北京市第五十五中学2024年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，无答案）

2024北京五十五中高一 12月月考
数 学
本试卷共 4 页，共 150 分，考试时长 120 分钟
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项，把答案填在答题纸上）
1．若集合 A = 0,1 ， B = x | x 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 0 B B． A B = C． A B D． A B = R
2．下列函数中是奇函数的是（ ）
x
1
A． y = x
2 3
B． y = ln x C． f (x) = D． y = x
2
3．已知 a b 0，则（ ）
a2
1 1 a b
A． b
2
B． C． 2 2 D． ln ( a) ln ( b)
a b
4．“ a 0 ”是“函数 f (x) = 2x + a存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
5．若 f (x) = x 2+ ( x 2)在 x = n处取得最小值，则n =（ ）
x 2
5 7
A． B．3 C． D．4
2 2
6．已知奇函数 f ( x)的定义域为 x | x 0 ， f ( x)在 (0,+ )上单调递减且 f (2) = 0 ，则 f (x) 0 的
解集为（ ）
A． ( 2, 2) B． ( , 2) (0,2)
C． ( 2,0) (2,+ ) D． ( , 2) (2,+ )
7．已知函数 y = f (x)的图像如图所示，则此函数可能是（ ）
第1页/共4页
1 1 1 1
A． f (x) = B． f (x) = C． f (x) = D． f (x2 ) =
x 1 x +1 x 1 x
2 1
ax + 5, x 1

8．已知函数 f ( x) = 1 是 R上的减函数，则 a的范围是（ ）
, x 1
x
A． ( , 0) B． 4,+ ) C． ( , 4) D． 4,0)
9．记函数 f (x) = x 1 在 x t, t + 2 (t R)上的最大值是M (t )，则M (t )的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
10．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85 C 的水泡
制，再等到茶水温度降至55 C时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min 测量一次茶
水温度，得到数据如下：
放置时间 / min 0 1 2 3 4 5
茶水温度 / C 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43
为了描述茶水温度 y C与放置时间 x min 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① y = ka
x + 25 (k R,0 a 1, x 0)，② y = kx + b (k,b R, x 0)．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ）（参考数据：
lg 2 0.301， lg 3 0.477 ）
A．6 min B．6.5min C．7 min D．7.5min
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题纸上）
11．函数 f (x) = lg (x 1)的定义域是________
1
1 3
12．计算： + log3 15 log3 5 = ________
27
f (x) = a x 213．函数 1（ a 0 且 a 1）恒过定点________
x +1, x 0
14．已知函数 f (x) =
x , x 0
1
①若 f (x) = ，则 x的值是________
2
②若m n且 f (m) = f (n)，则n m的取值范围是________
15．人口问题是关系民族发展的大事，历史上在研究资源约束的人口增长问题中，有学者提出了
Kx
“Logisticmodel”： f (t ) = 0 (t 0)，其中 K ， r0 ， x0 均为正常数，且 K x0 ，该模型r
0 t
x K0 (x0 K )e
第2页/共4页
描述了人口随时间 t的变化规律，给出下列三个结论：
① f (0) = x0
② f (t )在 0,+ )上是增函数
③ t 0,+ )， f (t ) K
其中所有正确结论的序号是________
三、解答题（共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16．已知集合 A = x | x2 2x 3 0 ， B = x | x 4a 0 ．
（I）当 a =1时，求 A B；
（II）若 A B = R ，求实数 a的取值范围．
17．已知定义在 2,+ )的函数 f ( x)的图象如图所示，其中 y 轴的左侧为一条线段，右侧为指数函数的
一部分．
（I）写出函数 f ( x)的解析式和值域；
（II）求 f f ( 1) + f (log2 3)的值．
（III）若方程 f (x) = m 有两个不相等的实根，求实数 m的取值范围
2
18．已知函数 f (x) = x + 2ax + 2 ，
（I）若函数 f ( x)是偶函数，求实数 a的值
f (x)
（II）若 g (x) = 2 在区间 5,5 上单调递减，求实数 a的取值范围．
x + x f (x )+ f (x )
（III） x1, x2
1 2
R ，直接写出 f 1 2 与 的大小关系（不用证明）
2 2
19．已知函数 f (x) = lg (ax +3)的零点是 x = 2 ．
（I）求实数 a的值；
第3页/共4页
（II）判断函数 f ( x)的单调性，并用定义证明；
（III）设 k 0 ，若不等式2 f (x) lg (kx2 )在区间 4, 3 _上有解，求 k的取值范围．
20．某公司为改善营运环境，年初以 50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为 30
万元，使用 x年 ( x * 2N )所需的各种费用总计为 2x + 6x万元．
（I）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）
（II）该车若干年后有两种处理方案：
①当赢利总额达到最大值时，以 10 万元价格卖出；
②当年平均赢利总额达到最大值时，以 12 万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．（参考数据： 11 3.317）
21．设集合 A2n = 1,2,3, , 2n (n *N ,n 3)，如果对于 A2n 的每一个含有m (m 4)个元素的子集 P，
P中必有 4 个元素的和等于 4n +1，称正整数 m为集合 A2n 的一个“相关数”．
（I）当 n = 3时，判断 5 和 6 是否为集合 A6 的“相关数”，说明理由；
（II）若 m为集合 A2n 的“相关数”，证明：m n 3 0 ；
（III）给定正整数 n，求集合 A2n 的“相关数”m的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
第4页/共4页