 （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简．
【答案】（1），；（2）；（3）A；（4）．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（2）由（1）总结出公式即可；
（3）由新发现的公式结构逐项判断即可；
（4）根据分式的除法运算法则计算即可．
【解析】解：（1）
；
；
故答案为：，；
（2）由（1）可总结为．
故答案为：；
（3）观察各选项可知只有A．满足发现的乘法公式．
故选A；
（4）
．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，分式的除法运算．理解题意，总结出新的乘法公式，并掌握各运算法则是解题关键．
【典例42】．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得．
【解析】（1）∵自然数M的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数M的个位数字不为0，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴为5或者4 ，
，即的分子时奇数，
当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被7整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有6，
，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．
一、单选题
1．计算所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式乘法的运算法则，分子乘分子作为分子，分母乘分母作为分母，最后进行约分即可得到答案．
【解析】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，关键在于熟练运用乘法法则以及分式的基本性质．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可．
【解析】解：．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将分母分解因式，再根据分式的除法运算法则计算即可．
【解析】解：原式
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
4．下列分式运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的乘除法运算法则对每个选项逐个计算即可判断出正确选项．
【解析】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
5．与分式的乘积等于的分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接用除以得到的结果即为所求．
【解析】解：，
【点睛】本题主要考查了分式的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
6．下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可．
【解析】解：①，计算正确；
②，计算正确；
③，计算错误；
④，计算错误；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．当时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】当时，去掉式子中的绝对值符号，即可对原式进行化简．
【解析】解：当时，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简，绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，化简式子时，正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将除法转化为乘法，进而根据分式的性质约分即可．
【解析】
=．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，将除法转化为乘法运算是解题的关键．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式变形，再约分即可得出答案．
【解析】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　）
A．分钟 B．分钟
C．分钟 D．分钟
【答案】A
【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解
【解析】解：由题意得：分钟．
故选：C
【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键．
二、填空题
11．计算：= ．
【答案】
【分析】根据分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，求解即可．
【解析】解：，
故答案为：．
【点晴】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键．
12．计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则进行计算即可．
【解析】解：
．
故答案为：．
13．（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）根据分式的乘除计算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据分式的基本性质进行计算即可得到答案．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了分式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握分式的运算法则．
14．计算： .
【答案】1.
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求解.
【解析】
=
=1
故填：1.
【点睛】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则.
15．（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法即可；
（3）先算乘方，再算除法即可；
（4）先算乘方，再算乘除法即可；
（5）先算乘方，再算除法即可；
【解析】解：（1）
（2）；
（3）原式=；
（4）原式=；
（5）；
故答案为：，，，，
【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
16．计算÷= ．
【答案】-2
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果
【解析】解：原式==-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算： ．
【答案】
【分析】先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．
【解析】．
【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母．
18．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ．
【答案】或
【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
【解析】解：设，
则，，，
∴，
∴，
当时，，
，
当时，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）按分式乘法的法则进行计算即可求出答案；
（2）（3）（4）先将分式的分子分母分解因式，再将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可求出答案．
【解析】解：（1）；
（2）
=a2-2a+1；
（3）
=y（x-1）=xy-y；
（4）
．
【点睛】本题考查了分式的乘除，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）1；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）根据分式约分法则先约分再按乘法法则计算即可；
（2）先因式分解，把除变乘除式分子分母颠倒位置与被除式相乘，约分化为最简分式即可；
（3）先因式分解，把除变乘，再约分即可；
（4）先因式分解，约分，再利用乘法分配律去分母括号即可；
（5）先因式分解，把除法化为乘法，再利用公式展开即可；
（6）先因式分解，再约分即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点睛】本题考查分式的乘除法混合运算，掌握分式的乘除法混合运算法则，先因式分解，再化除为乘，然后约分化为最简分式，去掉分子分母中括号是解题关键．
21．计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式的除法即可；
（2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（3）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（4）先算分式的乘方，同时利用除法法则变形，再进行约分即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】先对分式的分子和分母因式分解，再将除号变为乘号计算并化简，最后代值运算即可．
【解析】解：原式．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简运算，需要有一定的运算求解能力，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代数式D．
【答案】D=-y.
【分析】根据所给出的条件A÷B=C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．
【解析】A=xy-x2=x(y-x)，B=，C=
∵A÷B=C×D，
∴x(y-x)÷×D.
∴D=x(y-x)××=-y.
∴D=-y.
【点睛】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．
24．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是
A．只有乙 B．甲和丁 C． 乙和丙 D．乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值．
【答案】(1)D
(2)，
【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
（2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可．
【解析】（1）
出现错误是在乙和丁，
故选：D．
（2）
，
根据分式有意义的条件可得且，
即只能从和中选择一个，
代入，得出结果为．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
25．如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为
分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式_____形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是 （直接写出结果）
【答案】(1)真分式；
(2)满足条件的整数x的值为：，0，2，4
(3)
【分析】（1）根据题意作答即可；
（2）由题意知，由分式的值为整数，则的值为、、1、3，计算求解即可；
（3）由题意知，根据，确定的取值范围即可．
【解析】（1）解：由题意知，的分子的次数小于分母的次数，为真分式，
，
故答案为：真分式，；
（2）解：由题意知：，
∵分式的值为整数，则的值为、、1、3，
∴对应的的值为，0，2，4，
∴满足条件的整数x的值为，0，2，4；
（3）解：由题意知：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，分式的除法运算，不等式的性质等知识．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
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